Номер 12.8, страница 307 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 12.8, страница 307.

№12.8 (с. 307)
Условие. №12.8 (с. 307)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 307, номер 12.8, Условие

12.8* Докажите, что уравнение $|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$ равно-сильно системе $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0. \end{cases}$

Решение 1. №12.8 (с. 307)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 307, номер 12.8, Решение 1
Решение 2. №12.8 (с. 307)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 307, номер 12.8, Решение 2
Решение 4. №12.8 (с. 307)

Чтобы доказать, что уравнение $|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$, необходимо показать, что любое решение уравнения является решением системы, и наоборот, любое решение системы является решением уравнения. Это доказывается в два этапа.

1. Доказательство того, что из системы следует уравнение ($\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} \implies |f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$)

Пусть дана система неравенств, и она верна для некоторого $x$. Это означает, что для этого $x$ выполняются оба условия: $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.

Согласно определению модуля, для любого неотрицательного числа $a$ (т.е. $a \ge 0$) справедливо равенство $|a| = a$.

Поскольку $f(x) \ge 0$, мы можем заменить $|f(x)|$ на $f(x)$.

Аналогично, поскольку $g(x) \ge 0$, мы можем заменить $|g(x)|$ на $g(x)$.

Подставим эти выражения в левую часть исходного уравнения:

$|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$

В результате левая часть уравнения стала тождественно равна правой части. Это означает, что если система неравенств выполняется, то уравнение всегда будет верным. Таким образом, первая часть доказательства завершена.

2. Доказательство того, что из уравнения следует система ($|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x) \implies \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$)

Пусть дано уравнение $|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$. Перепишем его, перенеся члены из правой части в левую:

$(|f(x)| - f(x)) + (|g(x)| - g(x)) = 0$

Рассмотрим свойства выражения $|a| - a$ для любого действительного числа $a$.

  • Если $a \ge 0$, то $|a| = a$, следовательно, $|a| - a = a - a = 0$.
  • Если $a < 0$, то $|a| = -a$, следовательно, $|a| - a = -a - a = -2a$. Так как $a$ отрицательно, то $-2a$ будет положительным числом ($-2a > 0$).

Из этого следует, что выражение $|a| - a$ всегда неотрицательно, то есть $|a| - a \ge 0$ для любого $a$.

Применяя это свойство к нашему преобразованному уравнению, мы видим, что оно представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых:

Первое слагаемое: $|f(x)| - f(x) \ge 0$

Второе слагаемое: $|g(x)| - g(x) \ge 0$

Сумма двух неотрицательных величин равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из этих величин равна нулю. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы оба слагаемых одновременно были равны нулю:

$|f(x)| - f(x) = 0$

$|g(x)| - g(x) = 0$

Как мы установили ранее, равенство $|a| - a = 0$ выполняется только в случае, когда $a \ge 0$.

Значит, из $|f(x)| - f(x) = 0$ следует, что $f(x) \ge 0$.

А из $|g(x)| - g(x) = 0$ следует, что $g(x) \ge 0$.

Эти два условия и составляют требуемую систему неравенств: $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$. Вторая часть доказательства завершена.

Так как мы доказали, что из выполнения системы следует выполнение уравнения и из выполнения уравнения следует выполнение системы, то уравнение и система равносильны.

Ответ: Утверждение доказано. Равносильность уравнения $|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$ и системы $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$ установлена, так как они имеют одно и то же множество решений. Что и требовалось доказать.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 12.8 расположенного на странице 307 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12.8 (с. 307), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.