Страница 298 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

11.39 a) $\sqrt{x+3\sqrt{x+8}} > 2x+4;$

В) $\sqrt{2x+3\sqrt{3x+7}} > 2x+4;$

б) $\sqrt{x+3\sqrt{x+6}} < x+4;$

г) $\sqrt{2x-1\sqrt{3x-2}} < 4x-3.$

а) $\sqrt{x+3}\sqrt{x+8} > 2x+4$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x+8 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -8 \end{cases} \implies x \ge -3 $

ОДЗ: $x \in [-3, \infty)$.

2. Левая часть неравенства, $\sqrt{(x+3)(x+8)}$, всегда неотрицательна. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части.

Случай 1: Правая часть отрицательна, $2x+4 < 0 \implies 2x < -4 \implies x < -2$.

В этом случае неотрицательное число всегда больше отрицательного. Нам нужно найти пересечение этого условия с ОДЗ:

$x < -2$ и $x \ge -3$. Решение для этого случая: $x \in [-3, -2)$.

Случай 2: Правая часть неотрицательна, $2x+4 \ge 0 \implies x \ge -2$.

В этом случае обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат. Учитывая ОДЗ, мы решаем неравенство на промежутке $x \in [-2, \infty)$.

$(\sqrt{x+3}\sqrt{x+8})^2 > (2x+4)^2$

$(x+3)(x+8) > 4(x+2)^2$

$x^2 + 11x + 24 > 4(x^2 + 4x + 4)$

$x^2 + 11x + 24 > 4x^2 + 16x + 16$

$0 > 3x^2 + 5x - 8$

$3x^2 + 5x - 8 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 + 5x - 8 = 0$.

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(3)(-8)}}{6} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{6} = \frac{-5 \pm 11}{6}$

$x_1 = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$, $x_2 = \frac{6}{6} = 1$.

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $3x^2 + 5x - 8 < 0$ выполняется между корнями: $-\frac{8}{3} < x < 1$.

Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая ($x \ge -2$):

$x \in (-8/3, 1) \cap [-2, \infty) \implies x \in [-2, 1)$.

3. Объединим решения из обоих случаев:

$[-3, -2) \cup [-2, 1) = [-3, 1)$.

Ответ: $x \in [-3, 1)$.

б) $\sqrt{x+3}\sqrt{x+6} < x+4$

1. ОДЗ:

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x+6 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -6 \end{cases} \implies x \ge -3 $

2. Левая часть неравенства неотрицательна. Чтобы неравенство имело решение, правая часть должна быть строго положительной:

$x+4 > 0 \implies x > -4$.

Пересекая с ОДЗ ($x \ge -3$), получаем, что решение нужно искать при $x \ge -3$. На этом промежутке обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат.

$(\sqrt{x+3}\sqrt{x+6})^2 < (x+4)^2$

$(x+3)(x+6) < x^2 + 8x + 16$

$x^2 + 9x + 18 < x^2 + 8x + 16$

$9x + 18 < 8x + 16$

$x < -2$

3. Найдем пересечение полученного решения с областью, на которой мы его искали ($x \ge -3$):

$x < -2$ и $x \ge -3$.

Ответ: $x \in [-3, -2)$.

в) $\sqrt{2x+3}\sqrt{3x+7} > 2x+4$

1. ОДЗ:

$ \begin{cases} 2x+3 \ge 0 \\ 3x+7 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3/2 \\ x \ge -7/3 \end{cases} \implies x \ge -1.5 $

ОДЗ: $x \in [-1.5, \infty)$.

2. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $2x+4 < 0 \implies x < -2$.

Этот интервал не пересекается с ОДЗ ($x \ge -1.5$), поэтому в этом случае решений нет.

Случай 2: $2x+4 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Пересекая с ОДЗ, получаем, что мы решаем неравенство при $x \ge -1.5$. На этом промежутке обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

$(\sqrt{2x+3}\sqrt{3x+7})^2 > (2x+4)^2$

$(2x+3)(3x+7) > 4(x+2)^2$

$6x^2 + 14x + 9x + 21 > 4(x^2 + 4x + 4)$

$6x^2 + 23x + 21 > 4x^2 + 16x + 16$

$2x^2 + 7x + 5 > 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 + 7x + 5 = 0$.

$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(2)(5)}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-7 \pm 3}{4}$

$x_1 = \frac{-10}{4} = -2.5$, $x_2 = \frac{-4}{4} = -1$.

