Страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

13.23* a) $ \text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x = 2 \sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} $

б) $ \frac{\cos^2 2x}{\sin^8 x} + \frac{\sin^8 x}{\cos^2 2x} = 2 \cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} $

а) $\text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x = 2 \sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2}$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки левой и правой частей.

1. Оценим левую часть (ЛЧ): $\text{ЛЧ} = \text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x$.

Поскольку $\text{tg}^2 x > 0$ и $\text{ctg}^2 x > 0$ (при условии, что они определены), мы можем применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши): $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.

Пусть $a = \text{tg}^2 x$ и $b = \text{ctg}^2 x$. Тогда:

$\frac{\text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x}{2} \ge \sqrt{\text{tg}^2 x \cdot \text{ctg}^2 x}$

$\text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x \ge 2\sqrt{(\text{tg} x \cdot \text{ctg} x)^2}$

Так как $\text{tg} x \cdot \text{ctg} x = 1$, получаем:

$\text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x \ge 2\sqrt{1^2} = 2$.

Таким образом, $\text{ЛЧ} \ge 2$. Равенство достигается, когда $\text{tg}^2 x = \text{ctg}^2 x$, то есть $\text{tg}^2 x = 1$.

2. Оценим правую часть (ПЧ): $\text{ПЧ} = 2 \sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2}$.

Область значений функции синус в квадрате: $0 \le \sin^2 y \le 1$ для любого действительного аргумента $y$.

Следовательно, $0 \le 2 \sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} \le 2$.

Таким образом, $\text{ПЧ} \le 2$. Равенство достигается, когда $\sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} = 1$.

3. Приравняем оценки.

Исходное уравнение $\text{ЛЧ} = \text{ПЧ}$ может иметь решение только в том случае, когда обе части равны 2. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \text{tg}^2 x + \text{ctg}^2 x = 2 \\ 2 \sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} = 2 \end{cases}$

Решим каждое уравнение системы.

Из первого уравнения: $\text{tg}^2 x = 1 \implies \text{tg} x = \pm 1 \implies x = \pm\frac{\pi}{4} + \pi k$, или в более компактной форме $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения: $\sin^2 \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} = 1 \implies \sqrt{\frac{5\pi^2}{16} - x^2} = \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Поскольку значение корня не может быть отрицательным, $\frac{\pi}{2} + \pi m \ge 0$, откуда $m \ge -1/2$, т.е. $m \in \{0, 1, 2, ...\}$.

Возведем обе части в квадрат: $\frac{5\pi^2}{16} - x^2 = (\frac{\pi}{2} + \pi m)^2 = \pi^2(\frac{1}{2} + m)^2$.

$x^2 = \frac{5\pi^2}{16} - \pi^2(\frac{1+2m}{2})^2 = \frac{5\pi^2}{16} - \frac{\pi^2(1+2m)^2}{4}$.

Проверим возможные значения $m$.
При $m=0$: $x^2 = \frac{5\pi^2}{16} - \frac{\pi^2(1)^2}{4} = \frac{5\pi^2 - 4\pi^2}{16} = \frac{\pi^2}{16}$.
Отсюда $x = \pm \frac{\pi}{4}$.
При $m=1$: $x^2 = \frac{5\pi^2}{16} - \frac{\pi^2(3)^2}{4} = \frac{5\pi^2}{16} - \frac{9\pi^2}{4} < 0$, что невозможно для действительных $x$. При $m > 1$ значение $x^2$ будет еще меньше.

Таким образом, из второго уравнения мы получили $x = \pm \frac{\pi}{4}$.

Эти значения также удовлетворяют первому уравнению, так как при $x=\pm\frac{\pi}{4}$ имеем $\text{tg}^2(\pm\frac{\pi}{4}) = (\pm 1)^2 = 1$.

