Страница 313 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

12.17° Объясните на примере, в чём заключается метод интервалов для непрерывных функций.

Метод интервалов (или метод промежутков) — это стандартный метод для решения неравенств вида $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0$, где $f(x)$ — непрерывная на своей области определения функция. Суть метода основана на фундаментальном свойстве непрерывных функций: если на некотором интервале функция не обращается в ноль, то она сохраняет на этом интервале постоянный знак (то есть остается либо строго положительной, либо строго отрицательной). Точки, в которых функция может изменить свой знак, — это её нули (где $f(x)=0$) или точки разрыва.

Таким образом, чтобы определить знак функции на всей числовой оси, достаточно найти её знак только в одной точке каждого интервала, на которые числовая ось разбивается нулями функции и её точками разрыва.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов:
1. Перенести все члены неравенства в одну часть, чтобы получить неравенство вида $f(x) \gtrless 0$.
2. Найти область определения функции $f(x)$.
3. Найти нули функции $f(x)$, то есть решить уравнение $f(x) = 0$.
4. Нанести на числовую прямую точки, которые не входят в область определения (точки разрыва), и нули функции. Эти точки разобьют числовую прямую на интервалы, в каждом из которых функция $f(x)$ непрерывна и сохраняет постоянный знак.
5. Определить знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов. Для этого достаточно выбрать любую "пробную" точку из интервала, подставить её в функцию и определить знак полученного значения.
6. Выбрать интервалы, на которых знак функции соответствует знаку в решаемом неравенстве.
7. Записать ответ. В ответ включают нули функции, если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), и не включают, если неравенство строгое ($>$ или <). Точки разрыва никогда не включаются в ответ.

Пример:

Рассмотрим применение метода на примере решения неравенства $\frac{x^2 - 6x + 5}{x+2} \le 0$.

1. Функция и область определения.
В левой части неравенства находится функция $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 5}{x+2}$.
Эта функция является непрерывной на всей своей области определения. Область определения находим из условия, что знаменатель не должен быть равен нулю: $x+2 \ne 0$, откуда $x \ne -2$.
Следовательно, область определения функции: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Нахождение нулей функции.
Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни квадратного уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
Оба корня ($1$ и $5$) принадлежат области определения функции, поэтому они являются её нулями.

3. Анализ знаков на числовой прямой.
Наносим на числовую прямую точку разрыва $x = -2$ и нули функции $x = 1$, $x = 5$. Точку разрыва $x = -2$ отмечаем как "выколотую" (пустой кружок), так как она не входит в решение. Нули $x = 1$ и $x = 5$ отмечаем "закрашенными" (сплошными кружками), так как неравенство нестрогое ($\le$), и эти точки являются частью решения.
Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$, $(1; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Определим знак функции $f(x)$ в каждом интервале, выбрав по одной пробной точке:
- В интервале $(5; +\infty)$ возьмем $x = 10$.
$f(10) = \frac{10^2 - 6 \cdot 10 + 5}{10+2} = \frac{100 - 60 + 5}{12} = \frac{45}{12} > 0$. Значит, на этом интервале $f(x) > 0$ (+).
- В интервале $(1; 5)$ возьмем $x = 2$.
$f(2) = \frac{2^2 - 6 \cdot 2 + 5}{2+2} = \frac{4 - 12 + 5}{4} = \frac{-3}{4} < 0$. Значит, на этом интервале $f(x) < 0$ (–).
- В интервале $(-2; 1)$ возьмем $x = 0$.
$f(0) = \frac{0^2 - 6 \cdot 0 + 5}{0+2} = \frac{5}{2} > 0$. Значит, на этом интервале $f(x) > 0$ (+).
- В интервале $(-\infty; -2)$ возьмем $x = -3$.
$f(-3) = \frac{(-3)^2 - 6(-3) + 5}{-3+2} = \frac{9 + 18 + 5}{-1} = \frac{32}{-1} < 0$. Значит, на этом интервале $f(x) < 0$ (–).

