Номер 12.8, страница 307 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 12.8, страница 307.

Условие.

12.8* Докажите, что уравнение $|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$ равно-сильно системе $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Чтобы доказать, что уравнение $|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$, необходимо показать, что любое решение уравнения является решением системы, и наоборот, любое решение системы является решением уравнения. Это доказывается в два этапа.

1. Доказательство того, что из системы следует уравнение ($\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} \implies |f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$)

Пусть дана система неравенств, и она верна для некоторого $x$. Это означает, что для этого $x$ выполняются оба условия: $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.

Согласно определению модуля, для любого неотрицательного числа $a$ (т.е. $a \ge 0$) справедливо равенство $|a| = a$.

Поскольку $f(x) \ge 0$, мы можем заменить $|f(x)|$ на $f(x)$.

Аналогично, поскольку $g(x) \ge 0$, мы можем заменить $|g(x)|$ на $g(x)$.

Подставим эти выражения в левую часть исходного уравнения:

$|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$

В результате левая часть уравнения стала тождественно равна правой части. Это означает, что если система неравенств выполняется, то уравнение всегда будет верным. Таким образом, первая часть доказательства завершена.

2. Доказательство того, что из уравнения следует система ($|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x) \implies \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$)

Пусть дано уравнение $|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$. Перепишем его, перенеся члены из правой части в левую:

$(|f(x)| - f(x)) + (|g(x)| - g(x)) = 0$

Рассмотрим свойства выражения $|a| - a$ для любого действительного числа $a$.

• Если $a \ge 0$, то $|a| = a$, следовательно, $|a| - a = a - a = 0$.
• Если $a < 0$, то $|a| = -a$, следовательно, $|a| - a = -a - a = -2a$. Так как $a$ отрицательно, то $-2a$ будет положительным числом ($-2a > 0$).

Из этого следует, что выражение $|a| - a$ всегда неотрицательно, то есть $|a| - a \ge 0$ для любого $a$.

Применяя это свойство к нашему преобразованному уравнению, мы видим, что оно представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых:

Первое слагаемое: $|f(x)| - f(x) \ge 0$

Второе слагаемое: $|g(x)| - g(x) \ge 0$

Сумма двух неотрицательных величин равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из этих величин равна нулю. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы оба слагаемых одновременно были равны нулю:

$|f(x)| - f(x) = 0$

$|g(x)| - g(x) = 0$

Как мы установили ранее, равенство $|a| - a = 0$ выполняется только в случае, когда $a \ge 0$.

Значит, из $|f(x)| - f(x) = 0$ следует, что $f(x) \ge 0$.

А из $|g(x)| - g(x) = 0$ следует, что $g(x) \ge 0$.

Эти два условия и составляют требуемую систему неравенств: $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$. Вторая часть доказательства завершена.

Так как мы доказали, что из выполнения системы следует выполнение уравнения и из выполнения уравнения следует выполнение системы, то уравнение и система равносильны.

Ответ: Утверждение доказано. Равносильность уравнения $|f(x)| + |g(x)| = f(x) + g(x)$ и системы $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$ установлена, так как они имеют одно и то же множество решений. Что и требовалось доказать.