Страница 307 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

12.2 а) $|x - 1| = x^2 - 5x + 4;$

В) $|x - 3| = x^2 - 6x + 3;$

б) $|x - 2| = x^2 - 4x - 2;$

Г) $|x - 4| = x^2 - 2x - 2.$

Для решения уравнений вида $|f(x)| = g(x)$, необходимо учесть, что правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как модуль числа всегда неотрицателен. Таким образом, решение сводится к совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) = g(x) \end{cases}$

2) $\begin{cases} f(x) < 0 \\ -f(x) = g(x) \end{cases}$

При этом для всех найденных корней должно выполняться условие $g(x) \ge 0$.

а) $|x - 1| = x^2 - 5x + 4$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Правая часть должна быть неотрицательна:

$x^2 - 5x + 4 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
Уравнение принимает вид: $x - 1 = x^2 - 5x + 4$.
$x^2 - 6x + 5 = 0$.
Корни этого уравнения: $x_3 = 1$, $x_4 = 5$.
Проверим соответствие условиям $x \ge 1$ и ОДЗ.
Корень $x = 1$ удовлетворяет условиям ($1 \ge 1$ и $1 \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$).
Корень $x = 5$ удовлетворяет условиям ($5 \ge 1$ и $5 \in (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$).

2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.
Уравнение принимает вид: $-(x - 1) = x^2 - 5x + 4$.
$-x + 1 = x^2 - 5x + 4$.
$x^2 - 4x + 3 = 0$.
Корни этого уравнения: $x_5 = 1$, $x_6 = 3$.
Проверим соответствие условию $x < 1$.
Корень $x = 1$ не удовлетворяет условию ($1 \not< 1$).
Корень $x = 3$ не удовлетворяет условию ($3 \not< 1$).

Объединяя решения из первого случая, получаем корни уравнения.

Ответ: $1; 5$.

б) $|x - 2| = x^2 - 4x - 2$

ОДЗ: $x^2 - 4x - 2 \ge 0$.
Найдем корни $x^2 - 4x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24$.
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 2 - \sqrt{6}] \cup [2 + \sqrt{6}; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
$x - 2 = x^2 - 4x - 2$.
$x^2 - 5x = 0$.
$x(x - 5) = 0$.
Корни: $x_3 = 0$, $x_4 = 5$.
Корень $x = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Корень $x = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 2$. Также проверяем ОДЗ: $5 > 2 + \sqrt{6}$, так как $3 > \sqrt{6}$ ($9 > 6$). Корень подходит.

2. Если $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$.
$-(x - 2) = x^2 - 4x - 2$.
$-x + 2 = x^2 - 4x - 2$.
$x^2 - 3x - 4 = 0$.
Корни: $x_5 = 4$, $x_6 = -1$.
Корень $x = 4$ не удовлетворяет условию $x < 2$.
Корень $x = -1$ удовлетворяет условию $x < 2$. Также проверяем ОДЗ: $-1 < 2 - \sqrt{6}$, так как $-3 < -\sqrt{6}$ ($9 > 6$). Корень подходит.

Ответ: $-1; 5$.

в) $|x - 3| = x^2 - 6x + 3$

ОДЗ: $x^2 - 6x + 3 \ge 0$.
Найдем корни $x^2 - 6x + 3 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24$.
$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 3 - \sqrt{6}] \cup [3 + \sqrt{6}; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
$x - 3 = x^2 - 6x + 3$.
$x^2 - 7x + 6 = 0$.
Корни: $x_3 = 1$, $x_4 = 6$.
Корень $x = 1$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$.
Корень $x = 6$ удовлетворяет условию $x \ge 3$. Проверяем ОДЗ: $6 > 3 + \sqrt{6}$, так как $3 > \sqrt{6}$ ($9 > 6$). Корень подходит.

2. Если $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.
$-(x - 3) = x^2 - 6x + 3$.
$-x + 3 = x^2 - 6x + 3$.
$x^2 - 5x = 0$.
$x(x - 5) = 0$.
Корни: $x_5 = 0$, $x_6 = 5$.
Корень $x = 5$ не удовлетворяет условию $x < 3$.
Корень $x = 0$ удовлетворяет условию $x < 3$. Проверяем ОДЗ: $0 < 3 - \sqrt{6}$, так как $\sqrt{6} < 3$ ($6 < 9$). Корень подходит.

Ответ: $0; 6$.

г) $|x - 4| = x^2 - 2x - 2$

ОДЗ: $x^2 - 2x - 2 \ge 0$.
Найдем корни $x^2 - 2x - 2 = 0$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 1 - \sqrt{3}] \cup [1 + \sqrt{3}; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.
$x - 4 = x^2 - 2x - 2$.
$x^2 - 3x + 2 = 0$.
Корни: $x_3 = 1$, $x_4 = 2$.
Оба корня не удовлетворяют условию $x \ge 4$.

