Страница 314 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

12.21 a) $\frac{(x-2)^4 (1 + \log_{0.5} x)}{2x - 7} \le 0;$

б) $\frac{(3x-1)^2 (x-3)}{2^x - 4} \le 0;$

В) $\frac{(x-4)^2 (2 + \log_{\frac{1}{3}} x)}{x - 1} \le 0;$

Г) $\frac{(x^2 - 11x + 10)(\lg x - 1)}{(2^x - 2)^2} \le 0.$

а)

Решим неравенство $\frac{(x-2)^4 (1 + \log_{0,5} x)}{2x - 7} \le 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $2x - 7 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3,5$.
ОДЗ: $x \in (0; 3,5) \cup (3,5; \infty)$.

2. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя:
$(x-2)^4 = 0 \Rightarrow x = 2$.
$1 + \log_{0,5} x = 0 \Rightarrow \log_{0,5} x = -1 \Rightarrow x = (0,5)^{-1} = 2$.
Корень $x=2$ является корнем числителя. Подставив $x=2$ в исходное неравенство, получаем $\frac{0}{-3} \le 0$, что является верным ($0 \le 0$). Следовательно, $x=2$ является решением.

Нуль знаменателя:
$2x - 7 = 0 \Rightarrow x = 3,5$.

3. Множитель $(x-2)^4$ неотрицателен при всех $x$ из ОДЗ. Так как $x=2$ уже включено в решение, для $x \ne 2$ этот множитель строго положителен и не влияет на знак дроби. Таким образом, для $x \in \text{ОДЗ} \setminus \{2\}$, неравенство равносильно следующему:

$\frac{1 + \log_{0,5} x}{2x - 7} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: $x=2$ (нуль числителя) и $x=3,5$ (нуль знаменателя). Они разбивают ОДЗ на интервалы: $(0; 2)$, $(2; 3,5)$ и $(3,5; \infty)$.

• При $x \in (0; 2)$: $1 + \log_{0,5} x > 0$ (например, при $x=1$, $1+0 > 0$), $2x-7 < 0$. Дробь $\frac{+}{-}$ отрицательна. Интервал подходит.
• При $x \in (2; 3,5)$: $1 + \log_{0,5} x < 0$ (например, при $x=3$, $\log_{0,5} 3 < -1$), $2x-7 < 0$. Дробь $\frac{-}{-}$ положительна. Интервал не подходит.
• При $x \in (3,5; \infty)$: $1 + \log_{0,5} x < 0$, $2x-7 > 0$. Дробь $\frac{-}{+}$ отрицательна. Интервал подходит.

4. Объединяя полученные результаты, получаем решение для упрощенного неравенства: $x \in (0; 2) \cup (3,5; \infty)$.
Добавляем ранее найденное решение $x=2$.

Итоговое решение: $x \in (0; 2] \cup (3,5; \infty)$.

Ответ: $(0; 2] \cup (3,5; \infty)$.

б)

Решим неравенство $\frac{(3x - 1)^2 (x - 3)}{2^x - 4} \le 0$.

1. Найдем ОДЗ:
Знаменатель не равен нулю: $2^x - 4 \ne 0 \Rightarrow 2^x \ne 2^2 \Rightarrow x \ne 2$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; \infty)$.

2. Решим неравенство методом интервалов.
Множитель $(3x-1)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $3x-1=0 \Rightarrow x=1/3$.
При $x=1/3$ числитель равен 0, а знаменатель $2^{1/3}-4 \ne 0$. Неравенство $0 \le 0$ выполняется, значит $x=1/3$ является решением.

3. Для $x \ne 1/3$ множитель $(3x-1)^2 > 0$ и не влияет на знак дроби. Неравенство равносильно следующему:

$\frac{x - 3}{2^x - 4} \le 0$

Найдем нули числителя и знаменателя:
$x-3=0 \Rightarrow x=3$.
$2^x-4=0 \Rightarrow x=2$.
Нанесем точки $2$ и $3$ на числовую ось и определим знаки на интервалах $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; \infty)$.