На числовой прямой знаки распределятся следующим образом:
---(-)---o---(+)---•---(-)---•---(+)--->
-2 1 5 x

4. Формирование ответа.
Нас интересуют промежутки, где $f(x) \le 0$. Это соответствует интервалам, где мы получили знак "–", а также точкам, где $f(x) = 0$.
Интервалы со знаком "–": $(-\infty; -2)$ и $(1; 5)$.
Поскольку неравенство нестрогое, мы включаем в ответ нули функции $x=1$ и $x=5$. Точка $x=-2$ в ответ не входит, так как это точка разрыва.
Объединяя результаты, получаем $x \in (-\infty; -2) \cup [1; 5]$.

Ответ: Метод интервалов для непрерывных функций — это способ решения неравенств, основанный на свойстве непрерывных функций сохранять постоянный знак на интервалах между своими нулями и точками разрыва. Алгоритм метода включает: 1) приведение неравенства к виду $f(x) \gtrless 0$; 2) нахождение области определения и нулей функции $f(x)$; 3) нанесение нулей и точек разрыва на числовую ось, которая разбивается на интервалы знакопостоянства; 4) определение знака функции на каждом интервале с помощью пробных точек; 5) выбор интервалов, удовлетворяющих неравенству, и запись ответа с учетом строгости неравенства. На примере неравенства $\frac{x^2 - 6x + 5}{x+2} \le 0$ было показано, что его решением является объединение промежутков $(-\infty; -2) \cup [1; 5]$.

Решите неравенство (12.18–12.23):

12.18 а) $\frac{(x-2)(x^2-2x+11)}{x-7} > 0;$

б) $\frac{(x-3)(x^2-5x+8)}{x+1} < 0;$

в) $\frac{(x-3)(x^2-\pi x+5)}{x-4} > 0;$

г) $\frac{(x+1)(x^2-ex+4)}{x+5} < 0.$

a) Дано неравенство $\frac{(x-2)(x^2 - 2x + 11)}{x-7} > 0$.
Первым шагом рассмотрим квадратный трехчлен в числителе: $x^2 - 2x + 11$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 4 - 44 = -40$.
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент (при $x^2$) $a = 1 > 0$, парабола $y = x^2 - 2x + 11$ полностью лежит выше оси абсцисс, а значит, выражение $x^2 - 2x + 11$ положительно при любом значении $x$.
Так как мы можем разделить обе части неравенства на положительное число, не меняя знака неравенства, исходное неравенство равносильно более простому: $\frac{x-2}{x-7} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x=2$ и $x=7$. Отметим эти точки на числовой оси (точки "выколотые", так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю).
Ось разобьется на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 7)$ и $(7; +\infty)$.
Определим знак дроби в каждом интервале:
- при $x \in (7; +\infty)$, например $x=10$: $\frac{10-2}{10-7} = \frac{8}{3} > 0$. Знак "+".
- при $x \in (2; 7)$, например $x=5$: $\frac{5-2}{5-7} = \frac{3}{-2} < 0$. Знак "-".
- при $x \in (-\infty; 2)$, например $x=0$: $\frac{0-2}{0-7} = \frac{-2}{-7} > 0$. Знак "+".
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (7; +\infty)$.

б) Дано неравенство $\frac{(x-3)(x^2 - 5x + 8)}{x+1} < 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 8$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$.
Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, выражение $x^2 - 5x + 8$ всегда положительно.
Значит, неравенство равносильно неравенству $\frac{x-3}{x+1} < 0$.
Решаем методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=3$ и $x=-1$.
Интервалы на числовой оси: $(-\infty; -1)$, $(-1; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Определим знаки:
- при $x \in (3; +\infty)$, например $x=4$: $\frac{4-3}{4+1} > 0$. Знак "+".
- при $x \in (-1; 3)$, например $x=0$: $\frac{0-3}{0+1} < 0$. Знак "-".
- при $x \in (-\infty; -1)$, например $x=-2$: $\frac{-2-3}{-2+1} > 0$. Знак "+".
Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля (знак "-").
Ответ: $x \in (-1; 3)$.