2. Если $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.
$-(x - 4) = x^2 - 2x - 2$.
$-x + 4 = x^2 - 2x - 2$.
$x^2 - x - 6 = 0$.
Корни: $x_5 = 3$, $x_6 = -2$.
Корень $x = 3$ удовлетворяет условию $x < 4$. Проверяем ОДЗ: $3 > 1 + \sqrt{3}$, так как $2 > \sqrt{3}$ ($4 > 3$). Корень подходит.
Корень $x = -2$ удовлетворяет условию $x < 4$. Проверяем ОДЗ: $-2 < 1 - \sqrt{3}$, так как $-3 < -\sqrt{3}$ ($9 > 3$). Корень подходит.

Ответ: $-2; 3$.

12.3 а) $|x^2 + 4x + 2| = x + 2$;

б) $|x^2 + 6x + 7| = -x - 3$;

В) $|x^2 - 2x - 2| = -x + 4$;

Г) $|x^2 - 4x + 1| = x + 1$.

а) $|x^2 + 4x + 2| = x + 2$

Уравнение вида $|f(x)| = g(x)$ равносильно системе, в которой выражение в правой части должно быть неотрицательным, а подмодульное выражение равно выражению в правой части или противоположно ему.

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} x^2+4x+2 = x+2 \\ x^2+4x+2 = -(x+2) \end{array} \right. \end{cases}$

Из первого условия $x+2 \ge 0$ получаем область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge -2$.

Решим каждое уравнение из совокупности:

1) $x^2 + 4x + 2 = x + 2$

$x^2 + 3x = 0$

$x(x+3) = 0$, откуда получаем корни $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.

2) $x^2 + 4x + 2 = -(x + 2)$

$x^2 + 4x + 2 = -x - 2$

$x^2 + 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни этого уравнения $x_3 = -1$, $x_4 = -4$.

Теперь отберем корни, которые удовлетворяют условию ОДЗ $x \ge -2$.

Корень $x_1 = 0$ подходит, так как $0 \ge -2$.

Корень $x_2 = -3$ не подходит, так как $-3 < -2$.

Корень $x_3 = -1$ подходит, так как $-1 \ge -2$.

Корень $x_4 = -4$ не подходит, так как $-4 < -2$.

Ответ: $-1; 0$.

б) $|x^2 + 6x + 7| = -x - 3$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} -x-3 \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} x^2+6x+7 = -x-3 \\ x^2+6x+7 = -(-x-3) \end{array} \right. \end{cases}$

Из условия $-x-3 \ge 0$ получаем ОДЗ: $-x \ge 3$, то есть $x \le -3$.

Решим уравнения из совокупности:

1) $x^2 + 6x + 7 = -x - 3$

$x^2 + 7x + 10 = 0$. Корни $x_1 = -2$, $x_2 = -5$.

2) $x^2 + 6x + 7 = -(-x - 3)$

$x^2 + 6x + 7 = x + 3$

$x^2 + 5x + 4 = 0$. Корни $x_3 = -1$, $x_4 = -4$.

Отберем корни, удовлетворяющие условию $x \le -3$.

Корень $x_1 = -2$ не подходит, так как $-2 > -3$.

Корень $x_2 = -5$ подходит, так как $-5 \le -3$.

Корень $x_3 = -1$ не подходит, так как $-1 > -3$.

Корень $x_4 = -4$ подходит, так как $-4 \le -3$.

Ответ: $-5; -4$.

в) $|x^2 - 2x - 2| = -x + 4$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} -x+4 \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} x^2-2x-2 = -x+4 \\ x^2-2x-2 = -(-x+4) \end{array} \right. \end{cases}$

Из условия $-x+4 \ge 0$ получаем ОДЗ: $4 \ge x$, то есть $x \le 4$.

Решим уравнения из совокупности:

1) $x^2 - 2x - 2 = -x + 4$

$x^2 - x - 6 = 0$. Корни $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

2) $x^2 - 2x - 2 = -(-x + 4)$

$x^2 - 2x - 2 = x - 4$

$x^2 - 3x + 2 = 0$. Корни $x_3 = 1$, $x_4 = 2$.

Проверим все найденные корни на соответствие ОДЗ $x \le 4$.

Корень $x_1 = 3$ подходит ($3 \le 4$).

Корень $x_2 = -2$ подходит ($-2 \le 4$).

Корень $x_3 = 1$ подходит ($1 \le 4$).

Корень $x_4 = 2$ подходит ($2 \le 4$).

Все четыре корня являются решениями.

Ответ: $-2; 1; 2; 3$.

г) $|x^2 - 4x + 1| = x + 1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} x^2-4x+1 = x+1 \\ x^2-4x+1 = -(x+1) \end{array} \right. \end{cases}$

Из условия $x+1 \ge 0$ получаем ОДЗ: $x \ge -1$.

Решим уравнения из совокупности:

1) $x^2 - 4x + 1 = x + 1$

$x^2 - 5x = 0$

$x(x-5) = 0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 5$.

2) $x^2 - 4x + 1 = -(x + 1)$

$x^2 - 4x + 1 = -x - 1$

$x^2 - 3x + 2 = 0$. Корни $x_3 = 1$, $x_4 = 2$.

Проверим все найденные корни на соответствие ОДЗ $x \ge -1$.

Корень $x_1 = 0$ подходит ($0 \ge -1$).

Корень $x_2 = 5$ подходит ($5 \ge -1$).

