Номер 12.15, страница 311 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 12.15, страница 311.

Условие.

12.15* a) $2|x|(x^2 - 4x + 3) + x|x^2 - 4x + 3| > 0;$

б) $2|x - 1|(x^2 - 4x + 3) + (x - 1)|x^2 - 4x + 3| < 0;$

в) $2|x|(x^2 - 5x + 6) + x|x^2 - 5x + 6| \leq 0;$

г) $2|x - 1|(x^2 - 5x + 6) + (x - 1)|x^2 - 5x + 6| \leq 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $2|x|(x^2 - 4x + 3) + x|x^2 - 4x + 3| > 0$

Введем обозначения: $A = x$, $B = x^2 - 4x + 3$. Неравенство примет вид $2|A|B + A|B| > 0$. Для решения используем метод интервалов. Найдем нули выражений $A$ и $B$. $A = x = 0 \implies x = 0$. $B = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = 0 \implies x = 1, x = 3$. Отметим точки $0, 1, 3$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала. Рассмотрим знак выражения $2|A|B + A|B|$ в каждом из них.

1. Интервал $(-\infty, 0)$.
   Здесь $A = x < 0$ и $B = x^2 - 4x + 3 > 0$.
   Тогда $|A| = -A$ и $|B| = B$. Выражение принимает вид $2(-A)B + A(B) = -AB$.
   Неравенство: $-AB > 0$. Так как $A < 0$ и $B > 0$, то $AB < 0$, следовательно $-AB > 0$. Неравенство выполняется на всем интервале.

2. Интервал $(0, 1)$.
   Здесь $A = x > 0$ и $B = x^2 - 4x + 3 > 0$.
   Тогда $|A| = A$ и $|B| = B$. Выражение принимает вид $2AB + AB = 3AB$.
   Неравенство: $3AB > 0$. Так как $A > 0$ и $B > 0$, то $3AB > 0$. Неравенство выполняется на всем интервале.

3. Интервал $(1, 3)$.
   Здесь $A = x > 0$ и $B = x^2 - 4x + 3 < 0$.
   Тогда $|A| = A$ и $|B| = -B$. Выражение принимает вид $2A(B) + A(-B) = AB$.
   Неравенство: $AB > 0$. Так как $A > 0$ и $B < 0$, то $AB < 0$. Неравенство не выполняется.

4. Интервал $(3, \infty)$.
   Здесь $A = x > 0$ и $B = x^2 - 4x + 3 > 0$.
   Тогда $|A| = A$ и $|B| = B$. Выражение принимает вид $2AB + AB = 3AB$.
   Неравенство: $3AB > 0$. Так как $A > 0$ и $B > 0$, то $3AB > 0$. Неравенство выполняется на всем интервале.

Проверим граничные точки $0, 1, 3$. В этих точках значение исходного выражения равно $0$. Неравенство строгое ($>0$), поэтому эти точки не являются решениями. Объединяя найденные интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (3, \infty)$.

б) $2|x - 1|(x^2 - 4x + 3) + (x - 1)|x^2 - 4x + 3| < 0$

Введем обозначения: $A = x - 1$, $B = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$. Неравенство примет вид $2|A|B + A|B| < 0$. Найдем нули выражений $A$ и $B$. $A = x - 1 = 0 \implies x = 1$. $B = (x-1)(x-3) = 0 \implies x = 1, x = 3$. Критические точки: $1, 3$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.

1. Интервал $(-\infty, 1)$.
   Здесь $A = x - 1 < 0$ и $B = (x-1)(x-3) > 0$.
   $|A| = -A, |B| = B$. Выражение: $2(-A)B + AB = -AB$.
   Неравенство: $-AB < 0 \implies AB > 0$. Так как $A < 0$ и $B > 0$, то $AB < 0$. Неравенство не выполняется.

2. Интервал $(1, 3)$.
   Здесь $A = x - 1 > 0$ и $B = (x-1)(x-3) < 0$.
   $|A| = A, |B| = -B$. Выражение: $2A(B) + A(-B) = AB$.
   Неравенство: $AB < 0$. Так как $A > 0$ и $B < 0$, то $AB < 0$. Неравенство выполняется на всем интервале.