в) Дано неравенство $\frac{(x-3)(x^2 - \pi x + 5)}{x-4} > 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - \pi x + 5$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-\pi)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = \pi^2 - 20$.
Приближенное значение $\pi \approx 3.14$, тогда $\pi^2 \approx 9.86$. Очевидно, что $\pi^2 < 20$, следовательно $D = \pi^2 - 20 < 0$.
Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, выражение $x^2 - \pi x + 5$ всегда положительно.
Неравенство равносильно $\frac{x-3}{x-4} > 0$.
Решаем методом интервалов. Нули: $x=3$ и $x=4$.
Интервалы: $(-\infty; 3)$, $(3; 4)$ и $(4; +\infty)$.
Определим знаки:
- при $x \in (4; +\infty)$, например $x=5$: $\frac{5-3}{5-4} > 0$. Знак "+".
- при $x \in (3; 4)$, например $x=3.5$: $\frac{3.5-3}{3.5-4} < 0$. Знак "-".
- при $x \in (-\infty; 3)$, например $x=0$: $\frac{0-3}{0-4} > 0$. Знак "+".
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак "+").
Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty)$.

г) Дано неравенство $\frac{(x+1)(x^2 - ex + 4)}{x+5} < 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - ex + 4$.
Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-e)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = e^2 - 16$.
Приближенное значение $e \approx 2.718$, тогда $e^2 \approx 7.389$. Очевидно, что $e^2 < 16$, следовательно $D = e^2 - 16 < 0$.
Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, выражение $x^2 - ex + 4$ всегда положительно.
Неравенство равносильно $\frac{x+1}{x+5} < 0$.
Решаем методом интервалов. Нули: $x=-1$ и $x=-5$.
Интервалы: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$ и $(-1; +\infty)$.
Определим знаки:
- при $x \in (-1; +\infty)$, например $x=0$: $\frac{0+1}{0+5} > 0$. Знак "+".
- при $x \in (-5; -1)$, например $x=-2$: $\frac{-2+1}{-2+5} < 0$. Знак "-".
- при $x \in (-\infty; -5)$, например $x=-10$: $\frac{-10+1}{-10+5} > 0$. Знак "+".
Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля (знак "-").
Ответ: $x \in (-5; -1)$.

12.19 а) $\frac{(2^x - 8)(\lg x - 1)}{(\log_{\frac{1}{2}} x + 1)\sqrt{12 - x}} > 0;$

б) $\frac{(3^x - 81)(\log_2 x - 2)}{(\log_{\frac{1}{3}} x + 1)\sqrt{5 - x}} < 0;$

В) $\frac{2^{\log_2(x - 1)} \cdot (\log_{0,2} x + 1)}{|x - 4|\sqrt{6 - x}} > 0;$

Г) $\frac{10^{\lg |x - 3|} \cdot (\log_{0,25} x + 1)}{(\log_2 x - 3)\sqrt{8 - x}} < 0.$

а)

Решим неравенство $ \frac{(2^x - 8)(\lg x - 1)}{(\log_{1/2} x + 1)\sqrt{12 - x}} > 0 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x > 0 \\ 12 - x > 0 \\ \log_{1/2} x + 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 12 \\ \log_{1/2} x \neq -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 12 \\ x \neq (1/2)^{-1} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 12 \\ x \neq 2 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 2) \cup (2, 12)$.

2. На ОДЗ выражение $ \sqrt{12 - x} $ всегда положительно, поэтому неравенство равносильно:

$ \frac{(2^x - 8)(\lg x - 1)}{\log_{1/2} x + 1} > 0 $

3. Применим метод рационализации (замены множителей).

Множитель $2^x - 8 = 2^x - 2^3$. Так как основание $2 > 1$, знак этого выражения совпадает со знаком выражения $x - 3$.

Множитель $\lg x - 1 = \lg x - \lg 10$. Так как основание $10 > 1$, знак этого выражения совпадает со знаком выражения $x - 10$.

