Номер 11.36, страница 297 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.36, страница 297.

Условие.

11.36 a) $(\frac{1}{25})^{\frac{2x-5}{2}} > (\frac{1}{5})^{\sqrt{6x^2 - 31x + 25}};$

б) $(\frac{1}{36})^{x-3} < (\frac{1}{6})^{\sqrt{5x^2 - 41x + 36}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $(\frac{1}{25})^{\frac{2x-5}{2}} > (\frac{1}{5})^{\sqrt{6x^2 - 31x + 25}}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{1}{5}$. Так как $\frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2$, получаем:

$((\frac{1}{5})^2)^{\frac{2x-5}{2}} > (\frac{1}{5})^{\sqrt{6x^2 - 31x + 25}}$

$(\frac{1}{5})^{2 \cdot \frac{2x-5}{2}} > (\frac{1}{5})^{\sqrt{6x^2 - 31x + 25}}$

$(\frac{1}{5})^{2x-5} > (\frac{1}{5})^{\sqrt{6x^2 - 31x + 25}}$

Так как основание степени $a = \frac{1}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$2x-5 < \sqrt{6x^2 - 31x + 25}$

Данное иррациональное неравенство вида $f(x) < \sqrt{g(x)}$ равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} 2x - 5 < 0 \\ 6x^2 - 31x + 25 \ge 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - 5 \ge 0 \\ (2x - 5)^2 < 6x^2 - 31x + 25 \end{cases}$

Решим каждую систему по отдельности.

Для системы 1:

Первое неравенство: $2x < 5 \implies x < 2.5$.

Второе неравенство: $6x^2 - 31x + 25 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $6x^2 - 31x + 25 = 0$.
Дискриминант $D = (-31)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 25 = 961 - 600 = 361 = 19^2$.
Корни: $x_1 = \frac{31 - 19}{12} = \frac{12}{12} = 1$; $x_2 = \frac{31 + 19}{12} = \frac{50}{12} = \frac{25}{6}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решением неравенства является $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{25}{6}, +\infty)$.

Найдем пересечение решений системы 1: $x < 2.5$ и $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{25}{6}, +\infty)$.
Так как $\frac{25}{6} \approx 4.17$, пересечением будет интервал $x \in (-\infty, 1]$.

Для системы 2:

Первое неравенство: $2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$.

Второе неравенство: $(2x - 5)^2 < 6x^2 - 31x + 25$.
$4x^2 - 20x + 25 < 6x^2 - 31x + 25$
$0 < 2x^2 - 11x$
$x(2x - 11) > 0$
Корни $x=0$ и $x = \frac{11}{2} = 5.5$.
Решением неравенства является $x \in (-\infty, 0) \cup (5.5, +\infty)$.

Найдем пересечение решений системы 2: $x \ge 2.5$ и $x \in (-\infty, 0) \cup (5.5, +\infty)$.
Пересечением будет интервал $x \in (5.5, +\infty)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений двух систем:

$(-\infty, 1] \cup (5.5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup (\frac{11}{2}, +\infty)$.

б) $(\frac{1}{36})^{x-3} < (\frac{1}{6})^{\sqrt{5x^2 - 41x + 36}}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{1}{6}$. Так как $\frac{1}{36} = (\frac{1}{6})^2$, получаем:

$((\frac{1}{6})^2)^{x-3} < (\frac{1}{6})^{\sqrt{5x^2 - 41x + 36}}$

$(\frac{1}{6})^{2(x-3)} < (\frac{1}{6})^{\sqrt{5x^2 - 41x + 36}}$

$(\frac{1}{6})^{2x-6} < (\frac{1}{6})^{\sqrt{5x^2 - 41x + 36}}$

Так как основание степени $a = \frac{1}{6}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$2x-6 > \sqrt{5x^2 - 41x + 36}$

Данное иррациональное неравенство вида $f(x) > \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > 0 \\ (f(x))^2 > g(x) \end{cases}$

В нашем случае система выглядит так:

$\begin{cases} 5x^2 - 41x + 36 \ge 0 & (1) \\ 2x - 6 > 0 & (2) \\ (2x - 6)^2 > 5x^2 - 41x + 36 & (3) \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

Неравенство (1): $5x^2 - 41x + 36 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - 41x + 36 = 0$.
Дискриминант $D = (-41)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 36 = 1681 - 720 = 961 = 31^2$.
Корни: $x_1 = \frac{41 - 31}{10} = \frac{10}{10} = 1$; $x_2 = \frac{41 + 31}{10} = \frac{72}{10} = 7.2$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решением неравенства является $x \in (-\infty, 1] \cup [7.2, +\infty)$.

Неравенство (2): $2x - 6 > 0 \implies 2x > 6 \implies x > 3$.

Неравенство (3): $(2x - 6)^2 > 5x^2 - 41x + 36$.
$4x^2 - 24x + 36 > 5x^2 - 41x + 36$
$0 > x^2 - 17x$
$x^2 - 17x < 0$
$x(x-17) < 0$
Корни $x=0$ и $x=17$. Решением неравенства является интервал $x \in (0, 17)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств:
Решение (1): $x \in (-\infty, 1] \cup [7.2, +\infty)$
Решение (2): $x \in (3, +\infty)$
Решение (3): $x \in (0, 17)$
Пересечение решений (2) и (3) дает интервал $(3, 17)$.
Теперь пересечем этот результат с решением (1):
$x \in (3, 17) \cap ((-\infty, 1] \cup [7.2, +\infty))$.
Пересечением является интервал $[7.2, 17)$.

Ответ: $x \in [\frac{36}{5}, 17)$.