Страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (13.6–13.9):

13.6 a) $(\log_2(x - 5) - \sin(\pi x))^2 + (x - 6)^2 = 0;$

б) $(\log_3(x - 2) - \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right))^2 + (x - 5)^2 = 0.$

а)

Данное уравнение имеет вид $A^2 + B^2 = 0$, где $A = \log_2(x-5) - \sin(\pi x)$ и $B = x - 6$. Сумма двух неотрицательных слагаемых ($A^2 \ge 0$ и $B^2 \ge 0$) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \log_2(x-5) - \sin(\pi x) = 0, \\ x - 6 = 0. \end{cases} $

Из второго уравнения системы находим $x$:

$x - 6 = 0 \implies x = 6$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $x=6$ первому уравнению системы и области определения логарифма. Область определения логарифма $\log_2(x-5)$ задается неравенством $x - 5 > 0$, то есть $x > 5$. Значение $x=6$ удовлетворяет этому условию.

Подставим $x=6$ в первое уравнение системы:

$\log_2(6-5) - \sin(6\pi) = 0$

$\log_2(1) - \sin(6\pi) = 0$

Так как $\log_2(1) = 0$ и $\sin(6\pi) = 0$, получаем верное равенство:

$0 - 0 = 0$

Следовательно, $x=6$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $6$

б)

Данное уравнение также имеет вид $A^2 + B^2 = 0$, где $A = \log_3(x-2) - \sin(\frac{\pi x}{2})$ и $B = x - 5$. Это уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \log_3(x-2) - \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 0, \\ x - 5 = 0. \end{cases} $

Из второго уравнения системы находим $x$:

$x - 5 = 0 \implies x = 5$.

Проверим, удовлетворяет ли $x=5$ первому уравнению и области определения логарифма. Область определения логарифма $\log_3(x-2)$ задается неравенством $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$. Значение $x=5$ удовлетворяет этому условию.

Подставим $x=5$ в первое уравнение системы:

$\log_3(5-2) - \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 0$

$\log_3(3) - \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 0$

Вычислим значения выражений: $\log_3(3) = 1$. Для синуса: $\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Подставив значения, получаем верное равенство:

$1 - 1 = 0$

Следовательно, $x=5$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $5$