Номер 11.39, страница 298 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.39, страница 298.

Условие.

11.39 a) $\sqrt{x+3\sqrt{x+8}} > 2x+4;$

В) $\sqrt{2x+3\sqrt{3x+7}} > 2x+4;$

б) $\sqrt{x+3\sqrt{x+6}} < x+4;$

г) $\sqrt{2x-1\sqrt{3x-2}} < 4x-3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt{x+3}\sqrt{x+8} > 2x+4$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x+8 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -8 \end{cases} \implies x \ge -3 $

ОДЗ: $x \in [-3, \infty)$.

2. Левая часть неравенства, $\sqrt{(x+3)(x+8)}$, всегда неотрицательна. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части.

Случай 1: Правая часть отрицательна, $2x+4 < 0 \implies 2x < -4 \implies x < -2$.

В этом случае неотрицательное число всегда больше отрицательного. Нам нужно найти пересечение этого условия с ОДЗ:

$x < -2$ и $x \ge -3$. Решение для этого случая: $x \in [-3, -2)$.

Случай 2: Правая часть неотрицательна, $2x+4 \ge 0 \implies x \ge -2$.

В этом случае обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат. Учитывая ОДЗ, мы решаем неравенство на промежутке $x \in [-2, \infty)$.

$(\sqrt{x+3}\sqrt{x+8})^2 > (2x+4)^2$

$(x+3)(x+8) > 4(x+2)^2$

$x^2 + 11x + 24 > 4(x^2 + 4x + 4)$

$x^2 + 11x + 24 > 4x^2 + 16x + 16$

$0 > 3x^2 + 5x - 8$

$3x^2 + 5x - 8 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 + 5x - 8 = 0$.

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(3)(-8)}}{6} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{6} = \frac{-5 \pm 11}{6}$

$x_1 = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$, $x_2 = \frac{6}{6} = 1$.

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $3x^2 + 5x - 8 < 0$ выполняется между корнями: $-\frac{8}{3} < x < 1$.

Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая ($x \ge -2$):

$x \in (-8/3, 1) \cap [-2, \infty) \implies x \in [-2, 1)$.

3. Объединим решения из обоих случаев:

$[-3, -2) \cup [-2, 1) = [-3, 1)$.

Ответ: $x \in [-3, 1)$.

б) $\sqrt{x+3}\sqrt{x+6} < x+4$

1. ОДЗ:

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x+6 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -6 \end{cases} \implies x \ge -3 $

2. Левая часть неравенства неотрицательна. Чтобы неравенство имело решение, правая часть должна быть строго положительной:

$x+4 > 0 \implies x > -4$.

Пересекая с ОДЗ ($x \ge -3$), получаем, что решение нужно искать при $x \ge -3$. На этом промежутке обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат.

$(\sqrt{x+3}\sqrt{x+6})^2 < (x+4)^2$

$(x+3)(x+6) < x^2 + 8x + 16$

$x^2 + 9x + 18 < x^2 + 8x + 16$

$9x + 18 < 8x + 16$

$x < -2$

3. Найдем пересечение полученного решения с областью, на которой мы его искали ($x \ge -3$):

$x < -2$ и $x \ge -3$.

Ответ: $x \in [-3, -2)$.

в) $\sqrt{2x+3}\sqrt{3x+7} > 2x+4$

1. ОДЗ:

$ \begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ 3x+7 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3/2 \\ x \ge -7/3 \end{cases} \implies x \ge -1.5 $

ОДЗ: $x \in [-1.5, \infty)$.

2. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $2x+4 < 0 \implies x < -2$.

Этот интервал не пересекается с ОДЗ ($x \ge -1.5$), поэтому в этом случае решений нет.

Случай 2: $2x+4 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Пересекая с ОДЗ, получаем, что мы решаем неравенство при $x \ge -1.5$. На этом промежутке обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

$(\sqrt{2x+3}\sqrt{3x+7})^2 > (2x+4)^2$

$(2x+3)(3x+7) > 4(x+2)^2$

$6x^2 + 14x + 9x + 21 > 4(x^2 + 4x + 4)$

$6x^2 + 23x + 21 > 4x^2 + 16x + 16$

$2x^2 + 7x + 5 > 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 + 7x + 5 = 0$.

$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(2)(5)}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-7 \pm 3}{4}$

$x_1 = \frac{-10}{4} = -2.5$, $x_2 = \frac{-4}{4} = -1$.

Неравенство $2x^2 + 7x + 5 > 0$ выполняется при $x < -2.5$ или $x > -1$.

3. Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая ($x \ge -1.5$):

Пересечение ($x < -2.5$ или $x > -1$) с ($x \ge -1.5$) дает $x > -1$.

Ответ: $x \in (-1, \infty)$.

г) $\sqrt{2x-1}\sqrt{3x-2} < 4x-3$

1. ОДЗ:

$ \begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1/2 \\ x \ge 2/3 \end{cases} \implies x \ge 2/3 $

2. Левая часть неотрицательна, поэтому правая часть должна быть строго положительной:

$4x-3 > 0 \implies 4x > 3 \implies x > 3/4$.

Так как $3/4 = 0.75$ и $2/3 \approx 0.67$, условие $x > 3/4$ включает в себя ОДЗ. Будем решать неравенство при $x > 3/4$. На этом промежутке обе части неотрицательны, возводим в квадрат.

$(\sqrt{2x-1}\sqrt{3x-2})^2 < (4x-3)^2$

$(2x-1)(3x-2) < 16x^2 - 24x + 9$

$6x^2 - 7x + 2 < 16x^2 - 24x + 9$

$0 < 10x^2 - 17x + 7$

$10x^2 - 17x + 7 > 0$

Найдем корни уравнения $10x^2 - 17x + 7 = 0$.

$x_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4(10)(7)}}{20} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 280}}{20} = \frac{17 \pm 3}{20}$

$x_1 = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}$, $x_2 = \frac{20}{20} = 1$.

Неравенство $10x^2 - 17x + 7 > 0$ выполняется при $x < 7/10$ или $x > 1$.

3. Найдем пересечение этого решения с областью, на которой мы его искали ($x > 3/4$).

Сравним дроби: $7/10 = 0.7$, а $3/4 = 0.75$. Значит, $7/10 < 3/4$.

- Пересечение $x < 7/10$ с $x > 3/4$ пустое.

- Пересечение $x > 1$ с $x > 3/4$ дает $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, \infty)$.