Номер 11.33, страница 293 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.33, страница 293.

Условие.

11.33* a) $4 \log_x 3 > \log_3 x - 3;$

б) $2 \log_x 5 > \log_5 x - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $4 \log_x 3 > \log_3 x - 3$
Первым шагом определим Область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице, а аргумент логарифма $x$ в $\log_3 x$ должен быть положительным. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Применим формулу перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$. В нашем случае $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$.
Подставим это в неравенство:
$4 \cdot \frac{1}{\log_3 x} > \log_3 x - 3$
Сделаем замену переменной для упрощения. Пусть $t = \log_3 x$. Неравенство примет вид:
$\frac{4}{t} > t - 3$
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{4}{t} - t + 3 > 0$
$\frac{4 - t^2 + 3t}{t} > 0$
$\frac{-(t^2 - 3t - 4)}{t} > 0$
Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{t^2 - 3t - 4}{t} < 0$
Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения $t^2 - 3t - 4 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант получаем корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(t-4)(t+1)}{t} < 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки $t = -1$, $t = 0$ и $t = 4$. Определим знаки выражения в каждом интервале.
- При $t < -1$: $(-)(-) / (-) = (-)$. Подходит.
- При $-1 < t < 0$: $(-)(+) / (-) = (+)$. Не подходит.
- При $0 < t < 4$: $(-)(+) / (+) = (-)$. Подходит.
- При $t > 4$: $(+)(+) / (+) = (+)$. Не подходит.
Таким образом, решение для $t$ это $t < -1$ или $0 < t < 4$.
Теперь вернемся к переменной $x$:
1. $t < -1 \implies \log_3 x < -1$. Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x < 3^{-1} \implies x < \frac{1}{3}$.
2. $0 < t < 4 \implies 0 < \log_3 x < 4$. Решаем двойное неравенство: $3^0 < x < 3^4 \implies 1 < x < 81$.
Совместим полученные решения с ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$):
- Для $x < \frac{1}{3}$ с учетом ОДЗ получаем интервал $(0; \frac{1}{3})$.
- Интервал $(1; 81)$ полностью удовлетворяет ОДЗ.
Объединение этих интервалов является решением исходного неравенства.
Ответ: $x \in (0; \frac{1}{3}) \cup (1; 81)$.

б) $2 \log_x 5 > \log_5 x - 1$
ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{2}{\log_5 x} > \log_5 x - 1$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$.
$\frac{2}{t} > t - 1$
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{2 - t(t-1)}{t} > 0$
$\frac{2 - t^2 + t}{t} > 0$
$\frac{-(t^2 - t - 2)}{t} > 0$
Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:
$\frac{t^2 - t - 2}{t} < 0$
Найдем корни числителя $t^2 - t - 2 = 0$. Корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
$\frac{(t-2)(t+1)}{t} < 0$
Решаем методом интервалов. Критические точки: $t = -1, t = 0, t = 2$.
- При $t < -1$: $(-)(-) / (-) = (-)$. Подходит.
- При $-1 < t < 0$: $(-)(+) / (-) = (+)$. Не подходит.
- При $0 < t < 2$: $(-)(+) / (+) = (-)$. Подходит.
- При $t > 2$: $(+)(+) / (+) = (+)$. Не подходит.
Решение для $t$: $t < -1$ или $0 < t < 2$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1. $t < -1 \implies \log_5 x < -1$. Так как основание $5 > 1$, то $x < 5^{-1} \implies x < \frac{1}{5}$.
2. $0 < t < 2 \implies 0 < \log_5 x < 2 \implies 5^0 < x < 5^2 \implies 1 < x < 25$.
Совместим полученные решения с ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$):
- Из $x < \frac{1}{5}$ и ОДЗ получаем $x \in (0; \frac{1}{5})$.
- Интервал $(1; 25)$ полностью удовлетворяет ОДЗ.
Объединяем полученные решения.
Ответ: $x \in (0; \frac{1}{5}) \cup (1; 25)$.