Номер 11.44, страница 298 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.44, страница 298.

Условие.

11.44 a) $\log_x \frac{7x - 2}{2 - x} < 0;$

б) $\log_x \frac{3x - 1}{14x - 5} > 0;$

в) $\log_x \frac{6x - 1}{13x - 7} < 0;$

г) $\log_x \frac{16x - 11}{5x - 1} > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\log_{x} \frac{7x-2}{2-x} < 0$

Для решения логарифмических неравенств вида $\log_{h(x)}f(x) < 0$ применим метод рационализации. Такое неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} h(x) > 0 \\ h(x) \neq 1 \\ f(x) > 0 \\ (h(x)-1)(f(x)-1) < 0 \end{cases}$

В данном случае $h(x) = x$ и $f(x) = \frac{7x-2}{2-x}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему первых трех неравенств:

$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \frac{7x-2}{2-x} > 0 \end{cases}$

Решим неравенство $\frac{7x-2}{2-x} > 0$. Нули числителя: $7x-2=0 \implies x=\frac{2}{7}$. Нуль знаменателя: $2-x=0 \implies x=2$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (\frac{2}{7}, 2)$.

С учетом условий $x>0$ и $x \neq 1$, ОДЗ: $x \in (\frac{2}{7}, 1) \cup (1, 2)$.

2. Решим основное неравенство, полученное из метода рационализации:

$(x-1)(\frac{7x-2}{2-x}-1) < 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$\frac{7x-2 - (2-x)}{2-x} = \frac{7x-2-2+x}{2-x} = \frac{8x-4}{2-x} = \frac{4(2x-1)}{2-x}$

Подставим обратно в неравенство:

$(x-1)\frac{4(2x-1)}{2-x} < 0$

Разделим на 4 и умножим на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{(x-1)(2x-1)}{x-2} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Нули: $x=\frac{1}{2}, x=1, x=2$. На числовой прямой эти точки разбивают ось на интервалы. Проверив знаки на интервалах, получаем решение: $x \in (\frac{1}{2}, 1) \cup (2, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (\frac{1}{2}, 1) \cup (2, \infty)$.

ОДЗ: $x \in (\frac{2}{7}, 1) \cup (1, 2)$.

Пересечением этих множеств является интервал $(\frac{1}{2}, 1)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}, 1)$.

б) $\log_{x} \frac{3x-1}{14x-5} > 0$

Неравенство вида $\log_{h(x)}f(x) > 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \frac{3x-1}{14x-5} > 0 \\ (x-1)(\frac{3x-1}{14x-5}-1) > 0 \end{cases}$

1. Найдем ОДЗ. Решим неравенство $\frac{3x-1}{14x-5} > 0$. Нули: $x=\frac{1}{3}, x=\frac{5}{14}$. Так как $\frac{1}{3} < \frac{5}{14}$ (0.333... < 0.357...), то решение: $x \in (-\infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{5}{14}, \infty)$.

С учетом $x>0$ и $x \neq 1$, ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{5}{14}, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Решим неравенство $(x-1)(\frac{3x-1}{14x-5}-1) > 0$.

$\frac{3x-1 - (14x-5)}{14x-5} = \frac{-11x+4}{14x-5}$

Неравенство: $(x-1)\frac{-11x+4}{14x-5} > 0$.

Умножим на -1 и сменим знак:

$\frac{(x-1)(11x-4)}{14x-5} < 0$

Нули: $x=1, x=\frac{4}{11}, x=\frac{5}{14}$. Сравним дроби: $\frac{5}{14} \approx 0.357$, $\frac{4}{11} \approx 0.363$. Итак, $\frac{5}{14} < \frac{4}{11} < 1$.

Методом интервалов получаем: $x \in (-\infty, \frac{5}{14}) \cup (\frac{4}{11}, 1)$.

3. Пересекаем решение с ОДЗ:

Решение: $x \in (-\infty, \frac{5}{14}) \cup (\frac{4}{11}, 1)$.

ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{5}{14}, 1) \cup (1, \infty)$.