4. Проверим область допустимых значений (ОДЗ).
Для тангенса и котангенса: $x \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
Для корня: $\frac{5\pi^2}{16} - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le \frac{5\pi^2}{16} \implies |x| \le \frac{\sqrt{5}\pi}{4}$.
Решения $x = \pm \frac{\pi}{4}$ удовлетворяют этим условиям, так как $\frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi k}{2}$ и $|\pm\frac{\pi}{4}| = \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{1}\pi}{4} < \frac{\sqrt{5}\pi}{4}$.

Следовательно, решения найдены верно.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{4}$.

б) $\frac{\cos^2 2x}{\sin^8 x} + \frac{\sin^8 x}{\cos^2 2x} = 2 \cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2}$

Данное уравнение также решается методом оценки.

1. Оценим левую часть (ЛЧ): $\text{ЛЧ} = \frac{\cos^2 2x}{\sin^8 x} + \frac{\sin^8 x}{\cos^2 2x}$.

ОДЗ левой части: $\sin x \neq 0$ и $\cos 2x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi k$ и $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Пусть $y = \frac{\cos^2 2x}{\sin^8 x}$. В рамках ОДЗ, $y > 0$. Тогда левая часть имеет вид $y + \frac{1}{y}$.

По неравенству Коши для положительного числа $y$, имеем $y + \frac{1}{y} \ge 2$.

Таким образом, $\text{ЛЧ} \ge 2$. Равенство достигается при $y=1$, то есть $\frac{\cos^2 2x}{\sin^8 x} = 1$, что эквивалентно $\cos^2 2x = \sin^8 x$.

2. Оценим правую часть (ПЧ): $\text{ПЧ} = 2 \cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2}$.

ОДЗ правой части: $\frac{\pi^2}{4} - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le \frac{\pi^2}{4} \implies |x| \le \frac{\pi}{2}$.

Область значений функции косинус в квадрате: $0 \le \cos^2 z \le 1$ для любого действительного аргумента $z$.

Следовательно, $0 \le 2 \cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} \le 2$.

Таким образом, $\text{ПЧ} \le 2$. Равенство достигается, когда $\cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} = 1$.

3. Приравняем оценки.

Равенство $\text{ЛЧ} = \text{ПЧ}$ возможно только если обе части равны 2. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{\cos^2 2x}{\sin^8 x} + \frac{\sin^8 x}{\cos^2 2x} = 2 \\ 2 \cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} = 2 \end{cases}$

Решим систему.

Первое уравнение равносильно $\cos^2 2x = \sin^8 x$.

Второе уравнение равносильно $\cos^2 \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} = 1$.

Это означает, что $\sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} = \pi n$ для некоторого $n \in \mathbb{Z}$.

Так как корень неотрицателен, $n \ge 0$.

Если $n=0$, то $\sqrt{\frac{\pi^2}{4} - x^2} = 0 \implies \frac{\pi^2}{4} - x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{\pi^2}{4} \implies x = \pm\frac{\pi}{2}$.

Если $n \ge 1$, то $\pi n \ge \pi$. Тогда $\frac{\pi^2}{4} - x^2 = (\pi n)^2 \ge \pi^2 \implies x^2 = \frac{\pi^2}{4} - (\pi n)^2 \le \frac{\pi^2}{4} - \pi^2 < 0$, что невозможно.

Таким образом, единственные возможные решения из второго уравнения: $x = \pm\frac{\pi}{2}$.

4. Проверим найденные значения.

Подставим $x = \pm\frac{\pi}{2}$ в первое условие $\cos^2 2x = \sin^8 x$ и в ОДЗ.

ОДЗ: $|x| \le \frac{\pi}{2}$ (выполнено), $x \neq \pi k$ (выполнено, т.к. $\pm\frac{\pi}{2} \neq \pi k$), $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ (выполнено). Все условия ОДЗ соблюдены.

