Страница 297 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (11.34—11.46):

11.34 а) $\sqrt{x-2} > \sqrt[3]{x^2 + x\sqrt{x} - 2x + 12\sqrt{x} - 13}$;

б) $\sqrt{x+1} > \sqrt[3]{x^2 + x\sqrt{x} + x + 3\sqrt{x} - 7}$.

a)

Определим область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Наличие выражения $\sqrt{x}$ требует, чтобы $x \ge 0$.

Для упрощения неравенства введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку $x \ge 0$, то и $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$ и $x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3 = t^3$. Подставим это в исходное неравенство:

$t - 2 > \sqrt[3]{(t^2)^2 + t^3 - 2t^2 + 12t - 13}$

$t - 2 > \sqrt[3]{t^4 + t^3 - 2t^2 + 12t - 13}$

Возведем обе части неравенства в третью степень. Так как функция $y=z^3$ является строго возрастающей на всей числовой оси, знак неравенства при этом сохраняется:

$(t - 2)^3 > t^4 + t^3 - 2t^2 + 12t - 13$

Раскроем скобки в левой части по формуле куба разности и приведем подобные слагаемые:

$t^3 - 6t^2 + 12t - 8 > t^4 + t^3 - 2t^2 + 12t - 13$

$0 > t^4 + (t^3 - t^3) + (-2t^2 + 6t^2) + (12t - 12t) + (-13 + 8)$

$0 > t^4 + 4t^2 - 5$

Мы получили биквадратное неравенство $t^4 + 4t^2 - 5 < 0$. Для его решения сделаем еще одну замену: $u = t^2$. С учетом того, что $t \ge 0$, имеем $u \ge 0$.

$u^2 + 4u - 5 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $u^2 + 4u - 5 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $u_1 = 1$ и $u_2 = -5$. Разложим на множители: $(u - 1)(u + 5) < 0$.

Решением этого неравенства является интервал $-5 < u < 1$.

Теперь учтем ограничение $u \ge 0$. Пересечение множеств $(-5, 1)$ и $[0, +\infty)$ дает нам $0 \le u < 1$.

Произведем обратную замену $u = t^2$:

$0 \le t^2 < 1$

Неравенство $t^2 \ge 0$ верно для любого действительного $t$. Неравенство $t^2 < 1$ равносильно $-1 < t < 1$. Учитывая ограничение $t \ge 0$, получаем $0 \le t < 1$.

Наконец, вернемся к исходной переменной $x$, зная что $t = \sqrt{x}$:

$0 \le \sqrt{x} < 1$

Возведем все части этого двойного неравенства в квадрат, чтобы найти $x$:

$0^2 \le (\sqrt{x})^2 < 1^2$

$0 \le x < 1$

Это решение полностью входит в ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x \in [0, 1)$.

б)

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется условием $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$ и $x\sqrt{x} = t^3$. Неравенство преобразуется к виду:

$t + 1 > \sqrt[3]{(t^2)^2 + t^3 + t^2 + 3t - 7}$

$t + 1 > \sqrt[3]{t^4 + t^3 + t^2 + 3t - 7}$

Возведем обе части неравенства в куб. Знак неравенства при этом не изменится:

$(t + 1)^3 > t^4 + t^3 + t^2 + 3t - 7$

Раскроем скобки в левой части по формуле куба суммы и упростим полученное выражение:

$t^3 + 3t^2 + 3t + 1 > t^4 + t^3 + t^2 + 3t - 7$

$0 > t^4 + (t^3 - t^3) + (t^2 - 3t^2) + (3t - 3t) + (-7 - 1)$

$0 > t^4 - 2t^2 - 8$

Решим полученное биквадратное неравенство $t^4 - 2t^2 - 8 < 0$. Введем замену $u = t^2$, где $u \ge 0$.

$u^2 - 2u - 8 < 0$

Найдем корни уравнения $u^2 - 2u - 8 = 0$. По теореме Виета, это $u_1 = 4$ и $u_2 = -2$. Неравенство можно представить в виде $(u - 4)(u + 2) < 0$.