Пересечение дает $x \in (0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{4}{11}, 1)$.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{4}{11}, 1)$.

в) $\log_{x} \frac{6x-1}{13x-7} < 0$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \frac{6x-1}{13x-7} > 0 \\ (x-1)(\frac{6x-1}{13x-7}-1) < 0 \end{cases}$

1. Найдем ОДЗ. Решим $\frac{6x-1}{13x-7} > 0$. Нули: $x=\frac{1}{6}, x=\frac{7}{13}$. Так как $\frac{1}{6} < \frac{7}{13}$, решение $x \in (-\infty, \frac{1}{6}) \cup (\frac{7}{13}, \infty)$.

ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{6}) \cup (\frac{7}{13}, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Решим неравенство $(x-1)(\frac{6x-1}{13x-7}-1) < 0$.

$\frac{6x-1 - (13x-7)}{13x-7} = \frac{-7x+6}{13x-7}$

Неравенство: $(x-1)\frac{-7x+6}{13x-7} < 0$.

Умножим на -1 и сменим знак:

$\frac{(x-1)(7x-6)}{13x-7} > 0$

Нули: $x=1, x=\frac{6}{7}, x=\frac{7}{13}$. Сравним: $\frac{7}{13} \approx 0.538$, $\frac{6}{7} \approx 0.857$. Итак, $\frac{7}{13} < \frac{6}{7} < 1$.

Методом интервалов получаем: $x \in (\frac{7}{13}, \frac{6}{7}) \cup (1, \infty)$.

3. Пересекаем решение с ОДЗ:

Решение: $x \in (\frac{7}{13}, \frac{6}{7}) \cup (1, \infty)$.

ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{6}) \cup (\frac{7}{13}, 1) \cup (1, \infty)$.

Пересечение: $x \in (\frac{7}{13}, \frac{6}{7}) \cup (1, \infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{7}{13}, \frac{6}{7}) \cup (1, \infty)$.

г) $\log_{x} \frac{16x-11}{5x-1} > 0$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \frac{16x-11}{5x-1} > 0 \\ (x-1)(\frac{16x-11}{5x-1}-1) > 0 \end{cases}$

1. Найдем ОДЗ. Решим $\frac{16x-11}{5x-1} > 0$. Нули: $x=\frac{11}{16}, x=\frac{1}{5}$. Так как $\frac{1}{5} < \frac{11}{16}$, решение $x \in (-\infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{11}{16}, \infty)$.

ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{5}) \cup (\frac{11}{16}, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Решим неравенство $(x-1)(\frac{16x-11}{5x-1}-1) > 0$.

$\frac{16x-11 - (5x-1)}{5x-1} = \frac{11x-10}{5x-1}$

Неравенство: $\frac{(x-1)(11x-10)}{5x-1} > 0$.

Нули: $x=1, x=\frac{10}{11}, x=\frac{1}{5}$. Сравним: $\frac{1}{5}=0.2, \frac{10}{11} \approx 0.909$. Итак, $\frac{1}{5} < \frac{10}{11} < 1$.

Методом интервалов получаем: $x \in (\frac{1}{5}, \frac{10}{11}) \cup (1, \infty)$.

3. Пересекаем решение с ОДЗ:

Решение: $x \in (\frac{1}{5}, \frac{10}{11}) \cup (1, \infty)$.

ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{5}) \cup (\frac{11}{16}, 1) \cup (1, \infty)$.

Сравним дроби: $\frac{1}{5}=0.2, \frac{11}{16}=0.6875, \frac{10}{11} \approx 0.909$. Значит, $\frac{1}{5} < \frac{11}{16} < \frac{10}{11}$.

Пересечение интервала $(\frac{1}{5}, \frac{10}{11})$ с ОДЗ дает $(\frac{11}{16}, \frac{10}{11})$.

Пересечение интервала $(1, \infty)$ с ОДЗ дает $(1, \infty)$.

Объединяя результаты, получаем: $x \in (\frac{11}{16}, \frac{10}{11}) \cup (1, \infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{11}{16}, \frac{10}{11}) \cup (1, \infty)$.