Проверка равенства:
Для $x = \pm\frac{\pi}{2}$:
$\cos(2x) = \cos(\pm \pi) = -1$.
$\sin(x) = \sin(\pm \frac{\pi}{2}) = \pm 1$.
Подставляем в $\cos^2 2x = \sin^8 x$:
$(-1)^2 = (\pm 1)^8$
$1 = 1$.
Равенство выполняется.

Следовательно, оба значения являются решениями уравнения.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{2}$.

Решите неравенство (13.24–13.26):

13.24* a) $\sqrt{x^2 + x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 1}} \le 2 - \ln^2(x^2 + x + 1)$;

б) $\sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5} + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5}} \le 2 - \sin^2\pi x.$

а) $ \sqrt{x^2 + x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 1}} \le 2 - \ln^2(x^2 + x + 1) $

1. Найдем область определения неравенства. Выражение под корнем, а также аргумент логарифма, должны быть строго положительными: $ x^2 + x + 1 > 0 $.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ y = x^2 + x + 1 $: $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 $. Поскольку дискриминант отрицательный ($ D < 0 $) и старший коэффициент положителен ($ a=1>0 $), парабола целиком лежит выше оси абсцисс, то есть трехчлен $ x^2 + x + 1 $ положителен при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, область определения неравенства — все действительные числа, $ x \in \mathbb{R} $.

2. Оценим левую и правую части неравенства. Этот тип неравенств часто решается методом оценки.

Рассмотрим левую часть (ЛЧ): $ f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 1}} $.

Пусть $ y = \sqrt{x^2 + x + 1} $. Так как $ x^2 + x + 1 > 0 $, то $ y > 0 $. Левая часть принимает вид $ y + \frac{1}{y} $.

По неравенству о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $a$ и $b$ верно, что $ a+b \ge 2\sqrt{ab} $. Для $ y $ и $ \frac{1}{y} $ получаем: $ y + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt{y \cdot \frac{1}{y}} = 2 $.

Таким образом, левая часть неравенства всегда не меньше 2: $ \text{ЛЧ} \ge 2 $. Равенство достигается при $ y = 1 $, то есть $ \sqrt{x^2 + x + 1} = 1 $.

Рассмотрим правую часть (ПЧ): $ g(x) = 2 - \ln^2(x^2 + x + 1) $.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $ \ln^2(x^2 + x + 1) \ge 0 $.

Следовательно, $ -\ln^2(x^2 + x + 1) \le 0 $, и, прибавив 2 к обеим частям, получим $ 2 - \ln^2(x^2 + x + 1) \le 2 $.

Таким образом, правая часть неравенства всегда не больше 2: $ \text{ПЧ} \le 2 $. Равенство достигается, когда $ \ln^2(x^2 + x + 1) = 0 $, то есть $ \ln(x^2 + x + 1) = 0 $.

3. Сопоставим оценки левой и правой частей.

Исходное неравенство имеет вид $ \text{ЛЧ} \le \text{ПЧ} $. Учитывая, что $ \text{ЛЧ} \ge 2 $ и $ \text{ПЧ} \le 2 $, неравенство может выполняться только в том случае, когда обе части равны 2.

$ \text{ЛЧ} = \text{ПЧ} = 2 $

Это равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x^2 + x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + x + 1}} = 2 \\ 2 - \ln^2(x^2 + x + 1) = 2 \end{cases} $

Оба равенства достигаются при одном и том же условии. Из первого уравнения следует $ \sqrt{x^2 + x + 1} = 1 $. Из второго следует $ \ln(x^2 + x + 1) = 0 $, что эквивалентно $ x^2 + x + 1 = e^0 = 1 $. Оба условия приводят к одному и тому же уравнению.

Решим уравнение $ x^2 + x + 1 = 1 $:

$ x^2 + x = 0 $

$ x(x + 1) = 0 $

Отсюда получаем два решения: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = -1 $.

Эти значения и являются решениями исходного неравенства.

Ответ: $ \{-1, 0\} $.

