Номер 11.47, страница 298 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.47, страница 298.

Условие.

11.47 ИССЛЕДУЕМ

При каких значениях параметра $a$ все решения неравенства $log_a(x - 2) > log_a(8 - x)$ содержатся в интервале (1; 5)?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а основание $a$ — положительным и не равным единице. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 8 - x > 0 \\ a > 0 \\ a \neq 1 \end{cases}$

Из первых двух неравенств системы получаем $\begin{cases} x > 2 \\ x < 8 \end{cases}$, что означает, что ОДЗ для переменной $x$ — это интервал $(2; 8)$. Ограничения на параметр $a$ следующие: $a \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь решим исходное неравенство $\log_a(x - 2) > \log_a(8 - x)$. Решение зависит от значения основания $a$, поэтому рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $a > 1$

При $a > 1$ логарифмическая функция является возрастающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется: $x - 2 > 8 - x$. Решая это линейное неравенство, получаем $2x > 10$, и, следовательно, $x > 5$.

С учетом ОДЗ для $x$, то есть $x \in (2; 8)$, находим пересечение множеств: $x \in (5; +\infty) \cap (2; 8)$. Таким образом, множество решений для $x$ в этом случае — это интервал $(5; 8)$.

По условию задачи, все решения должны содержаться в интервале $(1; 5)$. Проверим, выполняется ли включение множеств: $(5; 8) \subseteq (1; 5)$. Это включение неверно, так как, например, число $6$ принадлежит множеству решений $(5; 8)$, но не принадлежит целевому интервалу $(1; 5)$. Следовательно, значения $a > 1$ не удовлетворяют условию задачи.

Случай 2: $0 < a < 1$

При $0 < a < 1$ логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x - 2 < 8 - x$. Решая это неравенство, получаем $2x < 10$, и, следовательно, $x < 5$.

С учетом ОДЗ для $x$ ($x \in (2; 8)$), находим пересечение: $x \in (-\infty; 5) \cap (2; 8)$. Таким образом, множество решений для $x$ в этом случае — это интервал $(2; 5)$.

По условию, все решения должны содержаться в интервале $(1; 5)$. Проверим включение множеств: $(2; 5) \subseteq (1; 5)$. Это включение верно, так как любой элемент из интервала $(2; 5)$ также принадлежит и интервалу $(1; 5)$.

Следовательно, все значения параметра $a$ из интервала $(0; 1)$ удовлетворяют условию задачи.

Объединив результаты, полученные в обоих случаях, мы заключаем, что условию задачи удовлетворяют только значения $a$ из второго случая.

Ответ: $a \in (0; 1)$.