Страница 306 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (12.1—12.7):

12.1 а) $|x - 1| = 2x + 4;$

б) $|x - 2| = 2x + 1;$

в) $|x - 1| + |x + 1| = 4;$

г) $|x - 3| + |x + 3| = 8;$

д) $|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| = 2;$

е) $|x + 1| + |x - 3| + |x - 5| = 7.$

а) $|x - 1| = 2x + 4$

Данное уравнение равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, а подмодульное выражение равно правой части или противоположно ей.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:
$2x + 4 \ge 0$
$2x \ge -4$
$x \ge -2$

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
Случай 1: $x - 1 = 2x + 4$
$x - 2x = 4 + 1$
$-x = 5$
$x = -5$
Этот корень не удовлетворяет условию ОДЗ ($x \ge -2$), поэтому он является посторонним.

Случай 2: $x - 1 = -(2x + 4)$
$x - 1 = -2x - 4$
$x + 2x = -4 + 1$
$3x = -3$
$x = -1$
Этот корень удовлетворяет условию ОДЗ ($x \ge -2$).

Проверка: $|-1 - 1| = 2(-1) + 4 \implies |-2| = -2 + 4 \implies 2 = 2$. Верно.

Ответ: $-1$.

б) $|x - 2| = 2x + 1$

Решаем аналогично предыдущему уравнению.

1. ОДЗ: $2x + 1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -0.5$.

2. Раскрываем модуль:
Случай 1: $x - 2 = 2x + 1$
$-x = 3$
$x = -3$
Корень $x = -3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \ge -0.5$).

Случай 2: $x - 2 = -(2x + 1)$
$x - 2 = -2x - 1$
$3x = 1$
$x = 1/3$
Корень $x = 1/3$ удовлетворяет ОДЗ ($1/3 \ge -0.5$).

Проверка: $|1/3 - 2| = 2(1/3) + 1 \implies |-5/3| = 2/3 + 1 \implies 5/3 = 5/3$. Верно.

Ответ: $1/3$.

в) $|x - 1| + |x + 1| = 4$

Для решения этого уравнения используем метод интервалов. Найдём точки, в которых выражения под модулями равны нулю: $x - 1 = 0 \implies x = 1$ и $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Эти точки делят числовую ось на три интервала.

1. Интервал $x < -1$. На этом интервале $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ и $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.
$(1-x) + (-x-1) = 4$
$-2x = 4$
$x = -2$
Значение $x=-2$ принадлежит интервалу $x < -1$, значит, это корень.

2. Интервал $-1 \le x < 1$. На этом интервале $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ и $|x+1| = x+1$.
$(1-x) + (x+1) = 4$
$2 = 4$
Получено неверное равенство, значит, на этом интервале корней нет.

3. Интервал $x \ge 1$. На этом интервале $|x-1| = x-1$ и $|x+1| = x+1$.
$(x-1) + (x+1) = 4$
$2x = 4$
$x = 2$
Значение $x=2$ принадлежит интервалу $x \ge 1$, значит, это корень.

Ответ: $-2; 2$.

г) $|x - 3| + |x + 3| = 8$

Используем метод интервалов. Нули подмодульных выражений: $x=3$ и $x=-3$.

1. Интервал $x < -3$. $|x-3| = -(x-3)$ и $|x+3| = -(x+3)$.
$-(x-3) - (x+3) = 8$
$-x+3-x-3 = 8$
$-2x = 8$
$x = -4$
Корень $x=-4$ принадлежит интервалу $x < -3$.

2. Интервал $-3 \le x < 3$. $|x-3| = -(x-3)$ и $|x+3| = x+3$.
$-(x-3) + (x+3) = 8$
$-x+3+x+3 = 8$
$6 = 8$
Корней на этом интервале нет.

3. Интервал $x \ge 3$. $|x-3| = x-3$ и $|x+3| = x+3$.
$(x-3) + (x+3) = 8$
$2x = 8$
$x = 4$
Корень $x=4$ принадлежит интервалу $x \ge 3$.

Ответ: $-4; 4$.

д) $|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| = 2$

Используем метод интервалов. Нули подмодульных выражений: $x=1, x=2, x=3$.

1. Интервал $x < 1$.
$-(x-1) - (x-2) - (x-3) = 2$
$-x+1-x+2-x+3 = 2$
$-3x+6 = 2 \implies -3x = -4 \implies x = 4/3$. Не принадлежит интервалу.

2. Интервал $1 \le x < 2$.
$(x-1) - (x-2) - (x-3) = 2$
$x-1-x+2-x+3 = 2$
$-x+4 = 2 \implies -x = -2 \implies x = 2$. Не принадлежит интервалу $1 \le x < 2$.

3. Интервал $2 \le x < 3$.
$(x-1) + (x-2) - (x-3) = 2$
$x-1+x-2-x+3 = 2$
$x = 2$
Значение $x=2$ принадлежит интервалу $2 \le x < 3$. Это корень.

4. Интервал $x \ge 3$.
$(x-1) + (x-2) + (x-3) = 2$
$3x-6 = 2 \implies 3x = 8 \implies x = 8/3$. Не принадлежит интервалу ($8/3 \approx 2.67$).

Ответ: $2$.

е) $|x + 1| + |x - 3| + |x - 5| = 7$

Используем метод интервалов. Нули подмодульных выражений: $x=-1, x=3, x=5$.

1. Интервал $x < -1$.
$-(x+1) - (x-3) - (x-5) = 7$
$-x-1-x+3-x+5 = 7$
$-3x+7=7 \implies -3x=0 \implies x=0$. Не принадлежит интервалу.

2. Интервал $-1 \le x < 3$.
$(x+1) - (x-3) - (x-5) = 7$
$x+1-x+3-x+5 = 7$
$-x+9=7 \implies -x=-2 \implies x=2$. Принадлежит интервалу, является корнем.

3. Интервал $3 \le x < 5$.
$(x+1) + (x-3) - (x-5) = 7$
$x+1+x-3-x+5 = 7$
$x+3=7 \implies x=4$. Принадлежит интервалу, является корнем.

4. Интервал $x \ge 5$.
$(x+1) + (x-3) + (x-5) = 7$
$3x-7=7 \implies 3x=14 \implies x=14/3$. Не принадлежит интервалу ($14/3 \approx 4.67$).

Ответ: $2; 4$.