Номер 11.40, страница 298 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.40, страница 298.

Условие.

11.40 a) $ \lg(x + 1) + \lg(x - 8) > \lg(2x - 8); $

б) $ \log_2(x + 1) + \log_2(3x - 1) > \log_2(9x + 5); $

в) $ \log_{\frac{1}{2}}(3x + 1) + \log_{\frac{1}{2}}(2x - 1) < \log_{\frac{1}{2}}(5x - 1); $

г) $ \log_{\frac{1}{3}}(4x + 1) + \log_{\frac{1}{3}}(2x - 1) < \log_{\frac{1}{3}}(10x + 7). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное неравенство: $\lg(x + 1) + \lg(x - 8) > \lg(2x - 8)$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 8 > 0 \\ 2x - 8 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > 8 \\ x > 4 \end{cases}$

Объединяя эти условия, получаем, что ОДЗ: $x > 8$, то есть $x \in (8, +\infty)$.

2. Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:

$\lg((x + 1)(x - 8)) > \lg(2x - 8)$

Так как основание десятичного логарифма равно 10, что больше 1, то при переходе от логарифмического неравенства к неравенству для их аргументов знак неравенства сохраняется:

$(x + 1)(x - 8) > 2x - 8$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - 8x + x - 8 > 2x - 8$

$x^2 - 7x - 8 > 2x - 8$

$x^2 - 9x > 0$

$x(x - 9) > 0$

Корни соответствующего уравнения $x(x - 9) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (9, +\infty)$.

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (9, +\infty)$.

ОДЗ: $x \in (8, +\infty)$.

Пересечением этих двух множеств является интервал $(9, +\infty)$.

Ответ: $x \in (9, +\infty)$.

б)

Исходное неравенство: $\log_2(x + 1) + \log_2(3x - 1) > \log_2(9x + 5)$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 3x - 1 > 0 \\ 9x + 5 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > \frac{1}{3} \\ x > -\frac{5}{9} \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > \frac{1}{3}$, то есть $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$.

2. Упростим неравенство:

$\log_2((x + 1)(3x - 1)) > \log_2(9x + 5)$

Основание логарифма $a = 2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$(x + 1)(3x - 1) > 9x + 5$

$3x^2 - x + 3x - 1 > 9x + 5$

$3x^2 + 2x - 1 > 9x + 5$

$3x^2 - 7x - 6 > 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x - 6 = 0$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

$x_1 = \frac{7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (3, +\infty)$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ:

Решение: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (3, +\infty)$.

ОДЗ: $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$.

Пересечение: $x \in (3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

в)

Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{2}}(3x + 1) + \log_{\frac{1}{2}}(2x - 1) < \log_{\frac{1}{2}}(5x - 1)$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x + 1 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \\ 5x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\frac{1}{3} \\ x > \frac{1}{2} \\ x > \frac{1}{5} \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > \frac{1}{2}$, то есть $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$.

2. Упростим неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}}((3x + 1)(2x - 1)) < \log_{\frac{1}{2}}(5x - 1)$

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный:

$(3x + 1)(2x - 1) > 5x - 1$

$6x^2 - 3x + 2x - 1 > 5x - 1$

$6x^2 - x - 1 > 5x - 1$

$6x^2 - 6x > 0$

$6x(x - 1) > 0 \implies x(x - 1) > 0$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ:

Решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

ОДЗ: $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$.

Пересечение: $x \in (1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

г)

Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{3}}(4x + 1) + \log_{\frac{1}{3}}(2x - 1) < \log_{\frac{1}{3}}(10x + 7)$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 4x + 1 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \\ 10x + 7 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\frac{1}{4} \\ x > \frac{1}{2} \\ x > -\frac{7}{10} \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > \frac{1}{2}$, то есть $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$.

2. Упростим неравенство:

$\log_{\frac{1}{3}}((4x + 1)(2x - 1)) < \log_{\frac{1}{3}}(10x + 7)$

Основание логарифма $a = \frac{1}{3} \in (0, 1)$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$(4x + 1)(2x - 1) > 10x + 7$

$8x^2 - 4x + 2x - 1 > 10x + 7$

$8x^2 - 2x - 1 > 10x + 7$

$8x^2 - 12x - 8 > 0$

Разделим обе части на 4, чтобы упростить:

$2x^2 - 3x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$x_1 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ:

Решение: $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (2, +\infty)$.

ОДЗ: $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$.

Пересечение: $x \in (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.