Страница 301 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

11.53* a) $\sqrt{\sin^2 x + \sin 2x - 3\cos^2 x} > \cos x - \sin x$, $(\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4})$

б) $\sqrt{\sin^2 x - 2\sin 2x + 3\cos^2 x} > \sin x - \cos x$, $(\frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$

а)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{\sin^2 x + \sin 2x - 3\cos^2 x} > \cos x - \sin x$ на интервале $x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4})$.

Сначала преобразуем выражение под корнем:

$\sin^2 x + \sin 2x - 3\cos^2 x = \sin^2 x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x$.

Это выражение является однородным. Разложим его на множители. Для этого решим уравнение $\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$. Предполагая, что $\cos x \neq 0$, разделим обе части на $\cos^2 x$:

$\tan^2 x + 2\tan x - 3 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения относительно $\tan x$: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Следовательно, подкоренное выражение можно представить в виде:

$\cos^2 x (\tan^2 x + 2\tan x - 3) = \cos^2 x (\tan x - 1)(\tan x + 3) = (\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} - \cos x \cdot 1)(\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \cos x \cdot 3) = (\sin x - \cos x)(\sin x + 3\cos x)$.

Таким образом, исходное неравенство принимает вид:

$\sqrt{(\sin x - \cos x)(\sin x + 3\cos x)} > \cos x - \sin x$.

Теперь проанализируем знак правой части неравенства, $\cos x - \sin x$, на заданном интервале $(\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4})$. На этом интервале значения синуса больше значений косинуса, то есть $\sin x > \cos x$. Следовательно, $\cos x - \sin x < 0$.

Неравенство имеет вид "корень больше отрицательного числа". Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Любое неотрицательное число больше любого отрицательного. Поэтому неравенство будет верным для всех $x$ из данного интервала, для которых подкоренное выражение определено, то есть неотрицательно.

Нам нужно решить систему:

$\begin{cases} (\sin x - \cos x)(\sin x + 3\cos x) \ge 0 \\ x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}) \end{cases}$

Поскольку на интервале $(\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4})$ множитель $(\sin x - \cos x)$ строго положителен, то неравенство сводится к более простому:

$\sin x + 3\cos x \ge 0$.

Для решения разделим неравенство на $\cos x$, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\cos x$ на интервале $(\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4})$.

1. Если $x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$, то $\cos x \ge 0$. При делении на положительное число знак неравенства не меняется: $\tan x + 3 \ge 0 \implies \tan x \ge -3$. На интервале $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$ тангенс принимает значения от $1$ до $+\infty$, поэтому условие $\tan x \ge -3$ выполняется всегда. Значит, весь промежуток $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$ является решением.

2. Если $x \in (\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{4})$, то $\cos x < 0$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $\tan x + 3 \le 0 \implies \tan x \le -3$. Найдём корень уравнения $\tan x = -3$, лежащий во второй четверти: $x_0 = \arctan(-3) + \pi = \pi - \arctan(3)$. Так как функция $y=\tan x$ возрастает на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$, то решение неравенства $\tan x \le -3$ на этом интервале есть промежуток $(\frac{\pi}{2}; \pi - \arctan(3)]$. Этот промежуток входит в рассматриваемый нами $(\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{4})$.

Объединяя найденные решения, получаем: $x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}] \cup (\frac{\pi}{2}; \pi - \arctan(3)]$.

Окончательное решение: $x \in (\frac{\pi}{4}; \pi - \arctan(3)]$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4}, \pi - \arctan(3)]$.

б)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{\sin^2 x - 2\sin 2x + 3\cos^2 x} > \sin x - \cos x$ на интервале $x \in (\frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$.

Преобразуем подкоренное выражение:

$\sin^2 x - 2\sin 2x + 3\cos^2 x = \sin^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x$.

Разложим это однородное выражение на множители. Решим уравнение $\tan^2 x - 4\tan x + 3 = 0$ (при $\cos x \neq 0$).

