Номер 12.19, страница 313 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств - номер 12.19, страница 313.

Условие.

12.19 а) $\frac{(2^x - 8)(\lg x - 1)}{(\log_{\frac{1}{2}} x + 1)\sqrt{12 - x}} > 0;$

б) $\frac{(3^x - 81)(\log_2 x - 2)}{(\log_{\frac{1}{3}} x + 1)\sqrt{5 - x}} < 0;$

В) $\frac{2^{\log_2(x - 1)} \cdot (\log_{0,2} x + 1)}{|x - 4|\sqrt{6 - x}} > 0;$

Г) $\frac{10^{\lg |x - 3|} \cdot (\log_{0,25} x + 1)}{(\log_2 x - 3)\sqrt{8 - x}} < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Решим неравенство $ \frac{(2^x - 8)(\lg x - 1)}{(\log_{1/2} x + 1)\sqrt{12 - x}} > 0 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x > 0 \\ 12 - x > 0 \\ \log_{1/2} x + 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 12 \\ \log_{1/2} x \neq -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 12 \\ x \neq (1/2)^{-1} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 12 \\ x \neq 2 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 2) \cup (2, 12)$.

2. На ОДЗ выражение $ \sqrt{12 - x} $ всегда положительно, поэтому неравенство равносильно:

$ \frac{(2^x - 8)(\lg x - 1)}{\log_{1/2} x + 1} > 0 $

3. Применим метод рационализации (замены множителей).

Множитель $2^x - 8 = 2^x - 2^3$. Так как основание $2 > 1$, знак этого выражения совпадает со знаком выражения $x - 3$.

Множитель $\lg x - 1 = \lg x - \lg 10$. Так как основание $10 > 1$, знак этого выражения совпадает со знаком выражения $x - 10$.

Множитель $\log_{1/2} x + 1 = \log_{1/2} x - \log_{1/2} 2$. Так как основание $0 < 1/2 < 1$, знак этого выражения противоположен знаку выражения $x - 2$.

Получаем равносильное на ОДЗ неравенство:

$ \frac{(x - 3)(x - 10)}{-(x - 2)} > 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$ \frac{(x - 3)(x - 10)}{x - 2} < 0 $

4. Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=3, x=10$. Нуль знаменателя: $x=2$.

Наносим точки $2, 3, 10$ на числовую прямую и определяем знаки дроби в интервалах.

Интервалы, где дробь отрицательна: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, 10)$.

5. Пересекаем полученное решение с ОДЗ $x \in (0, 2) \cup (2, 12)$.

$ ( (-\infty, 2) \cup (3, 10) ) \cap ( (0, 2) \cup (2, 12) ) = (0, 2) \cup (3, 10) $.

Ответ: $ x \in (0, 2) \cup (3, 10) $.

б)

Решим неравенство $ \frac{(3^x - 81)(\log_2 x - 2)}{(\log_{1/3} x + 1)\sqrt{5 - x}} < 0 $.

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x > 0 \\ 5 - x > 0 \\ \log_{1/3} x + 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 5 \\ \log_{1/3} x \neq -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 5 \\ x \neq (1/3)^{-1} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 5 \\ x \neq 3 \end{cases} $

ОДЗ: $x \in (0, 3) \cup (3, 5)$.

2. На ОДЗ $ \sqrt{5 - x} > 0 $. Неравенство равносильно:

$ \frac{(3^x - 81)(\log_2 x - 2)}{\log_{1/3} x + 1} < 0 $

3. Применим метод рационализации:

$3^x - 81 = 3^x - 3^4 \implies$ знак совпадает с $x-4$ (основание $3>1$).

$\log_2 x - 2 = \log_2 x - \log_2 4 \implies$ знак совпадает с $x-4$ (основание $2>1$).

$\log_{1/3} x + 1 = \log_{1/3} x - \log_{1/3} 3 \implies$ знак противоположен $x-3$ (основание $0 < 1/3 < 1$).

Получаем равносильное неравенство:

$ \frac{(x-4)(x-4)}{-(x-3)} < 0 $

$ \frac{(x-4)^2}{x-3} > 0 $

4. Решим полученное неравенство. Так как $(x-4)^2 \ge 0$, для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы $(x-4)^2 \neq 0$, то есть $x \neq 4$, и чтобы знаменатель был положителен: $x-3 > 0$, то есть $x > 3$.

