Номер 12.18, страница 313 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств - номер 12.18, страница 313.

Условие.

Решите неравенство (12.18–12.23):

12.18 а) $\frac{(x-2)(x^2-2x+11)}{x-7} > 0;$

б) $\frac{(x-3)(x^2-5x+8)}{x+1} < 0;$

в) $\frac{(x-3)(x^2-\pi x+5)}{x-4} > 0;$

г) $\frac{(x+1)(x^2-ex+4)}{x+5} < 0.$

Решение 1.

Решение 4.

a) Дано неравенство $\frac{(x-2)(x^2 - 2x + 11)}{x-7} > 0$.
Первым шагом рассмотрим квадратный трехчлен в числителе: $x^2 - 2x + 11$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 4 - 44 = -40$.
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент (при $x^2$) $a = 1 > 0$, парабола $y = x^2 - 2x + 11$ полностью лежит выше оси абсцисс, а значит, выражение $x^2 - 2x + 11$ положительно при любом значении $x$.
Так как мы можем разделить обе части неравенства на положительное число, не меняя знака неравенства, исходное неравенство равносильно более простому: $\frac{x-2}{x-7} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x=2$ и $x=7$. Отметим эти точки на числовой оси (точки "выколотые", так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю).
Ось разобьется на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 7)$ и $(7; +\infty)$.
Определим знак дроби в каждом интервале:
- при $x \in (7; +\infty)$, например $x=10$: $\frac{10-2}{10-7} = \frac{8}{3} > 0$. Знак "+".
- при $x \in (2; 7)$, например $x=5$: $\frac{5-2}{5-7} = \frac{3}{-2} < 0$. Знак "-".
- при $x \in (-\infty; 2)$, например $x=0$: $\frac{0-2}{0-7} = \frac{-2}{-7} > 0$. Знак "+".
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (7; +\infty)$.

б) Дано неравенство $\frac{(x-3)(x^2 - 5x + 8)}{x+1} < 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 8$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$.
Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, выражение $x^2 - 5x + 8$ всегда положительно.
Значит, неравенство равносильно неравенству $\frac{x-3}{x+1} < 0$.
Решаем методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=3$ и $x=-1$.
Интервалы на числовой оси: $(-\infty; -1)$, $(-1; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Определим знаки:
- при $x \in (3; +\infty)$, например $x=4$: $\frac{4-3}{4+1} > 0$. Знак "+".
- при $x \in (-1; 3)$, например $x=0$: $\frac{0-3}{0+1} < 0$. Знак "-".
- при $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$: $\frac{-2-3}{-2+1} > 0$. Знак "+".
Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля (знак "-").
Ответ: $x \in (-1; 3)$.

в) Дано неравенство $\frac{(x-3)(x^2 - \pi x + 5)}{x-4} > 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - \pi x + 5$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-\pi)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = \pi^2 - 20$.
Приближенное значение $\pi \approx 3.14$, тогда $\pi^2 \approx 9.86$. Очевидно, что $\pi^2 < 20$, следовательно $D = \pi^2 - 20 < 0$.
Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, выражение $x^2 - \pi x + 5$ всегда положительно.
Неравенство равносильно $\frac{x-3}{x-4} > 0$.
Решаем методом интервалов. Нули: $x=3$ и $x=4$.
Интервалы: $(-\infty; 3)$, $(3; 4)$ и $(4; +\infty)$.
Определим знаки:
- при $x \in (4; +\infty)$, например $x=5$: $\frac{5-3}{5-4} > 0$. Знак "+".
- при $x \in (3; 4)$, например $x=3.5$: $\frac{3.5-3}{3.5-4} < 0$. Знак "-".
- при $x \in (-\infty; 3)$, например $x=0$: $\frac{0-3}{0-4} > 0$. Знак "+".
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").
Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$.

г) Дано неравенство $\frac{(x+1)(x^2 - ex + 4)}{x+5} < 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - ex + 4$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-e)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = e^2 - 16$.
Приближенное значение $e \approx 2.718$, тогда $e^2 \approx 7.389$. Очевидно, что $e^2 < 16$, следовательно $D = e^2 - 16 < 0$.
Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, выражение $x^2 - ex + 4$ всегда положительно.
Неравенство равносильно $\frac{x+1}{x+5} < 0$.
Решаем методом интервалов. Нули: $x=-1$ и $x=-5$.
Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$ и $(-1; +\infty)$.
Определим знаки:
- при $x \in (-1; +\infty)$, например $x=0$: $\frac{0+1}{0+5} > 0$. Знак "+".
- при $x \in (-5; -1)$, например $x=-2$: $\frac{-2+1}{-2+5} < 0$. Знак "-".
- при $x \in (-\infty; -5)$, например $x=-10$: $\frac{-10+1}{-10+5} > 0$. Знак "+".
Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля (знак "-").
Ответ: $x \in (-5; -1)$.