Корни этого уравнения: $\tan x = 1$ и $\tan x = 3$.

Следовательно, подкоренное выражение можно записать как:

$\cos^2 x (\tan x - 1)(\tan x - 3) = (\sin x - \cos x)(\sin x - 3\cos x)$.

Неравенство принимает вид:

$\sqrt{(\sin x - \cos x)(\sin x - 3\cos x)} > \sin x - \cos x$.

Проанализируем знак правой части неравенства, $\sin x - \cos x$, на заданном интервале $(\frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$. Этот интервал соответствует IV и I координатным четвертям (от $225^\circ$ до $405^\circ$), где $\cos x > \sin x$. Следовательно, $\sin x - \cos x < 0$.

Так как правая часть неравенства отрицательна, а левая (корень) неотрицательна, неравенство будет верным для всех $x$, для которых оно определено, то есть для которых подкоренное выражение неотрицательно.

Решим условие $(\sin x - \cos x)(\sin x - 3\cos x) \ge 0$ на интервале $(\frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$.

Поскольку на этом интервале множитель $(\sin x - \cos x)$ строго отрицателен, неравенство эквивалентно следующему:

$\sin x - 3\cos x \le 0$.

Разделим неравенство на $\cos x$, который на интервале $(\frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$ меняет знак.

1. Если $x \in (\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{2})$, то $\cos x < 0$. Знак неравенства меняется: $\tan x - 3 \ge 0 \implies \tan x \ge 3$. На интервале $(\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{2})$ тангенс возрастает от $1$ до $+\infty$. Решением уравнения $\tan x = 3$ в третьей четверти является $x_0 = \pi + \arctan(3)$. Таким образом, решением неравенства будет промежуток $[\pi + \arctan(3); \frac{3\pi}{2})$.

2. Если $x = \frac{3\pi}{2}$, то неравенство $\sin x - 3\cos x \le 0$ превращается в $-1 - 3 \cdot 0 \le 0$, что верно. Значит, $x = \frac{3\pi}{2}$ является решением.

3. Если $x \in (\frac{3\pi}{2}; \frac{9\pi}{4})$, то $\cos x > 0$. Знак неравенства сохраняется: $\tan x - 3 \le 0 \implies \tan x \le 3$. На этом промежутке тангенс сначала отрицателен (IV четверть), а затем возрастает от $0$ до $1$ (I четверть до $\frac{9\pi}{4}$). Так как $\tan x$ на этом промежутке не превышает 1, то условие $\tan x \le 3$ выполняется всегда. Следовательно, весь промежуток $(\frac{3\pi}{2}; \frac{9\pi}{4})$ является решением.

Объединяя найденные решения, получаем: $x \in [\pi + \arctan(3); \frac{3\pi}{2}) \cup \{\frac{3\pi}{2}\} \cup (\frac{3\pi}{2}; \frac{9\pi}{4})$.

Окончательное решение: $x \in [\pi + \arctan(3); \frac{9\pi}{4})$.

Ответ: $x \in [\pi + \arctan(3), \frac{9\pi}{4})$.

11.54* a) $ \cos 3x > |\cos x| $, $ \left[ -\frac{5\pi}{6}; \frac{5\pi}{6} \right] $

б) $ \sin 3x > |\sin x| $, $ \left[ -\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] $