б) $ \sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5} + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5}} \le 2 - \sin^2(\pi x) $

1. Найдем область определения неравенства. Выражение под корнем должно быть строго положительным (так как оно также находится в знаменателе): $ x^2 - 3,5x + 3,5 > 0 $.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ y = x^2 - 3,5x + 3,5 $: $ D = (-3,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3,5 = 12,25 - 14 = -1,75 $. Поскольку $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a=1>0 $, трехчлен $ x^2 - 3,5x + 3,5 $ положителен при всех $ x \in \mathbb{R} $.

Следовательно, область определения неравенства — все действительные числа.

2. Оценим левую и правую части неравенства.

Левая часть (ЛЧ): $ f(x) = \sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5} + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5}} $.

Обозначим $ z = \sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5} $. Так как подкоренное выражение всегда положительно, то $ z > 0 $. Левая часть имеет вид $ z + \frac{1}{z} $. По неравенству Коши, $ z + \frac{1}{z} \ge 2 $. Равенство достигается при $ z = 1 $.

Итак, $ \text{ЛЧ} \ge 2 $.

Правая часть (ПЧ): $ g(x) = 2 - \sin^2(\pi x) $.

Известно, что для любого действительного аргумента $ 0 \le \sin^2(\pi x) \le 1 $.

Умножая на -1, получаем $ -1 \le -\sin^2(\pi x) \le 0 $.

Прибавляя 2 ко всем частям, получаем $ 1 \le 2 - \sin^2(\pi x) \le 2 $.

Итак, $ \text{ПЧ} \le 2 $. Равенство достигается, когда $ \sin^2(\pi x) = 0 $.

3. Исходное неравенство $ \text{ЛЧ} \le \text{ПЧ} $ может выполняться только тогда, когда обе его части равны 2.

$ \text{ЛЧ} = 2 $ и $ \text{ПЧ} = 2 $.

Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5} = 1 \\ \sin^2(\pi x) = 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ \sqrt{x^2 - 3,5x + 3,5} = 1 $

Возведем обе части в квадрат:

$ x^2 - 3,5x + 3,5 = 1 $

$ x^2 - 3,5x + 2,5 = 0 $

Умножим на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$ 2x^2 - 7x + 5 = 0 $

Дискриминант: $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 $.

Корни: $ x_1 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = 1 $; $ x_2 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2,5 $.

Решим второе уравнение системы:

$ \sin^2(\pi x) = 0 \implies \sin(\pi x) = 0 $

$ \pi x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Таким образом, второе равенство выполняется, если $x$ — целое число.

4. Найдем общее решение системы. Из двух корней первого уравнения, $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 2,5 $, нужно выбрать те, которые удовлетворяют второму условию, то есть являются целыми числами.

Корень $ x = 1 $ является целым числом ($k=1$).

Корень $ x = 2,5 $ не является целым числом.

Следовательно, единственным решением исходного неравенства является $ x = 1 $.

Ответ: $ \{1\} $.

13.25* а) $\frac{\sqrt{\sin x + 2} + \sqrt{\cos x + 2}}{2} \le \sqrt[4]{\sin x \cos x + 2 \sin x + 2 \cos x + 4};$

б) $\frac{\sqrt{\sin x + 2} + \sqrt{\cos x + 3}}{2} \le \sqrt[4]{\sin x \cos x + 3 \sin x + 2 \cos x + 6}.$

а)

Рассмотрим неравенство:

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаками корней должны быть неотрицательными.

1. $ \sin x + 2 \ge 0 $. Поскольку $ -1 \le \sin x \le 1 $, то $ 1 \le \sin x + 2 \le 3 $. Выражение всегда положительно.

2. $ \cos x + 2 \ge 0 $. Поскольку $ -1 \le \cos x \le 1 $, то $ 1 \le \cos x + 2 \le 3 $. Выражение также всегда положительно.