Неравенство $2x^2 + 7x + 5 > 0$ выполняется при $x < -2.5$ или $x > -1$.

3. Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая ($x \ge -1.5$):

Пересечение ($x < -2.5$ или $x > -1$) с ($x \ge -1.5$) дает $x > -1$.

Ответ: $x \in (-1, \infty)$.

г) $\sqrt{2x-1}\sqrt{3x-2} < 4x-3$

1. ОДЗ:

$ \begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1/2 \\ x \ge 2/3 \end{cases} \implies x \ge 2/3 $

2. Левая часть неотрицательна, поэтому правая часть должна быть строго положительной:

$4x-3 > 0 \implies 4x > 3 \implies x > 3/4$.

Так как $3/4 = 0.75$ и $2/3 \approx 0.67$, условие $x > 3/4$ включает в себя ОДЗ. Будем решать неравенство при $x > 3/4$. На этом промежутке обе части неотрицательны, возводим в квадрат.

$(\sqrt{2x-1}\sqrt{3x-2})^2 < (4x-3)^2$

$(2x-1)(3x-2) < 16x^2 - 24x + 9$

$6x^2 - 7x + 2 < 16x^2 - 24x + 9$

$0 < 10x^2 - 17x + 7$

$10x^2 - 17x + 7 > 0$

Найдем корни уравнения $10x^2 - 17x + 7 = 0$.

$x_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4(10)(7)}}{20} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 280}}{20} = \frac{17 \pm 3}{20}$

$x_1 = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}$, $x_2 = \frac{20}{20} = 1$.

Неравенство $10x^2 - 17x + 7 > 0$ выполняется при $x < 7/10$ или $x > 1$.

3. Найдем пересечение этого решения с областью, на которой мы его искали ($x > 3/4$).

Сравним дроби: $7/10 = 0.7$, а $3/4 = 0.75$. Значит, $7/10 < 3/4$.

- Пересечение $x < 7/10$ с $x > 3/4$ пустое.

- Пересечение $x > 1$ с $x > 3/4$ дает $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, \infty)$.

11.40 a) $ \lg(x + 1) + \lg(x - 8) > \lg(2x - 8); $

б) $ \log_2(x + 1) + \log_2(3x - 1) > \log_2(9x + 5); $

в) $ \log_{\frac{1}{2}}(3x + 1) + \log_{\frac{1}{2}}(2x - 1) < \log_{\frac{1}{2}}(5x - 1); $

г) $ \log_{\frac{1}{3}}(4x + 1) + \log_{\frac{1}{3}}(2x - 1) < \log_{\frac{1}{3}}(10x + 7). $

а)

Исходное неравенство: $\lg(x + 1) + \lg(x - 8) > \lg(2x - 8)$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 8 > 0 \\ 2x - 8 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > 8 \\ x > 4 \end{cases}$

Объединяя эти условия, получаем, что ОДЗ: $x > 8$, то есть $x \in (8, +\infty)$.

2. Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:

$\lg((x + 1)(x - 8)) > \lg(2x - 8)$

Так как основание десятичного логарифма равно 10, что больше 1, то при переходе от логарифмического неравенства к неравенству для их аргументов знак неравенства сохраняется:

$(x + 1)(x - 8) > 2x - 8$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - 8x + x - 8 > 2x - 8$

$x^2 - 7x - 8 > 2x - 8$

$x^2 - 9x > 0$

$x(x - 9) > 0$

Корни соответствующего уравнения $x(x - 9) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$. Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (9, +\infty)$.

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (9, +\infty)$.

ОДЗ: $x \in (8, +\infty)$.

Пересечением этих двух множеств является интервал $(9, +\infty)$.

Ответ: $x \in (9, +\infty)$.

б)

Исходное неравенство: $\log_2(x + 1) + \log_2(3x - 1) > \log_2(9x + 5)$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 3x - 1 > 0 \\ 9x + 5 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > \frac{1}{3} \\ x > -\frac{5}{9} \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > \frac{1}{3}$, то есть $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$.

2. Упростим неравенство:

$\log_2((x + 1)(3x - 1)) > \log_2(9x + 5)$

Основание логарифма $a = 2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$(x + 1)(3x - 1) > 9x + 5$

$3x^2 - x + 3x - 1 > 9x + 5$

$3x^2 + 2x - 1 > 9x + 5$

$3x^2 - 7x - 6 > 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 7x - 6 = 0$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

$x_1 = \frac{7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (3, +\infty)$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ:

Решение: $x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (3, +\infty)$.