Корень $x_3 = 1$ подходит ($1 \ge -1$).

Корень $x_4 = 2$ подходит ($2 \ge -1$).

Все четыре корня являются решениями.

Ответ: $0; 1; 2; 5$.

12.4 a) $|x^2 - x - 1| = x^2 + 2x + 1;$

б) $|x^2 - 2x - 2| = x^2 - 4x + 6;$

В) $|x^2 - 2x - 4| = x^2 - 4x + 4;$

Г) $|x^2 - 4x + 2| = x^2 - 6x + 10.$

а) $|x^2 - x - 1| = x^2 + 2x + 1$

Данное уравнение имеет вид $|A| = B$. Оно равносильно совокупности двух уравнений $A = B$ и $A = -B$ при выполнении условия $B \ge 0$.

В нашем случае $B = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Условие $B \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Таким образом, решение сводится к решению двух уравнений:

1) Раскрываем модуль без изменения знака подмодульного выражения:
$x^2 - x - 1 = x^2 + 2x + 1$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$-x - 2x = 1 + 1$
$-3x = 2$
$x = -2/3$

2) Раскрываем модуль с изменением знака подмодульного выражения:
$x^2 - x - 1 = -(x^2 + 2x + 1)$
$x^2 - x - 1 = -x^2 - 2x - 1$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 + x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(2x + 1) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $2x + 1 = 0 \implies x_2 = -1/2$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем три корня.

Ответ: $-2/3; -1/2; 0$.

б) $|x^2 - 2x - 2| = x^2 - 4x + 6$

Сначала проверим условие неотрицательности правой части: $x^2 - 4x + 6 \ge 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), парабола $y = x^2 - 4x + 6$ полностью лежит выше оси абсцисс. Следовательно, выражение $x^2 - 4x + 6$ положительно при любых значениях $x$.

Условие выполнено, поэтому решаем совокупность двух уравнений:

1) $x^2 - 2x - 2 = x^2 - 4x + 6$
$-2x + 4x = 6 + 2$
$2x = 8$
$x = 4$

2) $x^2 - 2x - 2 = -(x^2 - 4x + 6)$
$x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 4x - 6$
$2x^2 - 6x + 4 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Ответ: $1; 2; 4$.

в) $|x^2 - 2x - 4| = x^2 - 4x + 4$

Правая часть уравнения представляет собой полный квадрат: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.
Условие $(x-2)^2 \ge 0$ выполняется для всех действительных $x$.

Следовательно, решаем два уравнения:

1) $x^2 - 2x - 4 = x^2 - 4x + 4$
$-2x + 4x = 4 + 4$
$2x = 8$
$x = 4$

2) $x^2 - 2x - 4 = -(x^2 - 4x + 4)$
$x^2 - 2x - 4 = -x^2 + 4x - 4$
$2x^2 - 6x = 0$
$2x(x - 3) = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Ответ: $0; 3; 4$.

г) $|x^2 - 4x + 2| = x^2 - 6x + 10$

Проверим условие неотрицательности правой части: $x^2 - 6x + 10 \ge 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.
Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, выражение $x^2 - 6x + 10$ всегда положительно.

Условие выполнено, поэтому решаем совокупность двух уравнений:

1) $x^2 - 4x + 2 = x^2 - 6x + 10$
$-4x + 6x = 10 - 2$
$2x = 8$
$x = 4$

2) $x^2 - 4x + 2 = -(x^2 - 6x + 10)$
$x^2 - 4x + 2 = -x^2 + 6x - 10$
$2x^2 - 10x + 12 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 - 5x + 6 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Ответ: $2; 3; 4$.

12.5 a) $\frac{|2x - 4| + |x - 5|}{|x - 1| + |x - 1|} = 1;$

б) $\frac{|2x - 1| - |x - 5|}{|x + 1| - x - 1} = -1;$

в) $\frac{|2x - 5| + |x + 2|}{|x - 3| + |x - 3|} = -0.5;$

г) $\frac{|2x - 3| - |x + 3|}{|x - 4| - x + 4} = -1.$

а)

Исходное уравнение: $\frac{|2x - 4| + |x - 5|}{|x - 1| + |x + 1|} = 1$.

Знаменатель $|x - 1| + |x + 1|$ не может быть равен нулю, так как это сумма двух неотрицательных величин, которые не обращаются в ноль одновременно. Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель, так как он всегда положителен. Уравнение равносильно следующему:

$|2x - 4| + |x - 5| = |x - 1| + |x + 1|$

Для решения этого уравнения с модулями используем метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$; $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$; $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$; $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Эти точки $(-1, 1, 2, 5)$ разбивают числовую прямую на пять интервалов. Раскроем модули в каждом из них:

1. При $x < -1$: Все подмодульные выражения отрицательны.
$-(2x - 4) - (x - 5) = -(x - 1) - (x + 1)$
$4 - 2x + 5 - x = 1 - x - x - 1$
$9 - 3x = -2x$
$x = 9$. Корень не принадлежит интервалу $x < -1$.

