Номер 11.37, страница 297 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.37, страница 297.

Условие.

11.37 а) $\frac{\sqrt{13x + 25}}{|x - 2|} > \frac{\sqrt{11x + 23}}{|x - 2|};$

б) $\frac{\sqrt{9x + 45}}{|x + 2|} < \frac{\sqrt{7x + 15}}{|x + 2|}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим неравенство $ \frac{\sqrt{13x + 25}}{|x - 2|} > \frac{\sqrt{11x + 23}}{|x - 2|} $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен равняться нулю.

$ \begin{cases} 13x + 25 \ge 0 \\ 11x + 23 \ge 0 \\ |x - 2| \ne 0 \end{cases} $

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 13x \ge -25 \\ 11x \ge -23 \\ x \ne 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -\frac{25}{13} \\ x \ge -\frac{23}{11} \\ x \ne 2 \end{cases} $

Сравним дроби $-\frac{25}{13}$ и $-\frac{23}{11}$. Так как $-\frac{25}{13} \approx -1.92$ и $-\frac{23}{11} \approx -2.09$, то $-\frac{25}{13} > -\frac{23}{11}$. Следовательно, наиболее строгое ограничение — это $x \ge -\frac{25}{13}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-\frac{25}{13}, 2) \cup (2, \infty)$.

Поскольку в ОДЗ знаменатель $|x - 2|$ строго положителен, мы можем умножить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства:

$ \sqrt{13x + 25} > \sqrt{11x + 23} $

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$ 13x + 25 > 11x + 23 $

$ 13x - 11x > 23 - 25 $

$ 2x > -2 $

$ x > -1 $

Теперь найдем пересечение полученного решения $x > -1$ с ОДЗ $x \in [-\frac{25}{13}, 2) \cup (2, \infty)$. Поскольку $-1 > -\frac{25}{13}$, решение должно удовлетворять условиям $x > -1$ и $x \ne 2$.

Ответ: $x \in (-1, 2) \cup (2, \infty)$.

б) Решим неравенство $ \frac{\sqrt{9x + 45}}{|x + 2|} < \frac{\sqrt{7x + 15}}{|x + 2|} $.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 9x + 45 \ge 0 \\ 7x + 15 \ge 0 \\ |x + 2| \ne 0 \end{cases} $

Решим систему:

$ \begin{cases} 9x \ge -45 \\ 7x \ge -15 \\ x \ne -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \ge -\frac{15}{7} \\ x \ne -2 \end{cases} $

Сравним $-5$ и $-\frac{15}{7}$. Так как $-\frac{15}{7} \approx -2.14$, то $-\frac{15}{7} > -5$. Следовательно, более строгим является условие $x \ge -\frac{15}{7}$.

Значение $x = -2$ удовлетворяет условию $x \ge -\frac{15}{7}$ (так как $-2 = -\frac{14}{7} > -\frac{15}{7}$), поэтому его нужно исключить отдельно.

ОДЗ: $x \in [-\frac{15}{7}, -2) \cup (-2, \infty)$.

Умножим обе части неравенства на строго положительный в ОДЗ знаменатель $|x + 2|$:

$ \sqrt{9x + 45} < \sqrt{7x + 15} $

Возведем обе неотрицательные части в квадрат:

$ 9x + 45 < 7x + 15 $

$ 9x - 7x < 15 - 45 $

$ 2x < -30 $

$ x < -15 $

Теперь найдем пересечение множества решений $x < -15$ с областью допустимых значений $x \in [-\frac{15}{7}, -2) \cup (-2, \infty)$.

Так как наименьшее значение в ОДЗ равно $-\frac{15}{7} \approx -2.14$, а все решения неравенства $x < -15$ находятся левее этой точки, то пересечение этих множеств пустое.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).