3. Выражение под корнем четвертой степени $ \sin x \cos x + 2\sin x + 2\cos x + 4 $. Разложим его на множители: $ \sin x \cos x + 2\sin x + 2\cos x + 4 = \sin x(\cos x + 2) + 2(\cos x + 2) = (\sin x + 2)(\cos x + 2) $. Поскольку оба множителя, $ (\sin x + 2) $ и $ (\cos x + 2) $, всегда положительны, их произведение также всегда положительно.

Следовательно, ОДЗ — все действительные числа, $ x \in \mathbb{R} $.

Преобразуем правую часть неравенства, используя разложение на множители: $$ \sqrt[4]{\sin x \cos x + 2\sin x + 2\cos x + 4} = \sqrt[4]{(\sin x + 2)(\cos x + 2)} $$

Введем обозначения: $ a = \sqrt{\sin x + 2} $ и $ b = \sqrt{\cos x + 2} $. Заметим, что $ a > 0 $ и $ b > 0 $. Тогда исходное неравенство можно переписать в виде: $$ \frac{a+b}{2} \leq \sqrt[4]{a^2 b^2} $$ $$ \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{ab} $$

Мы получили неравенство, связывающее среднее арифметическое $ \frac{a+b}{2} $ и среднее геометрическое $ \sqrt{ab} $ двух положительных чисел $ a $ и $ b $. Известно неравенство Коши (неравенство о средних), которое утверждает обратное: $$ \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} $$

Сравнивая данное нам неравенство $ \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{ab} $ с неравенством Коши, делаем вывод, что оно может выполняться только в одном случае — когда достигается равенство: $$ \frac{a+b}{2} = \sqrt{ab} $$ Равенство в неравенстве Коши возможно тогда и только тогда, когда $ a = b $.

Таким образом, решение исходного неравенства сводится к решению уравнения $ a = b $: $$ \sqrt{\sin x + 2} = \sqrt{\cos x + 2} $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ \sin x + 2 = \cos x + 2 $$ $$ \sin x = \cos x $$ Если предположить, что $ \cos x = 0 $, то из уравнения следует $ \sin x = 0 $, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Значит, $ \cos x \ne 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos x $: $$ \frac{\sin x}{\cos x} = 1 $$ $$ \tan x = 1 $$ Решением этого уравнения является серия корней: $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б)

Рассмотрим неравенство:

Определим область допустимых значений (ОДЗ). 1. $ \sin x + 2 \ge 0 $ — всегда верно, так как $ 1 \le \sin x + 2 \le 3 $. 2. $ \cos x + 3 \ge 0 $ — всегда верно, так как $ 2 \le \cos x + 3 \le 4 $. 3. Подкоренное выражение в правой части $ \sin x \cos x + 3\sin x + 2\cos x + 6 $ можно разложить на множители: $ \sin x (\cos x + 3) + 2(\cos x + 3) = (\sin x + 2)(\cos x + 3) $. Поскольку оба множителя всегда положительны, их произведение также всегда положительно. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа, $ x \in \mathbb{R} $.

Введем обозначения: $ a = \sqrt{\sin x + 2} $ и $ b = \sqrt{\cos x + 3} $. Оба числа $ a $ и $ b $ положительны. Неравенство принимает вид: $$ \frac{a+b}{2} \leq \sqrt[4]{a^2 b^2} $$ $$ \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{ab} $$

Как и в пункте а), данное неравенство может выполняться только при условии равенства, так как по неравенству Коши $ \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} $. Следовательно, искомые значения $ x $ удовлетворяют уравнению: $$ \frac{a+b}{2} = \sqrt{ab} $$ что эквивалентно $ a=b $.