2. При $-1 \le x < 1$:
$-(2x - 4) - (x - 5) = -(x - 1) + (x + 1)$
$9 - 3x = -x + 1 + x + 1$
$9 - 3x = 2$
$3x = 7 \Rightarrow x = 7/3 \approx 2,33$. Корень не принадлежит интервалу $[-1, 1)$.

3. При $1 \le x < 2$:
$-(2x - 4) - (x - 5) = (x - 1) + (x + 1)$
$9 - 3x = 2x$
$5x = 9 \Rightarrow x = 1,8$. Корень $1,8$ принадлежит интервалу $[1, 2)$.

4. При $2 \le x < 5$:
$(2x - 4) - (x - 5) = (x - 1) + (x + 1)$
$x + 1 = 2x$
$x = 1$. Корень не принадлежит интервалу $[2, 5)$.

5. При $x \ge 5$: Все подмодульные выражения неотрицательны.
$(2x - 4) + (x - 5) = (x - 1) + (x + 1)$
$3x - 9 = 2x$
$x = 9$. Корень $9$ принадлежит интервалу $[5, +\infty)$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $1,8; 9$.

б)

Исходное уравнение: $\frac{|2x - 1| - |x - 5|}{|x + 1| - |x - 1|} = -1$.

Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.
$|x + 1| - |x - 1| \neq 0 \Rightarrow |x + 1| \neq |x - 1|$.
Возведя обе части в квадрат, получим $(x + 1)^2 \neq (x - 1)^2 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 \neq x^2 - 2x + 1 \Rightarrow 4x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.

Умножим обе части на знаменатель (при условии $x \neq 0$):
$|2x - 1| - |x - 5| = -(|x + 1| - |x - 1|)$
$|2x - 1| - |x - 5| = |x - 1| - |x + 1|$
$|2x - 1| + |x + 1| = |x - 1| + |x - 5|$

Решаем методом интервалов. Критические точки: $x=1/2$, $x=-1$, $x=1$, $x=5$.
Точки $(-1, 1/2, 1, 5)$ разбивают числовую прямую на интервалы.

1. При $x < -1$:
$-(2x - 1) - (x + 1) = -(x - 1) - (x - 5)$
$-2x + 1 - x - 1 = -x + 1 - x + 5$
$-3x = -2x + 6 \Rightarrow x = -6$. Корень $-6$ принадлежит интервалу $x < -1$ и удовлетворяет ОДЗ.

2. При $-1 \le x < 1/2$:
$-(2x - 1) + (x + 1) = -(x - 1) - (x - 5)$
$-x + 2 = -2x + 6 \Rightarrow x = 4$. Корень не принадлежит интервалу.

3. При $1/2 \le x < 1$:
$(2x - 1) + (x + 1) = -(x - 1) - (x - 5)$
$3x = -2x + 6 \Rightarrow 5x = 6 \Rightarrow x = 1,2$. Корень не принадлежит интервалу.

4. При $1 \le x < 5$:
$(2x - 1) + (x + 1) = (x - 1) - (x - 5)$
$3x = x - 1 - x + 5$
$3x = 4 \Rightarrow x = 4/3$. Корень $4/3$ принадлежит интервалу $[1, 5)$ и удовлетворяет ОДЗ.

5. При $x \ge 5$:
$(2x - 1) + (x + 1) = (x - 1) + (x - 5)$
$3x = 2x - 6 \Rightarrow x = -6$. Корень не принадлежит интервалу.

Ответ: $-6; \frac{4}{3}$.

в)

Рассмотрим уравнение $\frac{|2x - 5| + |x + 2|}{|x - 3| + |x + 3|} = -0,5$.

Числитель дроби, $|2x - 5| + |x + 2|$, является суммой двух модулей, поэтому он всегда неотрицателен: $|2x - 5| + |x + 2| \ge 0$ для любого $x$.

Знаменатель дроби, $|x - 3| + |x + 3|$, также является суммой двух модулей. Он обращается в ноль, только если $|x - 3| = 0$ и $|x + 3| = 0$ одновременно, что невозможно. Следовательно, знаменатель всегда строго положителен: $|x - 3| + |x + 3| > 0$.

Таким образом, левая часть уравнения представляет собой отношение неотрицательного числа к положительному, что означает, что она всегда неотрицательна. Правая часть уравнения равна $-0,5$, то есть отрицательна.

Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, поэтому уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

г)

Исходное уравнение: $\frac{|2x - 3| - |x + 3|}{|x - 4| - |x + 4|} = -1$.

ОДЗ: $|x - 4| - |x + 4| \neq 0 \Rightarrow |x - 4| \neq |x + 4|$.
Возведя в квадрат: $(x - 4)^2 \neq (x + 4)^2 \Rightarrow x^2 - 8x + 16 \neq x^2 + 8x + 16 \Rightarrow 16x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.

Преобразуем уравнение (при $x \neq 0$):
$|2x - 3| - |x + 3| = -(|x - 4| - |x + 4|)$
$|2x - 3| - |x + 3| = |x + 4| - |x - 4|$
$|2x - 3| + |x - 4| = |x + 3| + |x + 4|$

Решаем методом интервалов. Критические точки: $x=3/2$, $x=4$, $x=-3$, $x=-4$.
Точки $(-4, -3, 3/2, 4)$ разбивают числовую прямую на интервалы.