Решением этого неравенства является интервал $-2 < u < 4$.

Применяя ограничение $u \ge 0$, находим пересечение множеств $(-2, 4)$ и $[0, +\infty)$, что дает $0 \le u < 4$.

Выполним обратную замену $u = t^2$:

$0 \le t^2 < 4$

Решением неравенства $t^2 < 4$ является $-2 < t < 2$. С учетом условия $t \ge 0$, получаем $0 \le t < 2$.

Вернемся к исходной переменной $x$ ($t = \sqrt{x}$):

$0 \le \sqrt{x} < 2$

Для нахождения $x$ возведем все части в квадрат:

$0^2 \le (\sqrt{x})^2 < 2^2$

$0 \le x < 4$

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x \in [0, 4)$.

11.35 a) $3\sqrt{\frac{x-1}{x-4}} - \sqrt{\frac{x-4}{x-1}} < \frac{5}{\sqrt{(x-4)(x-1)}};$

б) $4\sqrt{\frac{x+2}{x+3}} + \sqrt{\frac{x+3}{x+2}} > \frac{9}{\sqrt{(x+2)(x+3)}}.$

Исходное неравенство:

$$3\sqrt{\frac{x-1}{x-4}} - \sqrt{\frac{x-4}{x-1}} < \frac{5}{\sqrt{(x-4)(x-1)}}$$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны равняться нулю. Все эти условия сводятся к одному неравенству:

$$(x-4)(x-1) > 0$$

Решая это квадратичное неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$. Это и есть ОДЗ.

2. Преобразуем неравенство. Умножим обе части неравенства на $\sqrt{(x-4)(x-1)}$. На ОДЗ этот множитель строго положителен, поэтому знак неравенства не изменится.

$$3\sqrt{\frac{x-1}{x-4}} \cdot \sqrt{(x-4)(x-1)} - \sqrt{\frac{x-4}{x-1}} \cdot \sqrt{(x-4)(x-1)} < 5$$

Используя свойства корней $\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt{ab} = \sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$$3|x-1| - |x-4| < 5$$

3. Решим полученное неравенство с модулями, учитывая ОДЗ.

Рассмотрим два случая согласно ОДЗ.

Случай 1: $x \in (4, \infty)$.

В этом интервале $x-1 > 0$ и $x-4 > 0$, поэтому модули раскрываются со знаком плюс: $|x-1| = x-1$ и $|x-4| = x-4$.

$$3(x-1) - (x-4) < 5$$

$$3x - 3 - x + 4 < 5$$

$$2x + 1 < 5$$

$$2x < 4$$

$$x < 2$$

Пересекая полученное решение $x < 2$ с условием $x > 4$, получаем пустое множество, $x \in \emptyset$.

Случай 2: $x \in (-\infty, 1)$.

В этом интервале $x-1 < 0$ и $x-4 < 0$, поэтому модули раскрываются со знаком минус: $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ и $|x-4| = -(x-4) = 4-x$.

$$3(1-x) - (4-x) < 5$$

$$3 - 3x - 4 + x < 5$$

$$-2x - 1 < 5$$

$$-2x < 6$$

$$x > -3$$

Пересекая полученное решение $x > -3$ с условием $x < 1$, получаем интервал $x \in (-3, 1)$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-3, 1)$.

Исходное неравенство:

$$4\sqrt{\frac{x+2}{x+3}} + \sqrt{\frac{x+3}{x+2}} > \frac{9}{\sqrt{(x+2)(x+3)}}$$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аналогично предыдущему заданию, необходимо, чтобы подкоренное выражение в знаменателе было строго положительным:

$$(x+2)(x+3) > 0$$

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -3) \cup (-2, \infty)$.

2. Умножим обе части неравенства на положительное на ОДЗ выражение $\sqrt{(x+2)(x+3)}$.

$$4\sqrt{\frac{x+2}{x+3}}\sqrt{(x+2)(x+3)} + \sqrt{\frac{x+3}{x+2}}\sqrt{(x+2)(x+3)} > 9$$

Упрощая левую часть, получаем неравенство с модулями:

$$4\sqrt{(x+2)^2} + \sqrt{(x+3)^2} > 9$$

$$4|x+2| + |x+3| > 9$$

3. Решим это неравенство на ОДЗ.