• При $x \in (-\infty; 2)$: $x-3 < 0$, $2^x - 4 < 0$. Дробь $\frac{-}{-}$ положительна. Интервал не подходит.
• При $x \in (2; 3)$: $x-3 < 0$, $2^x - 4 > 0$. Дробь $\frac{-}{+}$ отрицательна. Интервал подходит.
• При $x=3$: числитель равен 0, дробь равна 0. Неравенство $0 \le 0$ выполняется. Точка $x=3$ является решением.
• При $x \in (3; \infty)$: $x-3 > 0$, $2^x - 4 > 0$. Дробь $\frac{+}{+}$ положительна. Интервал не подходит.

4. Решение для упрощенного неравенства: $x \in (2; 3]$.
Объединяем с ранее найденным решением $x=1/3$.

Итоговое решение: $x \in \{1/3\} \cup (2; 3]$.

Ответ: $\{1/3\} \cup (2; 3]$.

в)

Решим неравенство $\frac{(x - 4)^2 (2 + \log_{\frac{1}{3}} x)}{x - 1} \le 0$.

1. Найдем ОДЗ:
Аргумент логарифма: $x > 0$.
Знаменатель: $x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.
ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; \infty)$.

2. Решим методом интервалов.
Множитель $(x-4)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=4$.
При $x=4$ числитель равен 0, знаменатель $4-1=3 \ne 0$. Неравенство $0 \le 0$ выполняется. Значит, $x=4$ является решением.

3. Для $x \ne 4$ множитель $(x-4)^2 > 0$ и не влияет на знак дроби. Неравенство равносильно:

$\frac{2 + \log_{\frac{1}{3}} x}{x - 1} \le 0$

Найдем нули числителя и знаменателя:
$2 + \log_{\frac{1}{3}} x = 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} x = -2 \Rightarrow x = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$.
$x-1=0 \Rightarrow x=1$.
Нанесем точки $1$ и $9$ на числовую ось с учетом ОДЗ $x>0$. Интервалы: $(0; 1)$, $(1; 9)$ и $(9; \infty)$.

• При $x \in (0; 1)$: $x-1 < 0$. Для числителя: т.к. $x < 9$, то $\log_{1/3} x > \log_{1/3} 9 = -2$, значит $2 + \log_{1/3} x > 0$. Дробь $\frac{+}{-}$ отрицательна. Интервал подходит.
• При $x \in (1; 9)$: $x-1 > 0$, $2 + \log_{1/3} x > 0$. Дробь $\frac{+}{+}$ положительна. Интервал не подходит.
• При $x=9$: числитель равен 0, дробь равна 0. Неравенство $0 \le 0$ выполняется. Точка $x=9$ является решением.
• При $x \in (9; \infty)$: $x-1 > 0$. Для числителя: т.к. $x > 9$, то $\log_{1/3} x < \log_{1/3} 9 = -2$, значит $2 + \log_{1/3} x < 0$. Дробь $\frac{-}{+}$ отрицательна. Интервал подходит.

4. Решение для упрощенного неравенства: $x \in (0; 1) \cup [9; \infty)$.
Объединяем с ранее найденным решением $x=4$.

Итоговое решение: $x \in (0; 1) \cup \{4\} \cup [9; \infty)$.

Ответ: $(0; 1) \cup \{4\} \cup [9; \infty)$.

г)

Решим неравенство $\frac{(x^2 - 11x + 10)(\lg x - 1)}{(2^x - 2)^2} \le 0$.

1. Найдем ОДЗ:
Аргумент логарифма: $x > 0$.
Знаменатель: $(2^x - 2)^2 \ne 0 \Rightarrow 2^x - 2 \ne 0 \Rightarrow 2^x \ne 2^1 \Rightarrow x \ne 1$.
ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; \infty)$.

