Номер 11.54, страница 301 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.54, страница 301.

Условие.

11.54* a) $ \cos 3x > |\cos x| $, $ \left[ -\frac{5\pi}{6}; \frac{5\pi}{6} \right] $

б) $ \sin 3x > |\sin x| $, $ \left[ -\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\cos 3x > |\cos x|$ на отрезке $[-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $\cos x$.
1. Пусть $\cos x \ge 0$. На заданном отрезке $[-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ это условие выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и неравенство принимает вид:
$\cos 3x > \cos x$
$\cos 3x - \cos x > 0$
Воспользуемся формулой разности косинусов: $-2\sin(\frac{3x+x}{2})\sin(\frac{3x-x}{2}) > 0$
$-2\sin(2x)\sin(x) > 0$
$\sin(2x)\sin(x) < 0$
Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$:
$2\sin^2(x)\cos(x) < 0$
Поскольку $\sin^2(x) \ge 0$, это неравенство равносильно системе:$\begin{cases} \cos x < 0 \\ \sin x \neq 0 \end{cases}$
Однако мы рассматриваем промежуток $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, на котором $\cos x \ge 0$. Следовательно, в этом случае решений нет.
2. Пусть $\cos x < 0$. На заданном отрезке $[-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$ это условие выполняется для $x \in [-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}]$. В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и неравенство принимает вид:
$\cos 3x > -\cos x$
$\cos 3x + \cos x > 0$
Воспользуемся формулой суммы косинусов: $2\cos(\frac{3x+x}{2})\cos(\frac{3x-x}{2}) > 0$
$2\cos(2x)\cos(x) > 0$
$\cos(2x)\cos(x) > 0$
Поскольку в этом случае мы рассматриваем $x$, для которых $\cos x < 0$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы $\cos(2x) < 0$.
Решим неравенство $\cos(2x) < 0$:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{3\pi}{4} + \pi k$
При $k=0$ получаем интервал $(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$.
При $k=-1$ получаем интервал $(-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4})$.
Теперь найдем пересечение этих интервалов с множеством $x \in [-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}]$:
Пересечение $(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ с $(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}]$ дает $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$.
Пересечение $(-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4})$ с $[-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2})$ дает $(-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{2})$.
Объединяя результаты, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4})$.

б) Решим неравенство $\sin 3x > |\sin x|$ на отрезке $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $\sin x$.
На отрезке $[-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, $\sin x \ge 0$ при $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\pi] \cup [0, \frac{\pi}{2}]$, и $\sin x < 0$ при $x \in (-\pi, 0)$.
1. Пусть $\sin x \ge 0$, то есть $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\pi] \cup [0, \frac{\pi}{2}]$. В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и неравенство принимает вид:
$\sin 3x > \sin x$
$\sin 3x - \sin x > 0$
Воспользуемся формулой разности синусов: $2\sin(\frac{3x-x}{2})\cos(\frac{3x+x}{2}) > 0$
$2\sin(x)\cos(2x) > 0$
$\sin(x)\cos(2x) > 0$
Поскольку мы рассматриваем случай $\sin x \ge 0$, для выполнения неравенства нужно, чтобы $\sin x > 0$ и $\cos(2x) > 0$.
Условие $\sin x > 0$ на нашем множестве выполняется при $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\pi) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$.
Решим неравенство $\cos(2x) > 0$:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$-\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k$
При $k=0$ получаем $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$.
При $k=-1$ получаем $(-\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4})$.
Найдем пересечение этих интервалов с множеством $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\pi) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$:
Пересечение $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ с $(0, \frac{\pi}{2}]$ дает $(0, \frac{\pi}{4})$.
Пересечение $(-\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4})$ с $[-\frac{3\pi}{2}, -\pi)$ дает $(-\frac{5\pi}{4}, -\pi)$.
Решение в этом случае: $(-\frac{5\pi}{4}, -\pi) \cup (0, \frac{\pi}{4})$.
2. Пусть $\sin x < 0$, то есть $x \in (-\pi, 0)$. В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и неравенство принимает вид:
$\sin 3x > -\sin x$
$\sin 3x + \sin x > 0$
Воспользуемся формулой суммы синусов: $2\sin(\frac{3x+x}{2})\cos(\frac{3x-x}{2}) > 0$
$2\sin(2x)\cos(x) > 0$
Применим формулу синуса двойного угла: $2(2\sin x \cos x)\cos x > 0$
$4\sin x \cos^2 x > 0$
На рассматриваемом промежутке $(-\pi, 0)$ имеем $\sin x < 0$. Величина $\cos^2 x \ge 0$.
Следовательно, произведение $4\sin x \cos^2 x$ будет меньше либо равно нулю. Неравенство $4\sin x \cos^2 x > 0$ не может выполняться.
Значит, в этом случае решений нет.
Объединяя результаты из двух случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{4}, -\pi) \cup (0, \frac{\pi}{4})$.