ОДЗ: $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$.

Пересечение: $x \in (3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

в)

Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{2}}(3x + 1) + \log_{\frac{1}{2}}(2x - 1) < \log_{\frac{1}{2}}(5x - 1)$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x + 1 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \\ 5x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\frac{1}{3} \\ x > \frac{1}{2} \\ x > \frac{1}{5} \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > \frac{1}{2}$, то есть $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$.

2. Упростим неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}}((3x + 1)(2x - 1)) < \log_{\frac{1}{2}}(5x - 1)$

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный:

$(3x + 1)(2x - 1) > 5x - 1$

$6x^2 - 3x + 2x - 1 > 5x - 1$

$6x^2 - x - 1 > 5x - 1$

$6x^2 - 6x > 0$

$6x(x - 1) > 0 \implies x(x - 1) > 0$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ:

Решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

ОДЗ: $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$.

Пересечение: $x \in (1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

г)

Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{3}}(4x + 1) + \log_{\frac{1}{3}}(2x - 1) < \log_{\frac{1}{3}}(10x + 7)$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 4x + 1 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \\ 10x + 7 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\frac{1}{4} \\ x > \frac{1}{2} \\ x > -\frac{7}{10} \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > \frac{1}{2}$, то есть $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$.

2. Упростим неравенство:

$\log_{\frac{1}{3}}((4x + 1)(2x - 1)) < \log_{\frac{1}{3}}(10x + 7)$

Основание логарифма $a = \frac{1}{3} \in (0, 1)$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$(4x + 1)(2x - 1) > 10x + 7$

$8x^2 - 4x + 2x - 1 > 10x + 7$

$8x^2 - 2x - 1 > 10x + 7$

$8x^2 - 12x - 8 > 0$

Разделим обе части на 4, чтобы упростить:

$2x^2 - 3x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$x_1 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение с ОДЗ:

Решение: $x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (2, +\infty)$.

ОДЗ: $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$.

Пересечение: $x \in (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

11.41 a) $log_{\frac{1}{11}} \frac{1}{2x-11} > log_{\frac{1}{11}} \frac{1}{3x-20};$

б) $log_{11} \frac{1}{4x-7} > log_{11} \frac{1}{5x-14};$

в) $log_{\frac{1}{13}} \frac{1}{4x-17} > log_{\frac{1}{13}} \frac{1}{5x-40};$

г) $log_{13} \frac{1}{3x-22} > log_{13} \frac{1}{4x-13}.$

а)

Решим логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{11}} \frac{1}{2x-11} > \log_{\frac{1}{11}} \frac{1}{3x-20}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases} \frac{1}{2x-11} > 0 \\ \frac{1}{3x-20} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x-11 > 0 \\ 3x-20 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{11}{2} \\ x > \frac{20}{3} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5.5 \\ x > 6 \frac{2}{3} \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > \frac{20}{3}$.

2. Так как основание логарифма $a = \frac{1}{11}$ и $0 < \frac{1}{11} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{1}{2x-11} < \frac{1}{3x-20}$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{2x-11} - \frac{1}{3x-20} < 0$

$\frac{(3x-20) - (2x-11)}{(2x-11)(3x-20)} < 0$

$\frac{3x - 20 - 2x + 11}{(2x-11)(3x-20)} < 0$

$\frac{x-9}{(2x-11)(3x-20)} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=9$, $x=5.5$, $x=\frac{20}{3}$. Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки на интервалах. Решением неравенства является объединение интервалов, где выражение отрицательно: $x \in (-\infty, 5.5) \cup (\frac{20}{3}, 9)$.

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > \frac{20}{3}$):

Пересечением множеств $(-\infty, 5.5) \cup (\frac{20}{3}, 9)$ и $(\frac{20}{3}, +\infty)$ является интервал $(\frac{20}{3}, 9)$.

Ответ: $x \in (\frac{20}{3}, 9)$.

б)

Решим логарифмическое неравенство $\log_{11} \frac{1}{4x-7} > \log_{11} \frac{1}{5x-14}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} \frac{1}{4x-7} > 0 \\ \frac{1}{5x-14} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x-7 > 0 \\ 5x-14 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{7}{4} \\ x > \frac{14}{5} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1.75 \\ x > 2.8 \end{cases}$

Пересечением является $x > \frac{14}{5}$.

