Номер 11.44, страница 298 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.44, страница 298.
№11.44 (с. 298)
Условие. №11.44 (с. 298)
скриншот условия

11.44 a) $\log_x \frac{7x - 2}{2 - x} < 0;$
б) $\log_x \frac{3x - 1}{14x - 5} > 0;$
в) $\log_x \frac{6x - 1}{13x - 7} < 0;$
г) $\log_x \frac{16x - 11}{5x - 1} > 0.$
Решение 1. №11.44 (с. 298)




Решение 2. №11.44 (с. 298)





Решение 4. №11.44 (с. 298)
а) $\log_{x} \frac{7x-2}{2-x} < 0$
Для решения логарифмических неравенств вида $\log_{h(x)}f(x) < 0$ применим метод рационализации. Такое неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} h(x) > 0 \\ h(x) \neq 1 \\ f(x) > 0 \\ (h(x)-1)(f(x)-1) < 0 \end{cases}$
В данном случае $h(x) = x$ и $f(x) = \frac{7x-2}{2-x}$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему первых трех неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \frac{7x-2}{2-x} > 0 \end{cases}$
Решим неравенство $\frac{7x-2}{2-x} > 0$. Нули числителя: $7x-2=0 \implies x=\frac{2}{7}$. Нуль знаменателя: $2-x=0 \implies x=2$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (\frac{2}{7}, 2)$.
С учетом условий $x>0$ и $x \neq 1$, ОДЗ: $x \in (\frac{2}{7}, 1) \cup (1, 2)$.
2. Решим основное неравенство, полученное из метода рационализации:
$(x-1)(\frac{7x-2}{2-x}-1) < 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$\frac{7x-2 - (2-x)}{2-x} = \frac{7x-2-2+x}{2-x} = \frac{8x-4}{2-x} = \frac{4(2x-1)}{2-x}$
Подставим обратно в неравенство:
$(x-1)\frac{4(2x-1)}{2-x} < 0$
Разделим на 4 и умножим на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{(x-1)(2x-1)}{x-2} > 0$
Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Нули: $x=\frac{1}{2}, x=1, x=2$. На числовой прямой эти точки разбивают ось на интервалы. Проверив знаки на интервалах, получаем решение: $x \in (\frac{1}{2}, 1) \cup (2, \infty)$.
3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
Решение: $x \in (\frac{1}{2}, 1) \cup (2, \infty)$.
ОДЗ: $x \in (\frac{2}{7}, 1) \cup (1, 2)$.
Пересечением этих множеств является интервал $(\frac{1}{2}, 1)$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{2}, 1)$.
б) $\log_{x} \frac{3x-1}{14x-5} > 0$
Неравенство вида $\log_{h(x)}f(x) > 0$ равносильно системе:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \frac{3x-1}{14x-5} > 0 \\ (x-1)(\frac{3x-1}{14x-5}-1) > 0 \end{cases}$
1. Найдем ОДЗ. Решим неравенство $\frac{3x-1}{14x-5} > 0$. Нули: $x=\frac{1}{3}, x=\frac{5}{14}$. Так как $\frac{1}{3} < \frac{5}{14}$ (0.333... < 0.357...), то решение: $x \in (-\infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{5}{14}, \infty)$.
С учетом $x>0$ и $x \neq 1$, ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{5}{14}, 1) \cup (1, \infty)$.
2. Решим неравенство $(x-1)(\frac{3x-1}{14x-5}-1) > 0$.
$\frac{3x-1 - (14x-5)}{14x-5} = \frac{-11x+4}{14x-5}$
Неравенство: $(x-1)\frac{-11x+4}{14x-5} > 0$.
Умножим на -1 и сменим знак:
$\frac{(x-1)(11x-4)}{14x-5} < 0$
Нули: $x=1, x=\frac{4}{11}, x=\frac{5}{14}$. Сравним дроби: $\frac{5}{14} \approx 0.357$, $\frac{4}{11} \approx 0.363$. Итак, $\frac{5}{14} < \frac{4}{11} < 1$.
Методом интервалов получаем: $x \in (-\infty, \frac{5}{14}) \cup (\frac{4}{11}, 1)$.
3. Пересекаем решение с ОДЗ:
Решение: $x \in (-\infty, \frac{5}{14}) \cup (\frac{4}{11}, 1)$.
ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{5}{14}, 1) \cup (1, \infty)$.
Пересечение дает $x \in (0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{4}{11}, 1)$.
Ответ: $x \in (0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{4}{11}, 1)$.
в) $\log_{x} \frac{6x-1}{13x-7} < 0$
Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \frac{6x-1}{13x-7} > 0 \\ (x-1)(\frac{6x-1}{13x-7}-1) < 0 \end{cases}$
1. Найдем ОДЗ. Решим $\frac{6x-1}{13x-7} > 0$. Нули: $x=\frac{1}{6}, x=\frac{7}{13}$. Так как $\frac{1}{6} < \frac{7}{13}$, решение $x \in (-\infty, \frac{1}{6}) \cup (\frac{7}{13}, \infty)$.
ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{6}) \cup (\frac{7}{13}, 1) \cup (1, \infty)$.
2. Решим неравенство $(x-1)(\frac{6x-1}{13x-7}-1) < 0$.
$\frac{6x-1 - (13x-7)}{13x-7} = \frac{-7x+6}{13x-7}$
Неравенство: $(x-1)\frac{-7x+6}{13x-7} < 0$.
Умножим на -1 и сменим знак:
$\frac{(x-1)(7x-6)}{13x-7} > 0$
Нули: $x=1, x=\frac{6}{7}, x=\frac{7}{13}$. Сравним: $\frac{7}{13} \approx 0.538$, $\frac{6}{7} \approx 0.857$. Итак, $\frac{7}{13} < \frac{6}{7} < 1$.
Методом интервалов получаем: $x \in (\frac{7}{13}, \frac{6}{7}) \cup (1, \infty)$.
3. Пересекаем решение с ОДЗ:
Решение: $x \in (\frac{7}{13}, \frac{6}{7}) \cup (1, \infty)$.
ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{6}) \cup (\frac{7}{13}, 1) \cup (1, \infty)$.
Пересечение: $x \in (\frac{7}{13}, \frac{6}{7}) \cup (1, \infty)$.
Ответ: $x \in (\frac{7}{13}, \frac{6}{7}) \cup (1, \infty)$.
г) $\log_{x} \frac{16x-11}{5x-1} > 0$
Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \frac{16x-11}{5x-1} > 0 \\ (x-1)(\frac{16x-11}{5x-1}-1) > 0 \end{cases}$
1. Найдем ОДЗ. Решим $\frac{16x-11}{5x-1} > 0$. Нули: $x=\frac{11}{16}, x=\frac{1}{5}$. Так как $\frac{1}{5} < \frac{11}{16}$, решение $x \in (-\infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{11}{16}, \infty)$.
ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{5}) \cup (\frac{11}{16}, 1) \cup (1, \infty)$.
2. Решим неравенство $(x-1)(\frac{16x-11}{5x-1}-1) > 0$.
$\frac{16x-11 - (5x-1)}{5x-1} = \frac{11x-10}{5x-1}$
Неравенство: $\frac{(x-1)(11x-10)}{5x-1} > 0$.
Нули: $x=1, x=\frac{10}{11}, x=\frac{1}{5}$. Сравним: $\frac{1}{5}=0.2, \frac{10}{11} \approx 0.909$. Итак, $\frac{1}{5} < \frac{10}{11} < 1$.
Методом интервалов получаем: $x \in (\frac{1}{5}, \frac{10}{11}) \cup (1, \infty)$.
3. Пересекаем решение с ОДЗ:
Решение: $x \in (\frac{1}{5}, \frac{10}{11}) \cup (1, \infty)$.
ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{5}) \cup (\frac{11}{16}, 1) \cup (1, \infty)$.
Сравним дроби: $\frac{1}{5}=0.2, \frac{11}{16}=0.6875, \frac{10}{11} \approx 0.909$. Значит, $\frac{1}{5} < \frac{11}{16} < \frac{10}{11}$.
Пересечение интервала $(\frac{1}{5}, \frac{10}{11})$ с ОДЗ дает $(\frac{11}{16}, \frac{10}{11})$.
Пересечение интервала $(1, \infty)$ с ОДЗ дает $(1, \infty)$.
Объединяя результаты, получаем: $x \in (\frac{11}{16}, \frac{10}{11}) \cup (1, \infty)$.
Ответ: $x \in (\frac{11}{16}, \frac{10}{11}) \cup (1, \infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.44 расположенного на странице 298 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.44 (с. 298), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.