Решим уравнение $ a=b $: $$ \sqrt{\sin x + 2} = \sqrt{\cos x + 3} $$ Возведем обе части в квадрат: $$ \sin x + 2 = \cos x + 3 $$ $$ \sin x - \cos x = 1 $$

Это линейное тригонометрическое уравнение. Решим его методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части на $ \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2} $: $$ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ Зная, что $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, заменим коэффициенты: $$ \sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ Применим формулу синуса разности $ \sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $: $$ \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет две серии решений:

1. $ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $ $$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

2. $ x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k $ $$ x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $$ $$ x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

13.26* a) $ | \sin x | + \frac{1}{| \sin x |} \le 2 - x^2 - \pi x - \frac{\pi^2}{4} $

б) $ | \cos x | + \frac{1}{| \cos x |} \le 2 - x^2 + 2\pi x - \pi^2 $

в) $ | \operatorname{tg} x | + \frac{1}{| \operatorname{tg} x |} \le 2 - x^2 + \frac{\pi x}{2} - \frac{\pi^2}{16} $

г) $ | \operatorname{ctg} x | + \frac{1}{| \operatorname{ctg} x |} \le 2 - x^2 - \frac{\pi x}{2} - \frac{\pi^2}{16} $

а) $|\sin x| + \frac{1}{|\sin x|} \le 2 - x^2 - \pi x - \frac{\pi^2}{4}$

Данное неравенство решается методом оценки. Рассмотрим левую и правую части неравенства по отдельности.

1. Левая часть (ЛЧ): $f(x) = |\sin x| + \frac{1}{|\sin x|}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения: $\sin x \neq 0$, что означает $x \neq \pi k$ для любого целого $k$.

Для любого положительного числа $a$ справедливо неравенство о средних арифметическом и геометрическом: $a + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 2$. Равенство достигается только при $a=1$.

Пусть $a = |\sin x|$. Так как по ОДЗ $\sin x \neq 0$, то $a > 0$. Следовательно, ЛЧ $= |\sin x| + \frac{1}{|\sin x|} \ge 2$.

2. Правая часть (ПЧ): $g(x) = 2 - x^2 - \pi x - \frac{\pi^2}{4}$.

Это квадратичная функция от $x$. Для нахождения ее наибольшего значения выделим полный квадрат:

$g(x) = 2 - (x^2 + \pi x + \frac{\pi^2}{4}) = 2 - (x + \frac{\pi}{2})^2$.

Поскольку $(x + \frac{\pi}{2})^2 \ge 0$ для любого $x$, максимальное значение правой части равно 2. Это значение достигается, когда $(x + \frac{\pi}{2})^2 = 0$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2}$.

3. Решение неравенства.

Мы получили, что ЛЧ $\ge 2$, а ПЧ $\le 2$. Исходное неравенство ЛЧ $\le$ ПЧ может выполняться только в том случае, когда обе части одновременно равны 2.

Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} |\sin x| + \frac{1}{|\sin x|} = 2 \\ 2 - (x + \frac{\pi}{2})^2 = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $|\sin x| = 1$.

Из второго уравнения следует, что $(x + \frac{\pi}{2})^2 = 0$, откуда $x = -\frac{\pi}{2}$.

Проверим, является ли $x = -\frac{\pi}{2}$ решением. При этом значении $x$:

$|\sin(-\frac{\pi}{2})| = |-1| = 1$. Первое уравнение выполняется.

Также $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 \neq 0$, так что ОДЗ выполняется.

Следовательно, $x = -\frac{\pi}{2}$ является единственным решением неравенства.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$.

б) $|\cos x| + \frac{1}{|\cos x|} \le 2 - x^2 + 2\pi x - \pi^2$

1. Левая часть (ЛЧ): $f(x) = |\cos x| + \frac{1}{|\cos x|}$.

ОДЗ: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$.

Аналогично пункту а), ЛЧ $\ge 2$, и равенство достигается при $|\cos x|=1$.

2. Правая часть (ПЧ): $g(x) = 2 - x^2 + 2\pi x - \pi^2$.

Выделим полный квадрат:

$g(x) = 2 - (x^2 - 2\pi x + \pi^2) = 2 - (x - \pi)^2$.

Максимальное значение ПЧ равно 2 и достигается при $x = \pi$.

3. Решение неравенства.