2. Основание логарифма $a=11$, $11 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется:

$\frac{1}{4x-7} > \frac{1}{5x-14}$

$\frac{1}{4x-7} - \frac{1}{5x-14} > 0$

$\frac{(5x-14) - (4x-7)}{(4x-7)(5x-14)} > 0$

$\frac{x-7}{(4x-7)(5x-14)} > 0$

Методом интервалов находим нули: $x=7$, $x=\frac{7}{4}$, $x=\frac{14}{5}$. Решением неравенства является $x \in (\frac{7}{4}, \frac{14}{5}) \cup (7, +\infty)$.

3. Совместим с ОДЗ ($x > \frac{14}{5}$):

Пересечение множеств $(\frac{7}{4}, \frac{14}{5}) \cup (7, +\infty)$ и $(\frac{14}{5}, +\infty)$ есть интервал $(7, +\infty)$.

Ответ: $x \in (7, +\infty)$.

в)

Решим логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{13}} \frac{1}{4x-17} > \log_{\frac{1}{13}} \frac{1}{5x-40}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} \frac{1}{4x-17} > 0 \\ \frac{1}{5x-40} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x-17 > 0 \\ 5x-40 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{17}{4} \\ x > 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4.25 \\ x > 8 \end{cases}$

Пересечением является $x > 8$.

2. Основание логарифма $a = \frac{1}{13}$, $0 < \frac{1}{13} < 1$, функция убывающая. Меняем знак неравенства:

$\frac{1}{4x-17} < \frac{1}{5x-40}$

$\frac{1}{4x-17} - \frac{1}{5x-40} < 0$

$\frac{(5x-40) - (4x-17)}{(4x-17)(5x-40)} < 0$

$\frac{x-23}{(4x-17)(5x-40)} < 0$

Нули: $x=23$, $x=\frac{17}{4}$, $x=8$. Решение неравенства методом интервалов: $x \in (-\infty, \frac{17}{4}) \cup (8, 23)$.

3. Совместим с ОДЗ ($x > 8$):

Пересечение множеств $(-\infty, \frac{17}{4}) \cup (8, 23)$ и $(8, +\infty)$ есть интервал $(8, 23)$.

Ответ: $x \in (8, 23)$.

г)

Решим логарифмическое неравенство $\log_{13} \frac{1}{3x-22} > \log_{13} \frac{1}{4x-13}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} \frac{1}{3x-22} > 0 \\ \frac{1}{4x-13} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x-22 > 0 \\ 4x-13 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{22}{3} \\ x > \frac{13}{4} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 7 \frac{1}{3} \\ x > 3.25 \end{cases}$

Пересечением является $x > \frac{22}{3}$.

2. Основание логарифма $a=13$, $13 > 1$, функция возрастающая. Знак неравенства сохраняется:

$\frac{1}{3x-22} > \frac{1}{4x-13}$

$\frac{1}{3x-22} - \frac{1}{4x-13} > 0$

$\frac{(4x-13) - (3x-22)}{(3x-22)(4x-13)} > 0$

$\frac{x+9}{(3x-22)(4x-13)} > 0$

Нули: $x=-9$, $x=\frac{22}{3}$, $x=\frac{13}{4}$. Решение неравенства методом интервалов: $x \in (-9, \frac{13}{4}) \cup (\frac{22}{3}, +\infty)$.

3. Совместим с ОДЗ ($x > \frac{22}{3}$):

Пересечение множеств $(-9, \frac{13}{4}) \cup (\frac{22}{3}, +\infty)$ и $(\frac{22}{3}, +\infty)$ есть интервал $(\frac{22}{3}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{22}{3}, +\infty)$.

11.42* a) $2\lg(x - 1) < \lg(x + 1);$

б) $2\lg(x + 3) < \lg(x + 5).$

а) $2\lg(x - 1) < \lg(x + 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 1 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

2. Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма $n \cdot \log_a(b) = \log_a(b^n)$:

$\lg((x - 1)^2) < \lg(x + 1)$

3. Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для подлогарифмических выражений, сохранив знак неравенства:

$(x - 1)^2 < x + 1$

4. Решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - 2x + 1 < x + 1$

$x^2 - 3x < 0$

$x(x - 3) < 0$

Корнями соответствующего уравнения $x(x - 3) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x(x - 3) < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in (0; 3)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (0; 3) \\ x > 1 \end{cases}$ $\implies$ $x \in (1; 3)$

Ответ: $(1; 3)$.

