Номер 12.17, страница 313 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств - номер 12.17, страница 313.

Условие.

12.17° Объясните на примере, в чём заключается метод интервалов для непрерывных функций.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Метод интервалов (или метод промежутков) — это стандартный метод для решения неравенств вида $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$, где $f(x)$ — непрерывная на своей области определения функция. Суть метода основана на фундаментальном свойстве непрерывных функций: если на некотором интервале функция не обращается в ноль, то она сохраняет на этом интервале постоянный знак (то есть остается либо строго положительной, либо строго отрицательной). Точки, в которых функция может изменить свой знак, — это её нули (где $f(x)=0$) или точки разрыва.

Таким образом, чтобы определить знак функции на всей числовой оси, достаточно найти её знак только в одной точке каждого интервала, на которые числовая ось разбивается нулями функции и её точками разрыва.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов:
1. Перенести все члены неравенства в одну часть, чтобы получить неравенство вида $f(x) \gtrless 0$.
2. Найти область определения функции $f(x)$.
3. Найти нули функции $f(x)$, то есть решить уравнение $f(x) = 0$.
4. Нанести на числовую прямую точки, которые не входят в область определения (точки разрыва), и нули функции. Эти точки разобьют числовую прямую на интервалы, в каждом из которых функция $f(x)$ непрерывна и сохраняет постоянный знак.
5. Определить знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов. Для этого достаточно выбрать любую "пробную" точку из интервала, подставить её в функцию и определить знак полученного значения.
6. Выбрать интервалы, на которых знак функции соответствует знаку в решаемом неравенстве.
7. Записать ответ. В ответ включают нули функции, если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), и не включают, если неравенство строгое ($>$ или <). Точки разрыва никогда не включаются в ответ.

Пример:

Рассмотрим применение метода на примере решения неравенства $\frac{x^2 - 6x + 5}{x+2} \le 0$.

1. Функция и область определения.
В левой части неравенства находится функция $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 5}{x+2}$.
Эта функция является непрерывной на всей своей области определения. Область определения находим из условия, что знаменатель не должен быть равен нулю: $x+2 \ne 0$, откуда $x \ne -2$.
Следовательно, область определения функции: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Нахождение нулей функции.
Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни квадратного уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Оба корня ($1$ и $5$) принадлежат области определения функции, поэтому они являются её нулями.

3. Анализ знаков на числовой прямой.
Наносим на числовую прямую точку разрыва $x = -2$ и нули функции $x = 1$, $x = 5$. Точку разрыва $x = -2$ отмечаем как "выколотую" (пустой кружок), так как она не входит в решение. Нули $x = 1$ и $x = 5$ отмечаем "закрашенными" (сплошными кружками), так как неравенство нестрогое ($\le$), и эти точки являются частью решения.
Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$, $(1; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Определим знак функции $f(x)$ в каждом интервале, выбрав по одной пробной точке:
- В интервале $(5; +\infty)$ возьмем $x = 10$.
$f(10) = \frac{10^2 - 6 \cdot 10 + 5}{10+2} = \frac{100 - 60 + 5}{12} = \frac{45}{12} > 0$. Значит, на этом интервале $f(x) > 0$ (+).
- В интервале $(1; 5)$ возьмем $x = 2$.
$f(2) = \frac{2^2 - 6 \cdot 2 + 5}{2+2} = \frac{4 - 12 + 5}{4} = \frac{-3}{4} < 0$. Значит, на этом интервале $f(x) < 0$ (–).
- В интервале $(-2; 1)$ возьмем $x = 0$.
$f(0) = \frac{0^2 - 6 \cdot 0 + 5}{0+2} = \frac{5}{2} > 0$. Значит, на этом интервале $f(x) > 0$ (+).
- В интервале $(-\infty; -2)$ возьмем $x = -3$.
$f(-3) = \frac{(-3)^2 - 6(-3) + 5}{-3+2} = \frac{9 + 18 + 5}{-1} = \frac{32}{-1} < 0$. Значит, на этом интервале $f(x) < 0$ (–).

На числовой прямой знаки распределятся следующим образом:
---(-)---o---(+)---•---(-)---•---(+)--->
-2 1 5 x

4. Формирование ответа.
Нас интересуют промежутки, где $f(x) \le 0$. Это соответствует интервалам, где мы получили знак "–", а также точкам, где $f(x) = 0$.
Интервалы со знаком "–": $(-\infty; -2)$ и $(1; 5)$.
Поскольку неравенство нестрогое, мы включаем в ответ нули функции $x=1$ и $x=5$. Точка $x=-2$ в ответ не входит, так как это точка разрыва.
Объединяя результаты, получаем $x \in (-\infty; -2) \cup [1; 5]$.

Ответ: Метод интервалов для непрерывных функций — это способ решения неравенств, основанный на свойстве непрерывных функций сохранять постоянный знак на интервалах между своими нулями и точками разрыва. Алгоритм метода включает: 1) приведение неравенства к виду $f(x) \gtrless 0$; 2) нахождение области определения и нулей функции $f(x)$; 3) нанесение нулей и точек разрыва на числовую ось, которая разбивается на интервалы знакопостоянства; 4) определение знака функции на каждом интервале с помощью пробных точек; 5) выбор интервалов, удовлетворяющих неравенству, и запись ответа с учетом строгости неравенства. На примере неравенства $\frac{x^2 - 6x + 5}{x+2} \le 0$ было показано, что его решением является объединение промежутков $(-\infty; -2) \cup [1; 5]$.