Номер 13.23, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.23, страница 325.

Условие.

13.23* a) $ \text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x = 2 \sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} $

б) $ \frac{\cos^2 2x}{\sin^8 x} + \frac{\sin^8 x}{\cos^2 2x} = 2 \cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x = 2 \sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2}$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки левой и правой частей.

1. Оценим левую часть (ЛЧ): $\text{ЛЧ} = \text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x$.

Поскольку $\text{tg}^2 x > 0$ и $\text{ctg}^2 x > 0$ (при условии, что они определены), мы можем применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши): $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.

Пусть $a = \text{tg}^2 x$ и $b = \text{ctg}^2 x$. Тогда:

$\frac{\text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x}{2} \ge \sqrt{\text{tg}^2 x \cdot \text{ctg}^2 x}$

$\text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x \ge 2\sqrt{(\text{tg} x \cdot \text{ctg} x)^2}$

Так как $\text{tg} x \cdot \text{ctg} x = 1$, получаем:

$\text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x \ge 2\sqrt{1^2} = 2$.

Таким образом, $\text{ЛЧ} \ge 2$. Равенство достигается, когда $\text{tg}^2 x = \text{ctg}^2 x$, то есть $\text{tg}^2 x = 1$.

2. Оценим правую часть (ПЧ): $\text{ПЧ} = 2 \sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2}$.

Область значений функции синус в квадрате: $0 \le \sin^2 y \le 1$ для любого действительного аргумента $y$.

Следовательно, $0 \le 2 \sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} \le 2$.

Таким образом, $\text{ПЧ} \le 2$. Равенство достигается, когда $\sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} = 1$.

3. Приравняем оценки.

Исходное уравнение $\text{ЛЧ} = \text{ПЧ}$ может иметь решение только в том случае, когда обе части равны 2. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x = 2 \\ 2 \sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} = 2 \end{cases}$

Решим каждое уравнение системы.

Из первого уравнения: $\text{tg}^2 x = 1 \implies \text{tg} x = \pm 1 \implies x = \pm\frac{\pi}{4} + \pi k$, или в более компактной форме $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения: $\sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} = 1 \implies \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} = \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Поскольку значение корня не может быть отрицательным, $\frac{\pi}{2} + \pi m \ge 0$, откуда $m \ge -1/2$, т.е. $m \in \{0, 1, 2, ...\}$.

Возведем обе части в квадрат: $\frac{5\pi^2}{16} - x^2 = (\frac{\pi}{2} + \pi m)^2 = \pi^2(\frac{1}{2} + m)^2$.

$x^2 = \frac{5\pi^2}{16} - \pi^2(\frac{1+2m}{2})^2 = \frac{5\pi^2}{16} - \frac{\pi^2(1+2m)^2}{4}$.

Проверим возможные значения $m$.
При $m=0$: $x^2 = \frac{5\pi^2}{16} - \frac{\pi^2(1)^2}{4} = \frac{5\pi^2 - 4\pi^2}{16} = \frac{\pi^2}{16}$.
Отсюда $x = \pm \frac{\pi}{4}$.
При $m=1$: $x^2 = \frac{5\pi^2}{16} - \frac{\pi^2(3)^2}{4} = \frac{5\pi^2}{16} - \frac{9\pi^2}{4} < 0$, что невозможно для действительных $x$. При $m > 1$ значение $x^2$ будет еще меньше.

Таким образом, из второго уравнения мы получили $x = \pm \frac{\pi}{4}$.

Эти значения также удовлетворяют первому уравнению, так как при $x=\pm\frac{\pi}{4}$ имеем $\text{tg}^2(\pm\frac{\pi}{4}) = (\pm 1)^2 = 1$.

4. Проверим область допустимых значений (ОДЗ).
Для тангенса и котангенса: $x \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
Для корня: $\frac{5\pi^2}{16} - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le \frac{5\pi^2}{16} \implies |x| \le \frac{\sqrt{5}\pi}{4}$.
Решения $x = \pm \frac{\pi}{4}$ удовлетворяют этим условиям, так как $\frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi k}{2}$ и $|\pm\frac{\pi}{4}| = \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{1}\pi}{4} < \frac{\sqrt{5}\pi}{4}$.