Множитель $\log_{1/2} x + 1 = \log_{1/2} x - \log_{1/2} 2$. Так как основание $0 < 1/2 < 1$, знак этого выражения противоположен знаку выражения $x - 2$.

Получаем равносильное на ОДЗ неравенство:

$ \frac{(x - 3)(x - 10)}{-(x - 2)} > 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$ \frac{(x - 3)(x - 10)}{x - 2} < 0 $

4. Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=3, x=10$. Нуль знаменателя: $x=2$.

Наносим точки $2, 3, 10$ на числовую прямую и определяем знаки дроби в интервалах.

Интервалы, где дробь отрицательна: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, 10)$.

5. Пересекаем полученное решение с ОДЗ $x \in (0, 2) \cup (2, 12)$.

$ ( (-\infty, 2) \cup (3, 10) ) \cap ( (0, 2) \cup (2, 12) ) = (0, 2) \cup (3, 10) $.

Ответ: $ x \in (0, 2) \cup (3, 10) $.

б)

Решим неравенство $ \frac{(3^x - 81)(\log_2 x - 2)}{(\log_{1/3} x + 1)\sqrt{5 - x}} < 0 $.

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x > 0 \\ 5 - x > 0 \\ \log_{1/3} x + 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 5 \\ \log_{1/3} x \neq -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 5 \\ x \neq (1/3)^{-1} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x < 5 \\ x \neq 3 \end{cases} $

ОДЗ: $x \in (0, 3) \cup (3, 5)$.

2. На ОДЗ $ \sqrt{5 - x} > 0 $. Неравенство равносильно:

$ \frac{(3^x - 81)(\log_2 x - 2)}{\log_{1/3} x + 1} < 0 $

3. Применим метод рационализации:

$3^x - 81 = 3^x - 3^4 \implies$ знак совпадает с $x-4$ (основание $3>1$).

$\log_2 x - 2 = \log_2 x - \log_2 4 \implies$ знак совпадает с $x-4$ (основание $2>1$).

$\log_{1/3} x + 1 = \log_{1/3} x - \log_{1/3} 3 \implies$ знак противоположен $x-3$ (основание $0 < 1/3 < 1$).

Получаем равносильное неравенство:

$ \frac{(x-4)(x-4)}{-(x-3)} < 0 $

$ \frac{(x-4)^2}{x-3} > 0 $

4. Решим полученное неравенство. Так как $(x-4)^2 \ge 0$, для выполнения строгого неравенства необходимо, чтобы $(x-4)^2 \neq 0$, то есть $x \neq 4$, и чтобы знаменатель был положителен: $x-3 > 0$, то есть $x > 3$.

Решение: $x \in (3, \infty)$ и $x \neq 4$, что дает $x \in (3, 4) \cup (4, \infty)$.

5. Пересекаем с ОДЗ $x \in (0, 3) \cup (3, 5)$.

$ ( (3, 4) \cup (4, \infty) ) \cap ( (0, 3) \cup (3, 5) ) = (3, 4) \cup (4, 5) $.

Ответ: $ x \in (3, 4) \cup (4, 5) $.

в)

Решим неравенство $ \frac{2^{\log_2(x-1)} \cdot (\log_{0.2} x + 1)}{|x-4|\sqrt{6-x}} > 0 $.

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x > 0 \\ 6 - x > 0 \\ x - 4 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 0 \\ x < 6 \\ x \neq 4 \end{cases} $

ОДЗ: $x \in (1, 4) \cup (4, 6)$.

2. Упростим неравенство. На ОДЗ:

$2^{\log_2(x-1)} = x-1$. Так как $x > 1$, то $x-1 > 0$.

$|x-4| > 0$, так как $x \neq 4$.

$\sqrt{6-x} > 0$, так как $x < 6$.

