Номер 11.51, страница 300 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.51, страница 300.

Условие.

11.51 a) $ \sin 2x + \frac{\sqrt{2}}{2} > \cos x + \sqrt{2} \sin x, \left[\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}\right]; $

б) $ \sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} < \sqrt{3} \sin x - \cos x, \left[0; \pi\right]. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Решим неравенство $\sin 2x + \frac{\sqrt{2}}{2} > \cos x + \sqrt{2} \sin x$ на промежутке $[\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}]$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\sin 2x - \cos x - \sqrt{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin x \cos x - \cos x - \sqrt{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(2 \sin x \cos x - \cos x) - (\sqrt{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}) > 0$

$\cos x (2 \sin x - 1) - \frac{\sqrt{2}}{2} (2 \sin x - 1) > 0$

$(2 \sin x - 1)(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}) > 0$

Теперь решим это неравенство на заданном промежутке $[\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}]$. Проанализируем знак каждого множителя на этом интервале.

1. Множитель $(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2})$.

На промежутке $[\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}]$ косинус принимает значения от $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ до $\cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, проходя через $\cos(\pi) = -1$. Максимальное значение косинуса на этом отрезке равно $-\frac{1}{2}$.

Поскольку $-\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ для любого $x \in [\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}]$. Следовательно, множитель $(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2})$ всегда отрицателен на данном промежутке.

2. Для того чтобы произведение двух множителей было положительным, а один из них отрицателен, второй множитель также должен быть отрицательным.

Таким образом, неравенство сводится к следующему:

$2 \sin x - 1 < 0$

$\sin x < \frac{1}{2}$

Найдем решение этого неравенства на отрезке $[\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}]$.

Рассмотрим, где $\sin x = \frac{1}{2}$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

На промежутке $[\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}]$ синус убывает от $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ до $\sin(\frac{5\pi}{6})=\frac{1}{2}$, а затем продолжает убывать до $\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значение $\sin x = \frac{1}{2}$ достигается в точке $x = \frac{5\pi}{6}$.

На интервале $(\frac{5\pi}{6}; \frac{4\pi}{3}]$ значения $\sin x$ будут меньше, чем $\frac{1}{2}$.

Исходное неравенство строгое, поэтому точка $x = \frac{5\pi}{6}$, где левая часть равна нулю, не входит в решение. Конечная точка $x = \frac{4\pi}{3}$ входит в заданный отрезок, и в ней $\sin(\frac{4\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2} < \frac{1}{2}$, поэтому она включается в ответ.

Ответ: $x \in (\frac{5\pi}{6}; \frac{4\pi}{3}]$

б)

Решим неравенство $\sin 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} < \sqrt{3} \sin x - \cos x$ на промежутке $[0; \pi]$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\sin 2x - \sqrt{3} \sin x + \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} < 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \sin x + \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} < 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(2 \sin x \cos x + \cos x) - (\sqrt{3} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}) < 0$

$\cos x (2 \sin x + 1) - \frac{\sqrt{3}}{2} (2 \sin x + 1) < 0$

$(2 \sin x + 1)(\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}) < 0$

Теперь решим это неравенство на заданном промежутке $[0; \pi]$. Проанализируем знак каждого множителя на этом интервале.

1. Множитель $(2 \sin x + 1)$.

На промежутке $[0; \pi]$ синус принимает неотрицательные значения, то есть $\sin x \ge 0$.

Следовательно, $2 \sin x \ge 0$, и $2 \sin x + 1 \ge 1$. Таким образом, множитель $(2 \sin x + 1)$ всегда положителен на данном промежутке.

2. Для того чтобы произведение двух множителей было отрицательным, а один из них положителен, второй множитель должен быть отрицательным.

Таким образом, неравенство сводится к следующему:

$\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} < 0$

$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем решение этого неравенства на отрезке $[0; \pi]$.

На отрезке $[0; \pi]$ косинус убывает от $\cos(0) = 1$ до $\cos(\pi) = -1$.

Найдем, где $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. На данном отрезке это происходит в точке $x = \frac{\pi}{6}$.

Поскольку функция $\cos x$ убывает на $[0; \pi]$, неравенство $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ будет выполняться для всех $x$, больших чем $\frac{\pi}{6}$.

Таким образом, решением является интервал $(\frac{\pi}{6}; \pi]$.

Исходное неравенство строгое, поэтому точка $x = \frac{\pi}{6}$, где левая часть равна нулю, не входит в решение. Конечная точка $x=\pi$ входит в заданный отрезок, и в ней $\cos(\pi)=-1 < \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому она включается в ответ.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6}; \pi]$