2. Знаменатель $(2^x-2)^2$ является полным квадратом и строго положителен для всех $x$ из ОДЗ. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} (x^2 - 11x + 10)(\lg x - 1) \le 0 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \end{cases}$

3. Решим неравенство $(x^2 - 11x + 10)(\lg x - 1) \le 0$.
Разложим на множители квадратный трехчлен: $x^2 - 11x + 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 10$. Таким образом, $x^2 - 11x + 10 = (x-1)(x-10)$.
Неравенство принимает вид: $(x-1)(x-10)(\lg x - 1) \le 0$.

4. Найдем нули левой части:
$x-1=0 \Rightarrow x=1$.
$x-10=0 \Rightarrow x=10$.
$\lg x - 1 = 0 \Rightarrow \lg x = 1 \Rightarrow x = 10$.
Критические точки: $x=1$ (корень кратности 1) и $x=10$ (корень кратности 2, т.к. является корнем двух множителей). При переходе через точку $x=10$ знак меняться не будет.

5. Нанесем точки на числовую ось с учетом ОДЗ ($x>0$, $x \ne 1$). Интервалы: $(0; 1)$, $(1; 10)$ и $(10; \infty)$.

• При $x \in (0; 1)$: $x-1 < 0$, $x-10 < 0$, $\lg x - 1 < 0$ (т.к. $\lg x < \lg 1 = 0$). Произведение $(-)(-)(-) = (-)$. Интервал подходит.
• При $x \in (1; 10)$: $x-1 > 0$, $x-10 < 0$, $\lg x - 1 < 0$ (т.к. $\lg x < \lg 10 = 1$). Произведение $(+)(-)(-) = (+)$. Интервал не подходит.
• При $x=10$: левая часть равна 0. Неравенство $0 \le 0$ выполняется. Точка $x=10$ является решением.
• При $x \in (10; \infty)$: $x-1 > 0$, $x-10 > 0$, $\lg x - 1 > 0$. Произведение $(+)(+)(+) = (+)$. Интервал не подходит.

6. Учитывая, что $x \ne 1$, объединяем полученные решения.

Итоговое решение: $x \in (0; 1) \cup \{10\}$.

Ответ: $(0; 1) \cup \{10\}$.

12.22 a) $\frac{2^{x-1} + 6 \cdot 4^{x+1}}{3 \cdot 4^x - 10 \cdot 2^{x-1} - 28} \ge -1$;

б) $\frac{5 \cdot 2^{x-1} - 2 \cdot 4^x - 26}{3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x-1} - 34} \ge 1$.

a)