Поскольку множители $x-1$, $|x-4|$ и $\sqrt{6-x}$ положительны на ОДЗ, знак дроби совпадает со знаком множителя $(\log_{0.2} x + 1)$. Неравенство равносильно:

$ \log_{0.2} x + 1 > 0 $

$ \log_{0.2} x > -1 $

$ \log_{0.2} x > \log_{0.2} (0.2)^{-1} $

$ \log_{0.2} x > \log_{0.2} 5 $

Так как основание логарифма $0.2 < 1$, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ x < 5 $

3. Пересекаем полученное решение с ОДЗ $x \in (1, 4) \cup (4, 6)$.

$ (-\infty, 5) \cap ( (1, 4) \cup (4, 6) ) = (1, 4) \cup (4, 5) $.

Ответ: $ x \in (1, 4) \cup (4, 5) $.

г)

Решим неравенство $ \frac{10^{\lg|x-3|} \cdot (\log_{0.25} x + 1)}{(\log_2 x - 3)\sqrt{8 - x}} < 0 $.

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} |x-3| > 0 \\ x > 0 \\ 8 - x > 0 \\ \log_2 x - 3 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 3 \\ x > 0 \\ x < 8 \\ \log_2 x \neq 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 3 \\ x > 0 \\ x < 8 \\ x \neq 8 \end{cases} $

ОДЗ: $x \in (0, 3) \cup (3, 8)$.

2. Упростим неравенство. На ОДЗ:

$10^{\lg|x-3|} = |x-3|$. Так как $x \neq 3$, то $|x-3| > 0$.

$\sqrt{8-x} > 0$, так как $x < 8$.

Поскольку множители $|x-3|$ и $\sqrt{8-x}$ положительны на ОДЗ, неравенство равносильно:

$ \frac{\log_{0.25} x + 1}{\log_2 x - 3} < 0 $

3. Применим метод рационализации:

$\log_{0.25} x + 1 = \log_{0.25} x - \log_{0.25} 4$. Знак противоположен $x-4$ (основание $0.25 < 1$).

$\log_2 x - 3 = \log_2 x - \log_2 8$. Знак совпадает с $x-8$ (основание $2 > 1$).

Получаем равносильное неравенство:

$ \frac{-(x-4)}{x-8} < 0 $

$ \frac{x-4}{x-8} > 0 $

4. Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули: $x=4, x=8$. Решением является объединение интервалов, где дробь положительна:

$x \in (-\infty, 4) \cup (8, \infty)$.

5. Пересекаем с ОДЗ $x \in (0, 3) \cup (3, 8)$.

$ ( (-\infty, 4) \cup (8, \infty) ) \cap ( (0, 3) \cup (3, 8) ) = (0, 3) \cup (3, 4) $.

Ответ: $ x \in (0, 3) \cup (3, 4) $.

12.20 a) $(x^2 - 4x)\sqrt{9 - x^2} \le 0;$

Б) $(x^2 - x - 30)\sqrt{x^2 - 4} \le 0;$

В) $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 - 9} \ge 0;$

Г) $(x^2 - x - 12)\sqrt{x^2 - 4} \ge 0.$

а) Исходное неравенство $(x^2 - 4x)\sqrt{9 - x^2} \le 0$ решается методом интервалов с учетом области допустимых значений (ОДЗ).
1. Найдем ОДЗ. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:$9 - x^2 \ge 0$$x^2 \le 9$$-3 \le x \le 3$.Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3, 3]$.
2. Поскольку множитель $\sqrt{9 - x^2}$ всегда неотрицателен на своей ОДЗ, неравенство выполняется в двух случаях:
а) Когда $\sqrt{9 - x^2} = 0$. Это происходит при $x = 3$ и $x = -3$. В этих точках неравенство обращается в верное равенство $0 \le 0$.
б) Когда $\sqrt{9 - x^2} > 0$ (то есть при $x \in (-3, 3)$), знак всего выражения зависит от знака первого множителя. Неравенство примет вид: $x^2 - 4x \le 0$ $x(x - 4) \le 0$ Корнями уравнения $x(x-4)=0$ являются $x=0$ и $x=4$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства $x(x - 4) \le 0$ есть отрезок $[0, 4]$.
3. Теперь найдем пересечение полученного решения $x \in [0, 4]$ с условием $x \in (-3, 3)$. Пересечением является полуинтервал $[0, 3)$.
4. Объединим решения из пунктов 2а и 3:$\{-3, 3\} \cup [0, 3) = \{-3\} \cup [0, 3]$.