1. При $x < -4$:
$-(2x - 3) - (x - 4) = -(x + 3) - (x + 4)$
$-3x + 7 = -2x - 7 \Rightarrow x = 14$. Корень не принадлежит интервалу.

2. При $-4 \le x < -3$:
$-(2x - 3) + (x - 4) = -(x + 3) - (x + 4)$
$-x - 1 = -2x - 7 \Rightarrow x = -6$. Корень не принадлежит интервалу.

3. При $-3 \le x < 3/2$:
$-(2x - 3) + (x - 4) = (x + 3) + (x + 4)$
$-x - 1 = 2x + 7 \Rightarrow 3x = -8 \Rightarrow x = -8/3$. Корень $-8/3$ (это примерно -2.67) принадлежит интервалу $[-3, 3/2)$ и удовлетворяет ОДЗ.

4. При $3/2 \le x < 4$:
$(2x - 3) + (x - 4) = (x + 3) + (x + 4)$
$3x - 7 = 2x + 7 \Rightarrow x = 14$. Корень не принадлежит интервалу.

5. При $x \ge 4$:
$(2x - 3) + (x - 4) = (x + 3) + (x + 4)$
$3x - 7 = 2x + 7 \Rightarrow x = 14$. Корень $14$ принадлежит интервалу $[4, +\infty)$ и удовлетворяет ОДЗ.

Повторная проверка пункта 3:
$-(2x - 3) - (x - 4) = (x + 3) + (x + 4)$ (ошибка в раскрытии модуля $|x-4|$ в предыдущем варианте)
$-2x+3-x+4=2x+7$
$-3x+7=2x+7$
$-5x=0 \Rightarrow x=0$. Корень $x=0$ не входит в ОДЗ.

Повторная проверка пункта 2:
$-(2x - 3) + (x - 4) = -(x + 3) + (x + 4)$ (ошибка в раскрытии модуля $|x-4|$ в предыдущем варианте)
$-2x+3+x-4 = -x-3+x+4$
$-x-1=1$
$-x=2 \Rightarrow x=-2$. Корень $x=-2$ не принадлежит интервалу $[-4,-3)$.

Таким образом, единственным верным решением является $x=14$.

Ответ: $14$.

12.6 a) $\frac{|x+1|}{x+1} + \frac{|x+3|}{x+3} = 0;$

б) $\frac{|x-1|}{x-1} + \frac{|x+4|}{x+4} = -2;$

В) $\frac{|x-3| - |x-2|}{|x+1|+x+1} = 0;$

Г) $\frac{|x-3| - |x-2|}{x-4-|x-4|} = 0.$

Рассмотрим уравнение $\frac{|x+1|}{x+1} + \frac{|x+3|}{x+3} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x+1 \neq 0$ и $x+3 \neq 0$. Отсюда $x \neq -1$ и $x \neq -3$.

Выражение $\frac{|a|}{a}$ равно $1$, если $a > 0$, и $-1$, если $a < 0$.

Пусть $A = \frac{|x+1|}{x+1}$ и $B = \frac{|x+3|}{x+3}$. Тогда уравнение принимает вид $A+B=0$. Так как $A$ и $B$ могут принимать только значения $1$ и $-1$, это равенство возможно только если одно из слагаемых равно $1$, а другое $-1$.

Рассмотрим два случая:

1. $A=1$ и $B=-1$.
$\frac{|x+1|}{x+1} = 1 \Rightarrow x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$.
$\frac{|x+3|}{x+3} = -1 \Rightarrow x+3 < 0 \Rightarrow x < -3$.
Необходимо найти $x$, удовлетворяющий обоим условиям: $x > -1$ и $x < -3$. Такая система неравенств не имеет решений.

2. $A=-1$ и $B=1$.
$\frac{|x+1|}{x+1} = -1 \Rightarrow x+1 < 0 \Rightarrow x < -1$.
$\frac{|x+3|}{x+3} = 1 \Rightarrow x+3 > 0 \Rightarrow x > -3$.
Необходимо найти $x$, удовлетворяющий обоим условиям: $x < -1$ и $x > -3$. Решением этой системы неравенств является интервал $(-3, -1)$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -1$ и $x \neq -3$).

Ответ: $x \in (-3, -1)$.

Рассмотрим уравнение $\frac{|x-1|}{x-1} + \frac{|x+4|}{x+4} = -2$.

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$.

Как и в предыдущем задании, каждое слагаемое $\frac{|a|}{a}$ может быть равно только $1$ или $-1$. Сумма двух таких слагаемых равна $-2$ только в том случае, если оба слагаемых равны $-1$.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{|x-1|}{x-1} = -1 \\ \frac{|x+4|}{x+4} = -1 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x-1 < 0 \Rightarrow x < 1$.

Из второго уравнения следует, что $x+4 < 0 \Rightarrow x < -4$.

Мы должны найти пересечение этих двух условий: $x < 1$ и $x < -4$. Общим решением является $x < -4$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -4$).

Ответ: $x \in (-\infty, -4)$.