Решим неравенство: $$ \frac{2^{x-1} + 6 \cdot 4^{x+1} + 1}{3 \cdot 4^x - 10 \cdot 2^{x-1} - 28} \ge -1 $$ Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$ \frac{2^{x-1} + 6 \cdot 4^{x+1} + 1}{3 \cdot 4^x - 10 \cdot 2^{x-1} - 28} + 1 \ge 0 $$ $$ \frac{2^{x-1} + 6 \cdot 4^{x+1} + 1 + 3 \cdot 4^x - 10 \cdot 2^{x-1} - 28}{3 \cdot 4^x - 10 \cdot 2^{x-1} - 28} \ge 0 $$ Упростим показательные функции, приведя их к основанию 2: $2^{x-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$
$4^x = (2^x)^2$
$4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^x)^2$
Подставим эти выражения в неравенство: $$ \frac{\frac{1}{2} \cdot 2^x + 6 \cdot 4 \cdot (2^x)^2 + 1 + 3 \cdot (2^x)^2 - 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x - 28}{3 \cdot (2^x)^2 - 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x - 28} \ge 0 $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ \frac{24 \cdot (2^x)^2 + 3 \cdot (2^x)^2 + \frac{1}{2} \cdot 2^x - 5 \cdot 2^x + 1 - 28}{3 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 28} \ge 0 $$ $$ \frac{27 \cdot (2^x)^2 - \frac{9}{2} \cdot 2^x - 27}{3 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 28} \ge 0 $$ Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. $$ \frac{27t^2 - \frac{9}{2}t - 27}{3t^2 - 5t - 28} \ge 0 $$ Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы избавиться от дроби в коэффициенте: $$ \frac{54t^2 - 9t - 54}{3t^2 - 5t - 28} \ge 0 $$ Разделим числитель на 9: $$ \frac{9(6t^2 - t - 6)}{3t^2 - 5t - 28} \ge 0 $$ Так как 9 > 0, знак неравенства не меняется: $$ \frac{6t^2 - t - 6}{3t^2 - 5t - 28} \ge 0 $$ Найдем корни числителя и знаменателя. Для числителя $6t^2 - t - 6 = 0$:
Дискриминант $D_1 = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 1 + 144 = 145$.
Корни $t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{145}}{12}$. Для знаменателя $3t^2 - 5t - 28 = 0$:
Дискриминант $D_2 = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 25 + 336 = 361 = 19^2$.
Корни $t_{3,4} = \frac{5 \pm 19}{6}$, откуда $t_3 = \frac{5+19}{6} = 4$ и $t_4 = \frac{5-19}{6} = -\frac{7}{3}$. С учетом условия $t > 0$, нас интересуют только положительные корни: $t = \frac{1+\sqrt{145}}{12}$ и $t = 4$. Заметим, что $\sqrt{144} < \sqrt{145} < \sqrt{169}$, то есть $12 < \sqrt{145} < 13$. Значит $\frac{1+12}{12} < \frac{1+\sqrt{145}}{12} < \frac{1+13}{12}$, то есть $1 < \frac{13}{12} < \frac{1+\sqrt{145}}{12} < \frac{14}{12} < 2$. Таким образом, $\frac{1+\sqrt{145}}{12} < 4$. Решим неравенство $\frac{6(t - \frac{1+\sqrt{145}}{12})(t - \frac{1-\sqrt{145}}{12})}{3(t-4)(t+\frac{7}{3})} \ge 0$ методом интервалов для $t>0$. На числовой прямой для $t>0$ отмечаем точки $\frac{1+\sqrt{145}}{12}$ (закрашенная) и $4$ (выколотая). Интервалы: $(0, \frac{1+\sqrt{145}}{12}]$, $(\frac{1+\sqrt{145}}{12}, 4)$, $(4, +\infty)$. - При $t \in (0, \frac{1+\sqrt{145}}{12}]$, например $t=1$: $\frac{6-1-6}{3-5-28} = \frac{-1}{-30} > 0$. Интервал подходит. - При $t \in (\frac{1+\sqrt{145}}{12}, 4)$, например $t=2$: $\frac{6(4)-2-6}{3(4)-10-28} = \frac{16}{-26} < 0$. Интервал не подходит. - При $t \in (4, +\infty)$, например $t=5$: $\frac{6(25)-5-6}{3(25)-25-28} = \frac{139}{22} > 0$. Интервал подходит. Таким образом, решение для $t$: $t \in (0, \frac{1+\sqrt{145}}{12}] \cup (4, +\infty)$. Вернемся к замене $t = 2^x$: 1) $0 < 2^x \le \frac{1+\sqrt{145}}{12}$. Так как $2^x > 0$ всегда, решаем $2^x \le \frac{1+\sqrt{145}}{12}$. Логарифмируя по основанию 2, получаем $x \le \log_2\left(\frac{1+\sqrt{145}}{12}\right)$. 2) $2^x > 4$. $2^x > 2^2$, откуда $x > 2$. Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, \log_2(\frac{1+\sqrt{145}}{12})] \cup (2, +\infty)$.