Случай 1: $x \in (-2, \infty)$.

На этом интервале $x+2 > 0$ и $x+3 > 0$.

$$4(x+2) + (x+3) > 9$$

$$4x + 8 + x + 3 > 9$$

$$5x + 11 > 9$$

$$5x > -2$$

$$x > -0.4$$

Пересечение $x > -0.4$ с $x > -2$ дает $x \in (-0.4, \infty)$.

Случай 2: $x \in (-\infty, -3)$.

На этом интервале $x+2 < 0$ и $x+3 < 0$.

$$4(-(x+2)) + (-(x+3)) > 9$$

$$-4x - 8 - x - 3 > 9$$

$$-5x - 11 > 9$$

$$-5x > 20$$

$$x < -4$$

Пересечение $x < -4$ с $x < -3$ дает $x \in (-\infty, -4)$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-0.4, \infty)$.

11.36 a) $(\frac{1}{25})^{\frac{2x-5}{2}} > (\frac{1}{5})^{\sqrt{6x^2 - 31x + 25}};$

б) $(\frac{1}{36})^{x-3} < (\frac{1}{6})^{\sqrt{5x^2 - 41x + 36}}.$

а) $(\frac{1}{25})^{\frac{2x-5}{2}} > (\frac{1}{5})^{\sqrt{6x^2 - 31x + 25}}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{1}{5}$. Так как $\frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2$, получаем:

$((\frac{1}{5})^2)^{\frac{2x-5}{2}} > (\frac{1}{5})^{\sqrt{6x^2 - 31x + 25}}$

$(\frac{1}{5})^{2 \cdot \frac{2x-5}{2}} > (\frac{1}{5})^{\sqrt{6x^2 - 31x + 25}}$

$(\frac{1}{5})^{2x-5} > (\frac{1}{5})^{\sqrt{6x^2 - 31x + 25}}$

Так как основание степени $a = \frac{1}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$2x-5 < \sqrt{6x^2 - 31x + 25}$

Данное иррациональное неравенство вида $f(x) < \sqrt{g(x)}$ равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} 2x - 5 < 0 \\ 6x^2 - 31x + 25 \ge 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - 5 \ge 0 \\ (2x - 5)^2 < 6x^2 - 31x + 25 \end{cases}$

Решим каждую систему по отдельности.

Для системы 1:

Первое неравенство: $2x < 5 \implies x < 2.5$.

Второе неравенство: $6x^2 - 31x + 25 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $6x^2 - 31x + 25 = 0$.
Дискриминант $D = (-31)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 25 = 961 - 600 = 361 = 19^2$.
Корни: $x_1 = \frac{31 - 19}{12} = \frac{12}{12} = 1$; $x_2 = \frac{31 + 19}{12} = \frac{50}{12} = \frac{25}{6}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решением неравенства является $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{25}{6}, +\infty)$.

Найдем пересечение решений системы 1: $x < 2.5$ и $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{25}{6}, +\infty)$.
Так как $\frac{25}{6} \approx 4.17$, пересечением будет интервал $x \in (-\infty, 1]$.

Для системы 2:

Первое неравенство: $2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$.

Второе неравенство: $(2x - 5)^2 < 6x^2 - 31x + 25$.
$4x^2 - 20x + 25 < 6x^2 - 31x + 25$
$0 < 2x^2 - 11x$
$x(2x - 11) > 0$
Корни $x=0$ и $x = \frac{11}{2} = 5.5$.
Решением неравенства является $x \in (-\infty, 0) \cup (5.5, +\infty)$.

Найдем пересечение решений системы 2: $x \ge 2.5$ и $x \in (-\infty, 0) \cup (5.5, +\infty)$.
Пересечением будет интервал $x \in (5.5, +\infty)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений двух систем:

$(-\infty, 1] \cup (5.5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup (\frac{11}{2}, +\infty)$.