Следовательно, решения найдены верно.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{4}$.

б) $\frac{\cos^2 2x}{\sin^8 x} + \frac{\sin^8 x}{\cos^2 2x} = 2 \cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2}$

Данное уравнение также решается методом оценки.

1. Оценим левую часть (ЛЧ): $\text{ЛЧ} = \frac{\cos^2 2x}{\sin^8 x} + \frac{\sin^8 x}{\cos^2 2x}$.

ОДЗ левой части: $\sin x \neq 0$ и $\cos 2x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi k$ и $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Пусть $y = \frac{\cos^2 2x}{\sin^8 x}$. В рамках ОДЗ, $y > 0$. Тогда левая часть имеет вид $y + \frac{1}{y}$.

По неравенству Коши для положительного числа $y$, имеем $y + \frac{1}{y} \ge 2$.

Таким образом, $\text{ЛЧ} \ge 2$. Равенство достигается при $y=1$, то есть $\frac{\cos^2 2x}{\sin^8 x} = 1$, что эквивалентно $\cos^2 2x = \sin^8 x$.

2. Оценим правую часть (ПЧ): $\text{ПЧ} = 2 \cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2}$.

ОДЗ правой части: $\frac{\pi^2}{4} - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le \frac{\pi^2}{4} \implies |x| \le \frac{\pi}{2}$.

Область значений функции косинус в квадрате: $0 \le \cos^2 z \le 1$ для любого действительного аргумента $z$.

Следовательно, $0 \le 2 \cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} \le 2$.

Таким образом, $\text{ПЧ} \le 2$. Равенство достигается, когда $\cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} = 1$.

3. Приравняем оценки.

Равенство $\text{ЛЧ} = \text{ПЧ}$ возможно только если обе части равны 2. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{\cos^2 2x}{\sin^8 x} + \frac{\sin^8 x}{\cos^2 2x} = 2 \\ 2 \cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} = 2 \end{cases}$

Решим систему.

Первое уравнение равносильно $\cos^2 2x = \sin^8 x$.

Второе уравнение равносильно $\cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} = 1$.

Это означает, что $\sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} = \pi n$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$.

Так как корень неотрицателен, $n \ge 0$.

Если $n=0$, то $\sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} = 0 \implies \frac{\pi^2}{4} - x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{\pi^2}{4} \implies x = \pm\frac{\pi}{2}$.

Если $n \ge 1$, то $\pi n \ge \pi$. Тогда $\frac{\pi^2}{4} - x^2 = (\pi n)^2 \ge \pi^2 \implies x^2 = \frac{\pi^2}{4} - (\pi n)^2 \le \frac{\pi^2}{4} - \pi^2 < 0$, что невозможно.

Таким образом, единственные возможные решения из второго уравнения: $x = \pm\frac{\pi}{2}$.

4. Проверим найденные значения.

Подставим $x = \pm\frac{\pi}{2}$ в первое условие $\cos^2 2x = \sin^8 x$ и в ОДЗ.

ОДЗ: $|x| \le \frac{\pi}{2}$ (выполнено), $x \neq \pi k$ (выполнено, т.к. $\pm\frac{\pi}{2} \neq \pi k$), $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ (выполнено). Все условия ОДЗ соблюдены.

Проверка равенства:
Для $x = \pm\frac{\pi}{2}$:
$\cos(2x) = \cos(\pm \pi) = -1$.
$\sin(x) = \sin(\pm \frac{\pi}{2}) = \pm 1$.
Подставляем в $\cos^2 2x = \sin^8 x$:
$(-1)^2 = (\pm 1)^8$
$1 = 1$.
Равенство выполняется.

Следовательно, оба значения являются решениями уравнения.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{2}$.