б)

Решим неравенство: $$ \frac{5 \cdot 2^{x-1} - 2 \cdot 4^x - 26}{3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x-1} - 34} \ge 1 $$ Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$ \frac{5 \cdot 2^{x-1} - 2 \cdot 4^x - 26 - (3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x-1} - 34)}{3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x-1} - 34} \ge 0 $$ $$ \frac{5 \cdot 2^{x-1} - 2 \cdot 4^x - 26 - 3 \cdot 4^x + 7 \cdot 2^{x-1} + 34}{3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x-1} - 34} \ge 0 $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ \frac{-5 \cdot 4^x + 12 \cdot 2^{x-1} + 8}{3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x-1} - 34} \ge 0 $$ Упростим показательные функции: $4^x = (2^x)^2$ и $2^{x-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$. $$ \frac{-5(2^x)^2 + 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x + 8}{3(2^x)^2 - 7 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x - 34} \ge 0 $$ $$ \frac{-5(2^x)^2 + 6 \cdot 2^x + 8}{3(2^x)^2 - \frac{7}{2} \cdot 2^x - 34} \ge 0 $$ Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. $$ \frac{-5t^2 + 6t + 8}{3t^2 - \frac{7}{2}t - 34} \ge 0 $$ Умножим числитель и знаменатель на 2: $$ \frac{-10t^2 + 12t + 16}{6t^2 - 7t - 68} \ge 0 $$ Разделим числитель и знаменатель на -1, изменив знак неравенства: $$ \frac{10t^2 - 12t - 16}{6t^2 - 7t - 68} \le 0 $$ Разделим числитель на 2: $$ \frac{5t^2 - 6t - 8}{6t^2 - 7t - 68} \le 0 $$ Найдем корни числителя и знаменателя. Для числителя $5t^2 - 6t - 8 = 0$:
Дискриминант $D_1 = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 36 + 160 = 196 = 14^2$.
Корни $t_{1,2} = \frac{6 \pm 14}{10}$, откуда $t_1 = \frac{6+14}{10} = 2$ и $t_2 = \frac{6-14}{10} = -0.8$. Для знаменателя $6t^2 - 7t - 68 = 0$:
Дискриминант $D_2 = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-68) = 49 + 1632 = 1681 = 41^2$.
Корни $t_{3,4} = \frac{7 \pm 41}{12}$, откуда $t_3 = \frac{7+41}{12} = 4$ и $t_4 = \frac{7-41}{12} = -\frac{34}{12} = -\frac{17}{6}$. С учетом условия $t > 0$, нас интересуют только положительные корни: $t = 2$ и $t = 4$. Решим неравенство $\frac{5(t-2)(t+0.8)}{6(t-4)(t+\frac{17}{6})} \le 0$ методом интервалов для $t>0$. На числовой прямой для $t>0$ отмечаем точки $2$ (закрашенная) и $4$ (выколотая). Интервалы: $(0, 2]$, $[2, 4)$, $(4, +\infty)$. - При $t \in (0, 2)$, например $t=1$: $\frac{5-6-8}{6-7-68} = \frac{-9}{-69} > 0$. Интервал не подходит. - При $t \in (2, 4)$, например $t=3$: $\frac{5(9)-6(3)-8}{6(9)-7(3)-68} = \frac{45-18-8}{54-21-68} = \frac{19}{-35} < 0$. Интервал подходит. - При $t \in (4, +\infty)$, например $t=5$: $\frac{5(25)-6(5)-8}{6(25)-7(5)-68} = \frac{125-30-8}{150-35-68} = \frac{87}{47} > 0$. Интервал не подходит. Учитывая, что $t=2$ является корнем числителя, решение для $t$: $t \in [2, 4)$. Вернемся к замене $t = 2^x$: $$ 2 \le 2^x < 4 $$ $$ 2^1 \le 2^x < 2^2 $$ Так как основание степени $2>1$, то для показателей степеней неравенство сохраняется: $$ 1 \le x < 2 $$

Ответ: $x \in [1, 2)$.

