Номер 11.50, страница 300 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.50, страница 300.

Условие.

11.50 a) $x^4 + x^3 + x^2 - 3x > 0$, $[-2; 2];$

б) $x^4 + x^3 + x^2 - 14x < 0$, $[1; 3].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим неравенство $x^4 + x^3 + x^2 - 3x > 0$ на отрезке $[-2; 2]$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^4 + x^3 + x^2 - 3x$. Нам нужно найти значения $x$, при которых $f(x) > 0$.

Разложим многочлен на множители. Сначала вынесем $x$ за скобки:

$x(x^3 + x^2 + x - 3) > 0$

Теперь найдем корни многочлена $g(x) = x^3 + x^2 + x - 3$. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-3), то есть $\pm1, \pm3$.

Проверим $x = 1$: $g(1) = 1^3 + 1^2 + 1 - 3 = 1 + 1 + 1 - 3 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.

Разделим многочлен $x^3 + x^2 + x - 3$ на двучлен $(x - 1)$:

$(x^3 + x^2 + x - 3) \div (x - 1) = x^2 + 2x + 3$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде:

$x(x - 1)(x^2 + 2x + 3) > 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 3$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент (при $x^2$) положителен ($1 > 0$), выражение $x^2 + 2x + 3$ всегда положительно при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, знак исходного выражения зависит только от знака произведения $x(x - 1)$.

Решим неравенство $x(x - 1) > 0$. Корнями являются $x=0$ и $x=1$. Используя метод интервалов, получаем, что неравенство выполняется при $x < 0$ или $x > 1$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с заданным отрезком $[-2; 2]$.

1. $(-\infty; 0) \cap [-2; 2] = [-2; 0)$

2. $(1; +\infty) \cap [-2; 2] = (1; 2]$

Объединяя эти два интервала, получаем окончательное решение на отрезке $[-2; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; 0) \cup (1; 2]$.

б) Решим неравенство $x^4 + x^3 + x^2 - 14x < 0$ на отрезке $[1; 3]$.

Рассмотрим функцию $g(x) = x^4 + x^3 + x^2 - 14x$. Нам нужно найти значения $x$, при которых $g(x) < 0$.

Разложим многочлен на множители, вынеся $x$ за скобки:

$x(x^3 + x^2 + x - 14) < 0$

Найдем корни многочлена $h(x) = x^3 + x^2 + x - 14$. Проверим целые корни среди делителей свободного члена (-14): $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$.

Проверим $x = 2$: $h(2) = 2^3 + 2^2 + 2 - 14 = 8 + 4 + 2 - 14 = 0$. Значит, $x=2$ является корнем.

Разделим многочлен $x^3 + x^2 + x - 14$ на двучлен $(x - 2)$:

$(x^3 + x^2 + x - 14) \div (x - 2) = x^2 + 3x + 7$.

Таким образом, неравенство принимает вид:

$x(x - 2)(x^2 + 3x + 7) < 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 7$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19$.

Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент ($1 > 0$) положителен, выражение $x^2 + 3x + 7$ всегда положительно при любых действительных $x$.

Значит, знак исходного выражения определяется знаком произведения $x(x - 2)$.

Решим неравенство $x(x - 2) < 0$. Корнями являются $x=0$ и $x=2$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется, когда $x$ находится между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in (0; 2)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с заданным отрезком $[1; 3]$.

$(0; 2) \cap [1; 3] = [1; 2)$.

Ответ: $x \in [1; 2)$.