Рассмотрим уравнение $\frac{|x-3| - |x-2|}{|x+1| + x+1} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю:

$|x-3| - |x-2| = 0 \Rightarrow |x-3| = |x-2|$.

Это уравнение означает, что расстояние от точки $x$ до точки $3$ равно расстоянию от точки $x$ до точки $2$. Геометрически это означает, что $x$ является серединой отрезка $[2, 3]$.

$x = \frac{2+3}{2} = 2.5$.

Таким образом, единственное возможное решение - $x=2.5$.

2. Проверим, что знаменатель не равен нулю.

Знаменатель: $|x+1| + x+1 \neq 0$.

Рассмотрим выражение в знаменателе. Если $x+1 > 0$, то $|x+1|=x+1$, и знаменатель равен $(x+1)+(x+1) = 2(x+1)$. Это выражение равно нулю только при $x=-1$.

Если $x+1 \le 0$, то $|x+1|=-(x+1)$, и знаменатель равен $-(x+1)+(x+1) = 0$.

Следовательно, знаменатель не равен нулю только при условии $x+1 > 0$, то есть $x > -1$. Это и есть ОДЗ уравнения.

Наше найденное значение $x=2.5$ удовлетворяет условию $x > -1$, так как $2.5 > -1$.

Следовательно, $x=2.5$ является решением уравнения.

Ответ: $2.5$.

Рассмотрим уравнение $\frac{|x-3| - |x-2|}{x-4 - |x-4|} = 0$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1. Приравняем числитель к нулю:

$|x-3| - |x-2| = 0 \Rightarrow |x-3| = |x-2|$.

Как и в задании в), решением этого уравнения является $x = 2.5$.

2. Проверим, что знаменатель не равен нулю.

Знаменатель: $x-4 - |x-4| \neq 0$.

Рассмотрим выражение в знаменателе. Если $x-4 \ge 0$, то $|x-4|=x-4$, и знаменатель равен $(x-4)-(x-4) = 0$.

Если $x-4 < 0$, то $|x-4|=-(x-4)$, и знаменатель равен $(x-4)-(-(x-4)) = x-4+x-4 = 2(x-4)$. Это выражение равно нулю только при $x=4$.

Следовательно, знаменатель не равен нулю только при условии $x-4 < 0$, то есть $x < 4$. Это и есть ОДЗ уравнения.

Наше найденное значение $x=2.5$ удовлетворяет условию $x < 4$, так как $2.5 < 4$.

Следовательно, $x=2.5$ является решением уравнения.

Ответ: $2.5$.

12.7 a) $|9-3^x|+|x-6|=3^x-x+9;$

б) $|27-3^x|+|x-5|=3^x-x+14.$

a) Решим уравнение $|9 - 3^x| + |x - 6| = 3^x - x + 9$.
Данное уравнение содержит два выражения под знаком модуля. Решим его методом интервалов, раскрывая модули на разных промежутках.
Найдем нули подмодульных выражений:
1) $9 - 3^x = 0 \implies 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.
2) $x - 6 = 0 \implies x = 6$.
Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 2]$, $(2, 6]$ и $(6, +\infty)$. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1: $x \in (-\infty, 2]$
На этом интервале $3^x \le 3^2 = 9$, поэтому $9 - 3^x \ge 0$, и $|9 - 3^x| = 9 - 3^x$.
Также $x \le 2$, поэтому $x - 6 \le -4 < 0$, и $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$.
Уравнение принимает вид:
$(9 - 3^x) + (6 - x) = 3^x - x + 9$
$15 - 3^x - x = 3^x - x + 9$
$15 - 3^x = 3^x + 9$
$6 = 2 \cdot 3^x$
$3^x = 3$
$x = 1$.
Так как $1 \in (-\infty, 2]$, корень $x=1$ является решением.

Случай 2: $x \in (2, 6]$
На этом интервале $x > 2 \implies 3^x > 9$, поэтому $9 - 3^x < 0$, и $|9 - 3^x| = -(9 - 3^x) = 3^x - 9$.
Также $x \le 6$, поэтому $x - 6 \le 0$, и $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$.
Уравнение принимает вид:
$(3^x - 9) + (6 - x) = 3^x - x + 9$
$3^x - x - 3 = 3^x - x + 9$
$-3 = 9$.
Это неверное равенство, следовательно, на данном интервале решений нет.

Случай 3: $x \in (6, +\infty)$
На этом интервале $x > 6 > 2 \implies 3^x > 9$, поэтому $9 - 3^x < 0$, и $|9 - 3^x| = -(9 - 3^x) = 3^x - 9$.
Также $x > 6$, поэтому $x - 6 > 0$, и $|x - 6| = x - 6$.
Уравнение принимает вид:
$(3^x - 9) + (x - 6) = 3^x - x + 9$
$3^x + x - 15 = 3^x - x + 9$
$x - 15 = -x + 9$
$2x = 24$
$x = 12$.
Так как $12 \in (6, +\infty)$, корень $x=12$ является решением.

Объединяя решения из всех случаев, получаем два корня.
Ответ: $1; 12$.