12.23 а) $2\sqrt{x^2 - 9} (x - 5)\log_6 (9 - x) < 0;$

б) $3\sqrt{x^2 - 16} (6 - x)\log_2 (12 + x) > 0.$

а) $2\sqrt{x^2 - 9}(x - 5)\log_6(9 - x) < 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Она определяется системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 9 \ge 0 \\ 9 - x > 0 \end{cases}$

Решение первого неравенства $x^2 - 9 \ge 0 \implies (x-3)(x+3) \ge 0$ есть $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Решение второго неравенства $9 - x > 0$ есть $x < 9$.

Пересекая эти множества, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, 9)$.

2. Решим исходное неравенство. Так как неравенство строгое ($<0$), левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что $x^2 - 9 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 3$. Таким образом, мы будем искать решение на множестве $(-\infty, -3) \cup (3, 9)$.

На этом множестве множитель $2\sqrt{x^2 - 9}$ строго положителен, поэтому мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив знак:

$(x - 5)\log_6(9 - x) < 0$

Произведение двух множителей отрицательно, когда они имеют разные знаки. Это равносильно совокупности двух систем:

Система 1:

$\begin{cases} x - 5 > 0 \\ \log_6(9 - x) < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ 0 < 9 - x < 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ -9 < -x < -8 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ 8 < x < 9 \end{cases} \implies x \in (8, 9)$.

Этот интервал полностью входит в ОДЗ.

Система 2:

$\begin{cases} x - 5 < 0 \\ \log_6(9 - x) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ 9 - x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x < 8 \end{cases} \implies x < 5$.

Теперь пересечем решение $x < 5$ с областью, на которой мы решаем неравенство, то есть $(-\infty, -3) \cup (3, 9)$. Получим: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, 5)$.

3. Объединим решения, полученные в обеих системах:

$x \in (-\infty, -3) \cup (3, 5) \cup (8, 9)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, 5) \cup (8, 9)$.

б) $3\sqrt{x^2 - 16}(6 - x)\log_2(12 + x) > 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Она определяется системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 16 \ge 0 \\ 12 + x > 0 \end{cases}$

Решение первого неравенства $x^2 - 16 \ge 0 \implies (x-4)(x+4) \ge 0$ есть $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

Решение второго неравенства $12 + x > 0$ есть $x > -12$.

Пересекая эти множества, получаем ОДЗ: $x \in (-12, -4] \cup [4, \infty)$.

2. Решим исходное неравенство. Так как неравенство строгое ($>0$), левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что $x^2 - 16 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 4$. Таким образом, мы будем искать решение на множестве $(-12, -4) \cup (4, \infty)$.

На этом множестве множитель $3\sqrt{x^2 - 16}$ строго положителен, поэтому мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив знак:

$(6 - x)\log_2(12 + x) > 0$

Произведение двух множителей положительно, когда они имеют одинаковые знаки. Это равносильно совокупности двух систем:

Система 1:

$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ \log_2(12 + x) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 6 \\ 12 + x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 6 \\ x > -11 \end{cases} \implies x \in (-11, 6)$.

Пересечем полученный интервал $(-11, 6)$ с областью, на которой мы решаем неравенство, то есть $(-12, -4) \cup (4, \infty)$. Получим: $x \in (-11, -4) \cup (4, 6)$.

Система 2:

$\begin{cases} 6 - x < 0 \\ \log_2(12 + x) < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 6 \\ 0 < 12 + x < 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 6 \\ -12 < x < -11 \end{cases}$.

Эта система не имеет решений, так как интервалы $x > 6$ и $-12 < x < -11$ не пересекаются.

3. Решением исходного неравенства является решение, полученное в первой системе.

Ответ: $x \in (-11, -4) \cup (4, 6)$.