б) $(\frac{1}{36})^{x-3} < (\frac{1}{6})^{\sqrt{5x^2 - 41x + 36}}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{1}{6}$. Так как $\frac{1}{36} = (\frac{1}{6})^2$, получаем:

$((\frac{1}{6})^2)^{x-3} < (\frac{1}{6})^{\sqrt{5x^2 - 41x + 36}}$

$(\frac{1}{6})^{2(x-3)} < (\frac{1}{6})^{\sqrt{5x^2 - 41x + 36}}$

$(\frac{1}{6})^{2x-6} < (\frac{1}{6})^{\sqrt{5x^2 - 41x + 36}}$

Так как основание степени $a = \frac{1}{6}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$2x-6 > \sqrt{5x^2 - 41x + 36}$

Данное иррациональное неравенство вида $f(x) > \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > 0 \\ (f(x))^2 > g(x) \end{cases}$

В нашем случае система выглядит так:

$\begin{cases} 5x^2 - 41x + 36 \ge 0 & (1) \\ 2x - 6 > 0 & (2) \\ (2x - 6)^2 > 5x^2 - 41x + 36 & (3) \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

Неравенство (1): $5x^2 - 41x + 36 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - 41x + 36 = 0$.
Дискриминант $D = (-41)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 36 = 1681 - 720 = 961 = 31^2$.
Корни: $x_1 = \frac{41 - 31}{10} = \frac{10}{10} = 1$; $x_2 = \frac{41 + 31}{10} = \frac{72}{10} = 7.2$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решением неравенства является $x \in (-\infty, 1] \cup [7.2, +\infty)$.

Неравенство (2): $2x - 6 > 0 \implies 2x > 6 \implies x > 3$.

Неравенство (3): $(2x - 6)^2 > 5x^2 - 41x + 36$.
$4x^2 - 24x + 36 > 5x^2 - 41x + 36$
$0 > x^2 - 17x$
$x^2 - 17x < 0$
$x(x-17) < 0$
Корни $x=0$ и $x=17$. Решением неравенства является интервал $x \in (0, 17)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств:
Решение (1): $x \in (-\infty, 1] \cup [7.2, +\infty)$
Решение (2): $x \in (3, +\infty)$
Решение (3): $x \in (0, 17)$
Пересечение решений (2) и (3) дает интервал $(3, 17)$.
Теперь пересечем этот результат с решением (1):
$x \in (3, 17) \cap ((-\infty, 1] \cup [7.2, +\infty))$.
Пересечением является интервал $[7.2, 17)$.

Ответ: $x \in [\frac{36}{5}, 17)$.

11.37 а) $\frac{\sqrt{13x + 25}}{|x - 2|} > \frac{\sqrt{11x + 23}}{|x - 2|};$

б) $\frac{\sqrt{9x + 45}}{|x + 2|} < \frac{\sqrt{7x + 15}}{|x + 2|}.$

а) Решим неравенство $ \frac{\sqrt{13x + 25}}{|x - 2|} > \frac{\sqrt{11x + 23}}{|x - 2|} $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен равняться нулю.

$ \begin{cases} 13x + 25 \ge 0 \\ 11x + 23 \ge 0 \\ |x - 2| \ne 0 \end{cases} $

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 13x \ge -25 \\ 11x \ge -23 \\ x \ne 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{25}{13} \\ x \ge -\frac{23}{11} \\ x \ne 2 \end{cases} $

Сравним дроби $-\frac{25}{13}$ и $-\frac{23}{11}$. Так как $-\frac{25}{13} \approx -1.92$ и $-\frac{23}{11} \approx -2.09$, то $-\frac{25}{13} > -\frac{23}{11}$. Следовательно, наиболее строгое ограничение — это $x \ge -\frac{25}{13}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-\frac{25}{13}, 2) \cup (2, \infty)$.