Решение: $x \in (3, \infty)$ и $x \neq 4$, что дает $x \in (3, 4) \cup (4, \infty)$.

5. Пересекаем с ОДЗ $x \in (0, 3) \cup (3, 5)$.

$ ( (3, 4) \cup (4, \infty) ) \cap ( (0, 3) \cup (3, 5) ) = (3, 4) \cup (4, 5) $.

Ответ: $ x \in (3, 4) \cup (4, 5) $.

в)

Решим неравенство $ \frac{2^{\log_2(x-1)} \cdot (\log_{0.2} x + 1)}{|x-4|\sqrt{6-x}} > 0 $.

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x > 0 \\ 6 - x > 0 \\ x - 4 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 0 \\ x < 6 \\ x \neq 4 \end{cases} $

ОДЗ: $x \in (1, 4) \cup (4, 6)$.

2. Упростим неравенство. На ОДЗ:

$2^{\log_2(x-1)} = x-1$. Так как $x > 1$, то $x-1 > 0$.

$|x-4| > 0$, так как $x \neq 4$.

$\sqrt{6-x} > 0$, так как $x < 6$.

Поскольку множители $x-1$, $|x-4|$ и $\sqrt{6-x}$ положительны на ОДЗ, знак дроби совпадает со знаком множителя $(\log_{0.2} x + 1)$. Неравенство равносильно:

$ \log_{0.2} x + 1 > 0 $

$ \log_{0.2} x > -1 $

$ \log_{0.2} x > \log_{0.2} (0.2)^{-1} $

$ \log_{0.2} x > \log_{0.2} 5 $

Так как основание логарифма $0.2 < 1$, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ x < 5 $

3. Пересекаем полученное решение с ОДЗ $x \in (1, 4) \cup (4, 6)$.

$ (-\infty, 5) \cap ( (1, 4) \cup (4, 6) ) = (1, 4) \cup (4, 5) $.

Ответ: $ x \in (1, 4) \cup (4, 5) $.

г)

Решим неравенство $ \frac{10^{\lg|x-3|} \cdot (\log_{0.25} x + 1)}{(\log_2 x - 3)\sqrt{8 - x}} < 0 $.

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} |x-3| > 0 \\ x > 0 \\ 8 - x > 0 \\ \log_2 x - 3 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 3 \\ x > 0 \\ x < 8 \\ \log_2 x \neq 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 3 \\ x > 0 \\ x < 8 \\ x \neq 8 \end{cases} $

ОДЗ: $x \in (0, 3) \cup (3, 8)$.

2. Упростим неравенство. На ОДЗ:

$10^{\lg|x-3|} = |x-3|$. Так как $x \neq 3$, то $|x-3| > 0$.

$\sqrt{8-x} > 0$, так как $x < 8$.

Поскольку множители $|x-3|$ и $\sqrt{8-x}$ положительны на ОДЗ, неравенство равносильно:

$ \frac{\log_{0.25} x + 1}{\log_2 x - 3} < 0 $

3. Применим метод рационализации:

$\log_{0.25} x + 1 = \log_{0.25} x - \log_{0.25} 4$. Знак противоположен $x-4$ (основание $0.25 < 1$).

$\log_2 x - 3 = \log_2 x - \log_2 8$. Знак совпадает с $x-8$ (основание $2 > 1$).

Получаем равносильное неравенство:

$ \frac{-(x-4)}{x-8} < 0 $

$ \frac{x-4}{x-8} > 0 $

4. Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули: $x=4, x=8$. Решением является объединение интервалов, где дробь положительна:

$x \in (-\infty, 4) \cup (8, \infty)$.

5. Пересекаем с ОДЗ $x \in (0, 3) \cup (3, 8)$.

$ ( (-\infty, 4) \cup (8, \infty) ) \cap ( (0, 3) \cup (3, 8) ) = (0, 3) \cup (3, 4) $.

Ответ: $ x \in (0, 3) \cup (3, 4) $.