Номер 11.38, страница 297 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.38, страница 297.

Условие.

11.38 a) $\frac{|x^2 - 5x + 4|}{|x^2 - 4|} < 1;$

б) $\frac{|x^2 - 10x + 9|}{|x^2 - 9|} > 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано неравенство: $ \frac{|x^2 - 5x + 4|}{|x^2 - 4|} < 1 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $ |x^2 - 4| \neq 0 $, что означает $ x^2 - 4 \neq 0 $, откуда $ x^2 \neq 4 $, то есть $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.

2. Так как модуль числа всегда неотрицателен, а в данном случае знаменатель не равен нулю, то $ |x^2 - 4| > 0 $ при всех $ x $ из ОДЗ. Мы можем умножить обе части неравенства на знаменатель, не меняя знака неравенства: $ |x^2 - 5x + 4| < |x^2 - 4| $

3. Неравенство вида $ |a| < |b| $ равносильно неравенству $ a^2 < b^2 $. Возведем обе части в квадрат: $ (x^2 - 5x + 4)^2 < (x^2 - 4)^2 $

4. Перенесем все слагаемые в левую часть и применим формулу разности квадратов $ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) $: $ (x^2 - 5x + 4)^2 - (x^2 - 4)^2 < 0 $ $ ((x^2 - 5x + 4) - (x^2 - 4))((x^2 - 5x + 4) + (x^2 - 4)) < 0 $

5. Упростим выражения в каждой скобке: $ (x^2 - 5x + 4 - x^2 + 4)(x^2 - 5x + 4 + x^2 - 4) < 0 $ $ (-5x + 8)(2x^2 - 5x) < 0 $

6. Вынесем общие множители за скобки: $ -(5x - 8) \cdot x(2x - 5) < 0 $ Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $ x(5x - 8)(2x - 5) > 0 $

7. Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части, приравняв каждый множитель к нулю: $ x = 0 $ $ 5x - 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{5} $ $ 2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2} $

8. Отметим корни $ 0 $, $ \frac{8}{5} $ (что равно 1.6) и $ \frac{5}{2} $ (что равно 2.5) на числовой прямой. Они разбивают ее на четыре интервала. Определим знаки выражения $ x(5x - 8)(2x - 5) $ в этих интервалах. При $ x > \frac{5}{2} $ все множители положительны, следовательно, произведение положительно. При переходе через каждый корень нечетной кратности знак произведения меняется. Знаки на интервалах $ (-\infty; 0) $, $ (0; \frac{8}{5}) $, $ (\frac{8}{5}; \frac{5}{2}) $, $ (\frac{5}{2}; +\infty) $ будут чередоваться: $ -, +, -, + $. Нам нужно найти, где выражение больше нуля, поэтому выбираем интервалы со знаком "+": $ (0; \frac{8}{5}) \cup (\frac{5}{2}; +\infty) $.

9. Сопоставим полученное решение с ОДЗ ($ x \neq \pm 2 $). Точка $ x = 2 $ не входит в найденные интервалы $ (0; 1.6) $ и $ (2.5; +\infty) $. Точка $ x = -2 $ также не входит в решение. Следовательно, ОДЗ не вносит изменений в ответ.

Ответ: $ (0; \frac{8}{5}) \cup (\frac{5}{2}; +\infty) $

б)

Дано неравенство: $ \frac{|x^2 - 10x + 9|}{|x^2 - 9|} > 1 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю: $ |x^2 - 9| \neq 0 $, что означает $ x^2 - 9 \neq 0 $, откуда $ x^2 \neq 9 $, то есть $ x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $.

2. Так как $ |x^2 - 9| > 0 $ при всех $ x $ из ОДЗ, умножим обе части неравенства на знаменатель: $ |x^2 - 10x + 9| > |x^2 - 9| $

3. Неравенство вида $ |a| > |b| $ равносильно неравенству $ a^2 > b^2 $. Возведем обе части в квадрат: $ (x^2 - 10x + 9)^2 > (x^2 - 9)^2 $

4. Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов $ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) $: $ (x^2 - 10x + 9)^2 - (x^2 - 9)^2 > 0 $ $ ((x^2 - 10x + 9) - (x^2 - 9))((x^2 - 10x + 9) + (x^2 - 9)) > 0 $

5. Упростим выражения в скобках: $ (x^2 - 10x + 9 - x^2 + 9)(x^2 - 10x + 9 + x^2 - 9) > 0 $ $ (-10x + 18)(2x^2 - 10x) > 0 $

6. Вынесем общие множители: $ -2(5x - 9) \cdot 2x(x - 5) > 0 $ $ -4x(5x - 9)(x - 5) > 0 $ Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства на противоположный: $ x(5x - 9)(x - 5) < 0 $

7. Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части: $ x = 0 $ $ 5x - 9 = 0 \Rightarrow x = \frac{9}{5} $ $ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 $

8. Отметим корни $ 0 $, $ \frac{9}{5} $ (что равно 1.8) и $ 5 $ на числовой прямой. Они разбивают ее на четыре интервала. Определим знаки выражения $ x(5x - 9)(x - 5) $ в этих интервалах. При $ x > 5 $ все множители положительны, и произведение положительно. Знаки на интервалах чередуются: $ -, +, -, + $. Нам нужно найти, где выражение меньше нуля, поэтому выбираем интервалы со знаком "-": $ (-\infty; 0) \cup (\frac{9}{5}; 5) $.

9. Сопоставим полученное решение с ОДЗ ($ x \neq \pm 3 $). Точка $ x = -3 $ принадлежит интервалу $ (-\infty; 0) $, поэтому ее необходимо исключить. Точка $ x = 3 $ принадлежит интервалу $ (\frac{9}{5}; 5) $ (так как $ 1.8 < 3 < 5 $), поэтому ее также необходимо исключить. Исключение этих точек разбивает полученные интервалы на части.

Ответ: $ (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (\frac{9}{5}; 3) \cup (3; 5) $