Поскольку в ОДЗ знаменатель $|x - 2|$ строго положителен, мы можем умножить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства:

$ \sqrt{13x + 25} > \sqrt{11x + 23} $

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$ 13x + 25 > 11x + 23 $

$ 13x - 11x > 23 - 25 $

$ 2x > -2 $

$ x > -1 $

Теперь найдем пересечение полученного решения $x > -1$ с ОДЗ $x \in [-\frac{25}{13}, 2) \cup (2, \infty)$. Поскольку $-1 > -\frac{25}{13}$, решение должно удовлетворять условиям $x > -1$ и $x \ne 2$.

Ответ: $x \in (-1, 2) \cup (2, \infty)$.

б) Решим неравенство $ \frac{\sqrt{9x + 45}}{|x + 2|} < \frac{\sqrt{7x + 15}}{|x + 2|} $.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 9x + 45 \ge 0 \\ 7x + 15 \ge 0 \\ |x + 2| \ne 0 \end{cases} $

Решим систему:

$ \begin{cases} 9x \ge -45 \\ 7x \ge -15 \\ x \ne -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \ge -\frac{15}{7} \\ x \ne -2 \end{cases} $

Сравним $-5$ и $-\frac{15}{7}$. Так как $-\frac{15}{7} \approx -2.14$, то $-\frac{15}{7} > -5$. Следовательно, более строгим является условие $x \ge -\frac{15}{7}$.

Значение $x = -2$ удовлетворяет условию $x \ge -\frac{15}{7}$ (так как $-2 = -\frac{14}{7} > -\frac{15}{7}$), поэтому его нужно исключить отдельно.

ОДЗ: $x \in [-\frac{15}{7}, -2) \cup (-2, \infty)$.

Умножим обе части неравенства на строго положительный в ОДЗ знаменатель $|x + 2|$:

$ \sqrt{9x + 45} < \sqrt{7x + 15} $

Возведем обе неотрицательные части в квадрат:

$ 9x + 45 < 7x + 15 $

$ 9x - 7x < 15 - 45 $

$ 2x < -30 $

$ x < -15 $

Теперь найдем пересечение множества решений $x < -15$ с областью допустимых значений $x \in [-\frac{15}{7}, -2) \cup (-2, \infty)$.

Так как наименьшее значение в ОДЗ равно $-\frac{15}{7} \approx -2.14$, а все решения неравенства $x < -15$ находятся левее этой точки, то пересечение этих множеств пустое.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

11.38 a) $\frac{|x^2 - 5x + 4|}{|x^2 - 4|} < 1;$

б) $\frac{|x^2 - 10x + 9|}{|x^2 - 9|} > 1.$

а)

Дано неравенство: $ \frac{|x^2 - 5x + 4|}{|x^2 - 4|} < 1 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $ |x^2 - 4| \neq 0 $, что означает $ x^2 - 4 \neq 0 $, откуда $ x^2 \neq 4 $, то есть $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.

2. Так как модуль числа всегда неотрицателен, а в данном случае знаменатель не равен нулю, то $ |x^2 - 4| > 0 $ при всех $ x $ из ОДЗ. Мы можем умножить обе части неравенства на знаменатель, не меняя знака неравенства: $ |x^2 - 5x + 4| < |x^2 - 4| $

3. Неравенство вида $ |a| < |b| $ равносильно неравенству $ a^2 < b^2 $. Возведем обе части в квадрат: $ (x^2 - 5x + 4)^2 < (x^2 - 4)^2 $

4. Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулу разности квадратов $ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) $: $ (x^2 - 5x + 4)^2 - (x^2 - 4)^2 < 0 $ $ ((x^2 - 5x + 4) - (x^2 - 4))((x^2 - 5x + 4) + (x^2 - 4)) < 0 $

5. Упростим выражения в каждой скобке: $ (x^2 - 5x + 4 - x^2 + 4)(x^2 - 5x + 4 + x^2 - 4) < 0 $ $ (-5x + 8)(2x^2 - 5x) < 0 $

6. Вынесем общие множители за скобки: $ -(5x - 8) \cdot x(2x - 5) < 0 $ Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $ x(5x - 8)(2x - 5) > 0 $

7. Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части, приравняв каждый множитель к нулю: $ x = 0 $ $ 5x - 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{5} $ $ 2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2} $

