Номер 11.47, страница 298 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.47, страница 298.
№11.47 (с. 298)
Условие. №11.47 (с. 298)
скриншот условия

11.47 ИССЛЕДУЕМ
При каких значениях параметра $a$ все решения неравенства $log_a(x - 2) > log_a(8 - x)$ содержатся в интервале (1; 5)?
Решение 1. №11.47 (с. 298)

Решение 2. №11.47 (с. 298)

Решение 3. №11.47 (с. 298)

Решение 4. №11.47 (с. 298)
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а основание $a$ — положительным и не равным единице. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 8 - x > 0 \\ a > 0 \\ a \neq 1 \end{cases}$
Из первых двух неравенств системы получаем $\begin{cases} x > 2 \\ x < 8 \end{cases}$, что означает, что ОДЗ для переменной $x$ — это интервал $(2; 8)$. Ограничения на параметр $a$ следующие: $a \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.
Теперь решим исходное неравенство $\log_a(x - 2) > \log_a(8 - x)$. Решение зависит от значения основания $a$, поэтому рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: $a > 1$
При $a > 1$ логарифмическая функция является возрастающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется: $x - 2 > 8 - x$. Решая это линейное неравенство, получаем $2x > 10$, и, следовательно, $x > 5$.
С учетом ОДЗ для $x$, то есть $x \in (2; 8)$, находим пересечение множеств: $x \in (5; +\infty) \cap (2; 8)$. Таким образом, множество решений для $x$ в этом случае — это интервал $(5; 8)$.
По условию задачи, все решения должны содержаться в интервале $(1; 5)$. Проверим, выполняется ли включение множеств: $(5; 8) \subseteq (1; 5)$. Это включение неверно, так как, например, число $6$ принадлежит множеству решений $(5; 8)$, но не принадлежит целевому интервалу $(1; 5)$. Следовательно, значения $a > 1$ не удовлетворяют условию задачи.
Случай 2: $0 < a < 1$
При $0 < a < 1$ логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x - 2 < 8 - x$. Решая это неравенство, получаем $2x < 10$, и, следовательно, $x < 5$.
С учетом ОДЗ для $x$ ($x \in (2; 8)$), находим пересечение: $x \in (-\infty; 5) \cap (2; 8)$. Таким образом, множество решений для $x$ в этом случае — это интервал $(2; 5)$.
По условию, все решения должны содержаться в интервале $(1; 5)$. Проверим включение множеств: $(2; 5) \subseteq (1; 5)$. Это включение верно, так как любой элемент из интервала $(2; 5)$ также принадлежит и интервалу $(1; 5)$.
Следовательно, все значения параметра $a$ из интервала $(0; 1)$ удовлетворяют условию задачи.
Объединив результаты, полученные в обоих случаях, мы заключаем, что условию задачи удовлетворяют только значения $a$ из второго случая.
Ответ: $a \in (0; 1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.47 расположенного на странице 298 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.47 (с. 298), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.