б) Решим уравнение $|27 - 3^x| + |x - 5| = 3^x - x + 14$.
Используем метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль.
1) $27 - 3^x = 0 \implies 3^x = 27 \implies 3^x = 3^3 \implies x = 3$.
2) $x - 5 = 0 \implies x = 5$.
Точки $x=3$ и $x=5$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty, 3]$, $(3, 5]$ и $(5, +\infty)$.

Случай 1: $x \in (-\infty, 3]$
На этом промежутке $3^x \le 3^3 = 27$, следовательно $27 - 3^x \ge 0$, и $|27 - 3^x| = 27 - 3^x$.
Также $x \le 3$, следовательно $x - 5 \le -2 < 0$, и $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.
Подставляем в уравнение:
$(27 - 3^x) + (5 - x) = 3^x - x + 14$
$32 - 3^x - x = 3^x - x + 14$
$32 - 3^x = 3^x + 14$
$18 = 2 \cdot 3^x$
$3^x = 9$
$x = 2$.
Корень $x=2$ принадлежит рассматриваемому промежутку $(-\infty, 3]$, значит, является решением.

Случай 2: $x \in (3, 5]$
На этом промежутке $x > 3 \implies 3^x > 27$, следовательно $27 - 3^x < 0$, и $|27 - 3^x| = -(27 - 3^x) = 3^x - 27$.
Также $x \le 5$, следовательно $x - 5 \le 0$, и $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.
Подставляем в уравнение:
$(3^x - 27) + (5 - x) = 3^x - x + 14$
$3^x - x - 22 = 3^x - x + 14$
$-22 = 14$.
Получено неверное равенство, значит, на этом промежутке решений нет.

Случай 3: $x \in (5, +\infty)$
На этом промежутке $x > 5 > 3 \implies 3^x > 27$, следовательно $27 - 3^x < 0$, и $|27 - 3^x| = -(27 - 3^x) = 3^x - 27$.
Также $x > 5$, следовательно $x - 5 > 0$, и $|x - 5| = x - 5$.
Подставляем в уравнение:
$(3^x - 27) + (x - 5) = 3^x - x + 14$
$3^x + x - 32 = 3^x - x + 14$
$x - 32 = -x + 14$
$2x = 46$
$x = 23$.
Корень $x=23$ принадлежит рассматриваемому промежутку $(5, +\infty)$, значит, является решением.

Объединяя найденные решения, получаем два корня.
Ответ: $2; 23$.

12.8* Докажите, что уравнение $|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$ равно-сильно системе $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0. \end{cases}$

Чтобы доказать, что уравнение $|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$, необходимо показать, что любое решение уравнения является решением системы, и наоборот, любое решение системы является решением уравнения. Это доказывается в два этапа.

1. Доказательство того, что из системы следует уравнение ($\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} \implies |f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$)

Пусть дана система неравенств, и она верна для некоторого $x$. Это означает, что для этого $x$ выполняются оба условия: $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.

Согласно определению модуля, для любого неотрицательного числа $a$ (т.е. $a \ge 0$) справедливо равенство $|a| = a$.

Поскольку $f(x) \ge 0$, мы можем заменить $|f(x)|$ на $f(x)$.

Аналогично, поскольку $g(x) \ge 0$, мы можем заменить $|g(x)|$ на $g(x)$.

Подставим эти выражения в левую часть исходного уравнения:

$|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$

В результате левая часть уравнения стала тождественно равна правой части. Это означает, что если система неравенств выполняется, то уравнение всегда будет верным. Таким образом, первая часть доказательства завершена.

2. Доказательство того, что из уравнения следует система ($|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x) \implies \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$)

Пусть дано уравнение $|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$. Перепишем его, перенеся члены из правой части в левую:

$(|f(x)| - f(x)) + (|g(x)| - g(x)) = 0$

Рассмотрим свойства выражения $|a| - a$ для любого действительного числа $a$.

• Если $a \ge 0$, то $|a| = a$, следовательно, $|a| - a = a - a = 0$.
• Если $a < 0$, то $|a| = -a$, следовательно, $|a| - a = -a - a = -2a$. Так как $a$ отрицательно, то $-2a$ будет положительным числом ($-2a > 0$).

Из этого следует, что выражение $|a| - a$ всегда неотрицательно, то есть $|a| - a \ge 0$ для любого $a$.

Применяя это свойство к нашему преобразованному уравнению, мы видим, что оно представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых:

Первое слагаемое: $|f(x)| - f(x) \ge 0$

Второе слагаемое: $|g(x)| - g(x) \ge 0$

Сумма двух неотрицательных величин равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из этих величин равна нулю. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы оба слагаемых одновременно были равны нулю:

$|f(x)| - f(x) = 0$

$|g(x)| - g(x) = 0$

Как мы установили ранее, равенство $|a| - a = 0$ выполняется только в случае, когда $a \ge 0$.

Значит, из $|f(x)| - f(x) = 0$ следует, что $f(x) \ge 0$.

А из $|g(x)| - g(x) = 0$ следует, что $g(x) \ge 0$.

Эти два условия и составляют требуемую систему неравенств: $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$. Вторая часть доказательства завершена.

Так как мы доказали, что из выполнения системы следует выполнение уравнения и из выполнения уравнения следует выполнение системы, то уравнение и система равносильны.