Ответ: $x \in \{-3\} \cup [0, 3]$.

б) Решим неравенство $(x^2 - x - 30)\sqrt{x^2 - 4} \le 0$.
1. ОДЗ: $x^2 - 4 \ge 0 \implies x^2 \ge 4 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
2. Неравенство выполняется, если:
а) $\sqrt{x^2 - 4} = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = -2$ и $x = 2$. Эти точки являются решениями.
б) $\sqrt{x^2 - 4} > 0$ (то есть при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$) и $x^2 - x - 30 \le 0$. Решим квадратное неравенство $x^2 - x - 30 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 30 = 0$ по теореме Виета равны -5 и 6. $(x+5)(x-6) \le 0$. Решением является отрезок $[-5, 6]$.
3. Найдем пересечение решения $x \in [-5, 6]$ с условием $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.Пересечение дает нам два интервала: $[-5, -2)$ и $(2, 6]$.
4. Объединим все найденные решения:$\{-2, 2\} \cup [-5, -2) \cup (2, 6] = [-5, -2] \cup [2, 6]$.

Ответ: $x \in [-5, -2] \cup [2, 6]$.

в) Решим неравенство $(x^2 - 6x + 8)\sqrt{x^2 - 9} \ge 0$.
1. ОДЗ: $x^2 - 9 \ge 0 \implies x^2 \ge 9 \implies x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.
2. Неравенство выполняется, если:
а) $\sqrt{x^2 - 9} = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = -3$ и $x = 3$. Эти точки являются решениями.
б) $\sqrt{x^2 - 9} > 0$ (то есть при $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$) и $x^2 - 6x + 8 \ge 0$. Решим квадратное неравенство $x^2 - 6x + 8 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ по теореме Виета равны 2 и 4. $(x-2)(x-4) \ge 0$. Решением является объединение интервалов $(-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.
3. Найдем пересечение решения $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$ с условием $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$. Пересечение $(-\infty, 2]$ с $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$ дает $(-\infty, -3)$. Пересечение $[4, \infty)$ с $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$ дает $[4, \infty)$. Решение для этого случая: $(-\infty, -3) \cup [4, \infty)$.
4. Объединим все найденные решения:$\{-3, 3\} \cup ((-\infty, -3) \cup [4, \infty)) = (-\infty, -3] \cup \{3\} \cup [4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup \{3\} \cup [4, \infty)$.

г) Решим неравенство $(x^2 - x - 12)\sqrt{x^2 - 4} \ge 0$.
1. ОДЗ: $x^2 - 4 \ge 0 \implies x^2 \ge 4 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
2. Неравенство выполняется, если:
а) $\sqrt{x^2 - 4} = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = -2$ и $x = 2$. Эти точки являются решениями.
б) $\sqrt{x^2 - 4} > 0$ (то есть при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$) и $x^2 - x - 12 \ge 0$. Решим квадратное неравенство $x^2 - x - 12 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ по теореме Виета равны -3 и 4. $(x+3)(x-4) \ge 0$. Решением является объединение интервалов $(-\infty, -3] \cup [4, \infty)$.
3. Найдем пересечение решения $x \in (-\infty, -3] \cup [4, \infty)$ с условием $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$. Пересечение $(-\infty, -3]$ с $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ дает $(-\infty, -3]$. Пересечение $[4, \infty)$ с $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ дает $[4, \infty)$. Решение для этого случая: $(-\infty, -3] \cup [4, \infty)$.
4. Объединим все найденные решения:$\{-2, 2\} \cup ((-\infty, -3] \cup [4, \infty)) = (-\infty, -3] \cup \{-2\} \cup \{2\} \cup [4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup \{-2\} \cup \{2\} \cup [4, \infty)$.