Неравенство ЛЧ $\le$ ПЧ возможно только при ЛЧ = ПЧ = 2. Получаем систему:

$\begin{cases} |\cos x| + \frac{1}{|\cos x|} = 2 \\ 2 - (x - \pi)^2 = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения $|\cos x| = 1$.

Из второго уравнения $x = \pi$.

Проверим решение $x = \pi$.

$|\cos(\pi)| = |-1| = 1$. Первое уравнение выполняется.

$\cos(\pi) = -1 \neq 0$, ОДЗ выполняется.

Следовательно, $x = \pi$ — единственное решение.

Ответ: $x = \pi$.

в) $|\tg x| + \frac{1}{|\tg x|} \le 2 - x^2 + \frac{\pi x}{2} - \frac{\pi^2}{16}$

1. Левая часть (ЛЧ): $f(x) = |\tg x| + \frac{1}{|\tg x|}$.

ОДЗ: $\tg x$ должен быть определен и не равен нулю, то есть $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.

Так как $|\tg x| > 0$, то ЛЧ $\ge 2$. Равенство достигается при $|\tg x|=1$.

2. Правая часть (ПЧ): $g(x) = 2 - x^2 + \frac{\pi x}{2} - \frac{\pi^2}{16}$.

Выделим полный квадрат:

$g(x) = 2 - (x^2 - \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi^2}{16}) = 2 - (x - \frac{\pi}{4})^2$.

Максимальное значение ПЧ равно 2 и достигается при $x = \frac{\pi}{4}$.

3. Решение неравенства.

Неравенство возможно только при ЛЧ = ПЧ = 2. Получаем систему:

$\begin{cases} |\tg x| + \frac{1}{|\tg x|} = 2 \\ 2 - (x - \frac{\pi}{4})^2 = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения $|\tg x| = 1$.

Из второго уравнения $x = \frac{\pi}{4}$.

Проверим решение $x = \frac{\pi}{4}$.

$|\tg(\frac{\pi}{4})| = |1| = 1$. Первое уравнение выполняется.

Значение $x = \frac{\pi}{4}$ не принадлежит множеству $x = \frac{\pi k}{2}$, ОДЗ выполняется.

Следовательно, $x = \frac{\pi}{4}$ — единственное решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4}$.

г) $|\ctg x| + \frac{1}{|\ctg x|} \le 2 - x^2 - \frac{\pi x}{2} - \frac{\pi^2}{16}$

1. Левая часть (ЛЧ): $f(x) = |\ctg x| + \frac{1}{|\ctg x|}$.

ОДЗ: $\ctg x$ должен быть определен и не равен нулю, то есть $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.

Так как $|\ctg x| > 0$, то ЛЧ $\ge 2$. Равенство достигается при $|\ctg x|=1$.

2. Правая часть (ПЧ): $g(x) = 2 - x^2 - \frac{\pi x}{2} - \frac{\pi^2}{16}$.

Выделим полный квадрат:

$g(x) = 2 - (x^2 + \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi^2}{16}) = 2 - (x + \frac{\pi}{4})^2$.

Максимальное значение ПЧ равно 2 и достигается при $x = -\frac{\pi}{4}$.

3. Решение неравенства.

Неравенство возможно только при ЛЧ = ПЧ = 2. Получаем систему:

$\begin{cases} |\ctg x| + \frac{1}{|\ctg x|} = 2 \\ 2 - (x + \frac{\pi}{4})^2 = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения $|\ctg x| = 1$.

Из второго уравнения $x = -\frac{\pi}{4}$.

Проверим решение $x = -\frac{\pi}{4}$.

$|\ctg(-\frac{\pi}{4})| = |-1| = 1$. Первое уравнение выполняется.

Значение $x = -\frac{\pi}{4}$ не принадлежит множеству $x = \frac{\pi k}{2}$, ОДЗ выполняется.

Следовательно, $x = -\frac{\pi}{4}$ — единственное решение.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4}$.