Ответ: Утверждение доказано. Равносильность уравнения $|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$ и системы $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$ установлена, так как они имеют одно и то же множество решений. Что и требовалось доказать.

12.9* Решите уравнение:

a) $|\sin x - \frac{1}{2}| + |\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}| = \sin x + \cos x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2};$

б) $|\sin x - \frac{1}{2}| + |\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3} - 1}{2};$

в) $|2^x - 4| + |4 - \sqrt{x}| = 2^x - \sqrt{x};$

г) $|\log_3 x - 2| + |x^2 - 11x + 18| = \log_3 x - x^2 + 11x - 20.$

а) $|\sin x - \frac{1}{2}| + |\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}| = \sin x + \cos x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Заметим, что правую часть уравнения можно переписать следующим образом:

$\sin x + \cos x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = (\sin x - \frac{1}{2}) + (\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2})$

Тогда уравнение принимает вид: $|A| + |B| = A + B$, где $A = \sin x - \frac{1}{2}$ и $B = \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Равенство $|A| + |B| = A + B$ выполняется тогда и только тогда, когда оба слагаемых неотрицательны, то есть $A \geq 0$ и $B \geq 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} \sin x - \frac{1}{2} \geq 0 \\ \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \geq 0 \end{cases}$

$\begin{cases} \sin x \geq \frac{1}{2} \\ \cos x \geq \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Решим эту систему с помощью единичной окружности. Неравенство $\sin x \geq \frac{1}{2}$ выполняется для $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$. Неравенство $\cos x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Пересечением этих двух множеств является единственная точка $x = \frac{\pi}{6}$ (в пределах одного оборота) и все точки, отличающиеся на $2\pi k$.

Таким образом, решение системы — это $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $|\sin x - \frac{1}{2}| + |\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

Пусть $y = \sin x$. Тогда уравнение примет вид:

$|y - \frac{1}{2}| + |y - \frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

Заметим, что правая часть равна разности чисел под модулями: $\frac{\sqrt{3} - 1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$.

Уравнение имеет вид $|y - a| + |y - b| = b - a$, где $a = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (причем $a < b$).

С геометрической точки зрения, $|y-a|+|y-b|$ — это сумма расстояний от точки $y$ до точек $a$ и $b$ на числовой прямой. Эта сумма равна расстоянию между точками $a$ и $b$ тогда и только тогда, когда точка $y$ находится между точками $a$ и $b$.

Следовательно, $a \leq y \leq b$.

Возвращаясь к переменной $x$, получаем двойное неравенство:

$\frac{1}{2} \leq \sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим это неравенство на единичной окружности. Дуги, для которых $\sin x \geq \frac{1}{2}$, это $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$. Дуги, для которых $\sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$, это $x \in [0, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{2\pi}{3}, 2\pi]$. Пересекая эти множества, получаем решение для одного оборота: $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$.

Общее решение получается добавлением $2\pi k$ к концам интервалов.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k] \cup [\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

в) $|2^x - 4| + |4 - \sqrt{x}| = 2^x - \sqrt{x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием корня: $x \geq 0$.

Перепишем правую часть уравнения:

$2^x - \sqrt{x} = (2^x - 4) + (4 - \sqrt{x})$

Уравнение принимает вид $|A| + |B| = A + B$, где $A = 2^x - 4$ и $B = 4 - \sqrt{x}$.

Это равенство истинно, если и только если $A \geq 0$ и $B \geq 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} 2^x - 4 \geq 0 \\ 4 - \sqrt{x} \geq 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $2^x \geq 4 \implies 2^x \geq 2^2 \implies x \geq 2$.

2) $4 \geq \sqrt{x} \implies 16 \geq x \implies x \leq 16$.

Объединяя решения с ОДЗ ($x \geq 0$), получаем $2 \leq x \leq 16$.

Ответ: $x \in [2, 16]$.

г) $|\log_3 x - 2| + |x^2 - 11x + 18| = \log_3 x - x^2 + 11x - 20$

ОДЗ: $x > 0$ из-за логарифма.

Пусть $A = \log_3 x - 2$ и $B = x^2 - 11x + 18$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$\log_3 x - x^2 + 11x - 20 = (\log_3 x - 2) - (x^2 - 11x + 18) = A - B$.

Уравнение имеет вид $|A| + |B| = A - B$, что можно записать как $|A| + |B| = A + (-B)$.

Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $|A| = A$ и $|B| = -B$.

Это, в свою очередь, эквивалентно системе неравенств: $A \geq 0$ и $B \leq 0$.

$\begin{cases} \log_3 x - 2 \geq 0 \\ x^2 - 11x + 18 \leq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\log_3 x \geq 2 \implies \log_3 x \geq \log_3 9 \implies x \geq 9$.

Решим второе неравенство. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 11x + 18 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=2, x_2=9$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $x^2 - 11x + 18 \leq 0$ выполняется при $x \in [2, 9]$.

Теперь найдем пересечение решений системы неравенств:

$\begin{cases} x \geq 9 \\ 2 \leq x \leq 9 \end{cases}$

Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=9$. Это значение входит в ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x = 9$.