3. Интервал $(3, \infty)$.
   Здесь $A = x - 1 > 0$ и $B = (x-1)(x-3) > 0$.
   $|A| = A, |B| = B$. Выражение: $2AB + AB = 3AB$.
   Неравенство: $3AB < 0$. Так как $A > 0$ и $B > 0$, то $3AB > 0$. Неравенство не выполняется.

В граничных точках $1, 3$ выражение равно $0$. Неравенство строгое ($<0$), поэтому точки $1$ и $3$ не входят в решение.

Ответ: $x \in (1, 3)$.

в) $2|x|(x^2 - 5x + 6) + x|x^2 - 5x + 6| \le 0$

Введем обозначения: $A = x$, $B = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Неравенство примет вид $2|A|B + A|B| \le 0$. Найдем нули выражений $A$ и $B$. $A = x = 0 \implies x = 0$. $B = (x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2, x = 3$. Критические точки: $0, 2, 3$. Они разбивают числовую прямую на четыре интервала.

1. Интервал $(-\infty, 0)$.
   $A < 0, B > 0$. Выражение: $-AB$.
   Неравенство: $-AB \le 0 \implies AB \ge 0$. Так как $A < 0, B > 0$, то $AB < 0$. Неравенство не выполняется.

2. Интервал $(0, 2)$.
   $A > 0, B > 0$. Выражение: $3AB$.
   Неравенство: $3AB \le 0$. Так как $A > 0, B > 0$, то $3AB > 0$. Неравенство не выполняется.

3. Интервал $(2, 3)$.
   $A > 0, B < 0$. Выражение: $AB$.
   Неравенство: $AB \le 0$. Так как $A > 0, B < 0$, то $AB < 0$. Неравенство выполняется на всем интервале.

4. Интервал $(3, \infty)$.
   $A > 0, B > 0$. Выражение: $3AB$.
   Неравенство: $3AB \le 0$. Так как $A > 0, B > 0$, то $3AB > 0$. Неравенство не выполняется.

Проверим граничные точки $0, 2, 3$. В этих точках значение исходного выражения равно $0$. Неравенство нестрогое ($\le 0$), поэтому все эти точки являются решениями. Объединяя результаты, получаем $x \in (2, 3) \cup \{0, 2, 3\}$.

Ответ: $x \in \{0\} \cup [2, 3]$.

г) $2|x - 1|(x^2 - 5x + 6) + (x - 1)|x^2 - 5x + 6| \le 0$

Введем обозначения: $A = x - 1$, $B = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Неравенство примет вид $2|A|B + A|B| \le 0$. Найдем нули выражений $A$ и $B$. $A = x - 1 = 0 \implies x = 1$. $B = (x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2, x = 3$. Критические точки: $1, 2, 3$. Они разбивают числовую прямую на четыре интервала.

1. Интервал $(-\infty, 1)$.
   $A < 0, B > 0$. Выражение: $-AB$.
   Неравенство: $-AB \le 0 \implies AB \ge 0$. Так как $A < 0, B > 0$, то $AB < 0$. Неравенство не выполняется.

2. Интервал $(1, 2)$.
   $A > 0, B > 0$. Выражение: $3AB$.
   Неравенство: $3AB \le 0$. Так как $A > 0, B > 0$, то $3AB > 0$. Неравенство не выполняется.

3. Интервал $(2, 3)$.
   $A > 0, B < 0$. Выражение: $AB$.
   Неравенство: $AB \le 0$. Так как $A > 0, B < 0$, то $AB < 0$. Неравенство выполняется на всем интервале.

4. Интервал $(3, \infty)$.
   $A > 0, B > 0$. Выражение: $3AB$.
   Неравенство: $3AB \le 0$. Так как $A > 0, B > 0$, то $3AB > 0$. Неравенство не выполняется.

Проверим граничные точки $1, 2, 3$. В этих точках значение исходного выражения равно $0$. Неравенство нестрогое ($\le 0$), поэтому все эти точки являются решениями. Объединяя результаты, получаем $x \in (2, 3) \cup \{1, 2, 3\}$.

Ответ: $x \in \{1\} \cup [2, 3]$.