8. Отметим корни $ 0 $, $ \frac{8}{5} $ (что равно 1.6) и $ \frac{5}{2} $ (что равно 2.5) на числовой прямой. Они разбивают ее на четыре интервала. Определим знаки выражения $ x(5x - 8)(2x - 5) $ в этих интервалах. При $ x > \frac{5}{2} $ все множители положительны, следовательно, произведение положительно. При переходе через каждый корень нечетной кратности знак произведения меняется. Знаки на интервалах $ (-\infty; 0) $, $ (0; \frac{8}{5}) $, $ (\frac{8}{5}; \frac{5}{2}) $, $ (\frac{5}{2}; +\infty) $ будут чередоваться: $ -, +, -, + $. Нам нужно найти, где выражение больше нуля, поэтому выбираем интервалы со знаком "+": $ (0; \frac{8}{5}) \cup (\frac{5}{2}; +\infty) $.

9. Сопоставим полученное решение с ОДЗ ($ x \neq \pm 2 $). Точка $ x = 2 $ не входит в найденные интервалы $ (0; 1.6) $ и $ (2.5; +\infty) $. Точка $ x = -2 $ также не входит в решение. Следовательно, ОДЗ не вносит изменений в ответ.

Ответ: $ (0; \frac{8}{5}) \cup (\frac{5}{2}; +\infty) $

б)

Дано неравенство: $ \frac{|x^2 - 10x + 9|}{|x^2 - 9|} > 1 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю: $ |x^2 - 9| \neq 0 $, что означает $ x^2 - 9 \neq 0 $, откуда $ x^2 \neq 9 $, то есть $ x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $.

2. Так как $ |x^2 - 9| > 0 $ при всех $ x $ из ОДЗ, умножим обе части неравенства на знаменатель: $ |x^2 - 10x + 9| > |x^2 - 9| $

3. Неравенство вида $ |a| > |b| $ равносильно неравенству $ a^2 > b^2 $. Возведем обе части в квадрат: $ (x^2 - 10x + 9)^2 > (x^2 - 9)^2 $

4. Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов $ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) $: $ (x^2 - 10x + 9)^2 - (x^2 - 9)^2 > 0 $ $ ((x^2 - 10x + 9) - (x^2 - 9))((x^2 - 10x + 9) + (x^2 - 9)) > 0 $

5. Упростим выражения в скобках: $ (x^2 - 10x + 9 - x^2 + 9)(x^2 - 10x + 9 + x^2 - 9) > 0 $ $ (-10x + 18)(2x^2 - 10x) > 0 $

6. Вынесем общие множители: $ -2(5x - 9) \cdot 2x(x - 5) > 0 $ $ -4x(5x - 9)(x - 5) > 0 $ Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства на противоположный: $ x(5x - 9)(x - 5) < 0 $

7. Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части: $ x = 0 $ $ 5x - 9 = 0 \Rightarrow x = \frac{9}{5} $ $ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 $

8. Отметим корни $ 0 $, $ \frac{9}{5} $ (что равно 1.8) и $ 5 $ на числовой прямой. Они разбивают ее на четыре интервала. Определим знаки выражения $ x(5x - 9)(x - 5) $ в этих интервалах. При $ x > 5 $ все множители положительны, и произведение положительно. Знаки на интервалах чередуются: $ -, +, -, + $. Нам нужно найти, где выражение меньше нуля, поэтому выбираем интервалы со знаком "-": $ (-\infty; 0) \cup (\frac{9}{5}; 5) $.

9. Сопоставим полученное решение с ОДЗ ($ x \neq \pm 3 $). Точка $ x = -3 $ принадлежит интервалу $ (-\infty; 0) $, поэтому ее необходимо исключить. Точка $ x = 3 $ принадлежит интервалу $ (\frac{9}{5}; 5) $ (так как $ 1.8 < 3 < 5 $), поэтому ее также необходимо исключить. Исключение этих точек разбивает полученные интервалы на части.

Ответ: $ (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (\frac{9}{5}; 3) \cup (3; 5) $