а) Решим неравенство $\cos 3x > |\cos x|$ на отрезке $[-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $\cos x$.
1. Пусть $\cos x \ge 0$. На заданном отрезке $[-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ это условие выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и неравенство принимает вид:
$\cos 3x > \cos x$
$\cos 3x - \cos x > 0$
Воспользуемся формулой разности косинусов: $-2\sin(\frac{3x+x}{2})\sin(\frac{3x-x}{2}) > 0$
$-2\sin(2x)\sin(x) > 0$
$\sin(2x)\sin(x) < 0$
Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$:
$2\sin^2(x)\cos(x) < 0$
Поскольку $\sin^2(x) \ge 0$, это неравенство равносильно системе:$\begin{cases} \cos x < 0 \\ \sin x \neq 0 \end{cases}$
Однако мы рассматриваем промежуток $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, на котором $\cos x \ge 0$. Следовательно, в этом случае решений нет.
2. Пусть $\cos x < 0$. На заданном отрезке $[-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ это условие выполняется для $x \in [-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}]$. В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и неравенство принимает вид:
$\cos 3x > -\cos x$
$\cos 3x + \cos x > 0$
Воспользуемся формулой суммы косинусов: $2\cos(\frac{3x+x}{2})\cos(\frac{3x-x}{2}) > 0$
$2\cos(2x)\cos(x) > 0$
$\cos(2x)\cos(x) > 0$
Поскольку в этом случае мы рассматриваем $x$, для которых $\cos x < 0$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы $\cos(2x) < 0$.
Решим неравенство $\cos(2x) < 0$:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{3\pi}{4} + \pi k$
При $k=0$ получаем интервал $(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$.
При $k=-1$ получаем интервал $(-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4})$.
Теперь найдем пересечение этих интервалов с множеством $x \in [-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}]$:
Пересечение $(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ с $(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}]$ дает $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$.
Пересечение $(-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4})$ с $[-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2})$ дает $(-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{2})$.
Объединяя результаты, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$.

б) Решим неравенство $\sin 3x > |\sin x|$ на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $\sin x$.
На отрезке $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, $\sin x \ge 0$ при $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\pi] \cup [0, \frac{\pi}{2}]$, и $\sin x < 0$ при $x \in (-\pi, 0)$.
1. Пусть $\sin x \ge 0$, то есть $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\pi] \cup [0, \frac{\pi}{2}]$. В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и неравенство принимает вид:
$\sin 3x > \sin x$
$\sin 3x - \sin x > 0$
Воспользуемся формулой разности синусов: $2\sin(\frac{3x-x}{2})\cos(\frac{3x+x}{2}) > 0$
$2\sin(x)\cos(2x) > 0$
$\sin(x)\cos(2x) > 0$
Поскольку мы рассматриваем случай $\sin x \ge 0$, для выполнения неравенства нужно, чтобы $\sin x > 0$ и $\cos(2x) > 0$.
Условие $\sin x > 0$ на нашем множестве выполняется при $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\pi) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$.
Решим неравенство $\cos(2x) > 0$:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$-\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k$
При $k=0$ получаем $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$.
При $k=-1$ получаем $(-\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4})$.
Найдем пересечение этих интервалов с множеством $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\pi) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$:
Пересечение $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ с $(0, \frac{\pi}{2}]$ дает $(0, \frac{\pi}{4})$.
Пересечение $(-\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4})$ с $[-\frac{3\pi}{2}, -\pi)$ дает $(-\frac{5\pi}{4}, -\pi)$.
Решение в этом случае: $(-\frac{5\pi}{4}, -\pi) \cup (0, \frac{\pi}{4})$.
2. Пусть $\sin x < 0$, то есть $x \in (-\pi, 0)$. В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и неравенство принимает вид:
$\sin 3x > -\sin x$
$\sin 3x + \sin x > 0$
Воспользуемся формулой суммы синусов: $2\sin(\frac{3x+x}{2})\cos(\frac{3x-x}{2}) > 0$
$2\sin(2x)\cos(x) > 0$
Применим формулу синуса двойного угла: $2(2\sin x \cos x)\cos x > 0$
$4\sin x \cos^2 x > 0$
На рассматриваемом промежутке $(-\pi, 0)$ имеем $\sin x < 0$. Величина $\cos^2 x \ge 0$.
Следовательно, произведение $4\sin x \cos^2 x$ будет меньше либо равно нулю. Неравенство $4\sin x \cos^2 x > 0$ не может выполняться.
Значит, в этом случае решений нет.
Объединяя результаты из двух случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{4}, -\pi) \cup (0, \frac{\pi}{4})$.