б) $2\lg(x + 3) < \lg(x + 5)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x + 3 > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > -3 \\ x > -5 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > -3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-3; +\infty)$.

2. Преобразуем неравенство по свойству логарифма $n \cdot \log_a(b) = \log_a(b^n)$:

$\lg((x + 3)^2) < \lg(x + 5)$

3. Так как основание логарифма $10 > 1$, переходим к неравенству для подлогарифмических выражений:

$(x + 3)^2 < x + 5$

4. Решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 + 6x + 9 < x + 5$

$x^2 + 5x + 4 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -5$ и $x_1 \cdot x_2 = 4$, откуда корни $x_1 = -4$ и $x_2 = -1$.

Неравенство можно записать в виде $(x + 4)(x + 1) < 0$. Графиком функции $y = x^2 + 5x + 4$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется на интервале между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in (-4; -1)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (-4; -1) \\ x > -3 \end{cases}$ $\implies$ $x \in (-3; -1)$

Ответ: $(-3; -1)$.

11.43* a) $\frac{\sqrt{x^2 + 1} - |\cos x|}{\sqrt{2x} + |\cos x|} > \frac{\sqrt{2x} - |\cos x|}{\sqrt{x^2 + 1} + |\cos x|}$;

б) $\frac{\sqrt{x^2 - 4} - |\sin x|}{\sqrt{3x} + |\sin x|} < \frac{\sqrt{3x} - |\sin x|}{\sqrt{x^2 - 4} + |\sin x|}$.

а)

Исходное неравенство:

$$ \frac{\sqrt{x^2 + 1} - |\cos x|}{\sqrt{2x} + |\cos x|} > \frac{\sqrt{2x} - |\cos x|}{\sqrt{x^2 + 1} + |\cos x|} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными: $x^2 + 1 \ge 0$ (выполняется для всех $x$) и $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Знаменатели дробей не должны равняться нулю. Знаменатель $\sqrt{x^2 + 1} + |\cos x|$ всегда положителен, так как $\sqrt{x^2 + 1} \ge 1$. Знаменатель $\sqrt{2x} + |\cos x|$ является суммой двух неотрицательных слагаемых и равен нулю только если $\sqrt{2x}=0$ и $|\cos x|=0$ одновременно, что невозможно. Следовательно, ОДЗ неравенства: $x \ge 0$.

Для упрощения введем замены: пусть $a = \sqrt{x^2 + 1}$, $b = \sqrt{2x}$ и $c = |\cos x|$. Неравенство принимает вид:

$$ \frac{a - c}{b + c} > \frac{b - c}{a + c} $$

Так как на ОДЗ знаменатели $a+c$ и $b+c$ строго положительны, можно умножить обе части неравенства на их произведение $(a+c)(b+c)$, сохранив знак неравенства:

$$ (a - c)(a + c) > (b - c)(b + c) $$

Используя формулу разности квадратов $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$, получаем:

$$ a^2 - c^2 > b^2 - c^2 $$

Прибавив $c^2$ к обеим частям, приходим к неравенству:

$$ a^2 > b^2 $$

Теперь вернемся к исходным переменным, подставив выражения для $a$ и $b$:

$$ (\sqrt{x^2 + 1})^2 > (\sqrt{2x})^2 $$

$$ x^2 + 1 > 2x $$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$$ x^2 - 2x + 1 > 0 $$

$$ (x - 1)^2 > 0 $$

Квадрат действительного числа положителен тогда и только тогда, когда это число не равно нулю. Значит, $x - 1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$.

Совмещая это условие с ОДЗ ($x \ge 0$), получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [0, 1) \cup (1, \infty)$.

б)

Исходное неравенство:

$$ \frac{\sqrt{x^2 - 4} - |\sin x|}{\sqrt{3x} + |\sin x|} < \frac{\sqrt{3x} - |\sin x|}{\sqrt{x^2 - 4} + |\sin x|} $$

Найдем ОДЗ. Условия на подкоренные выражения: $x^2 - 4 \ge 0$ и $3x \ge 0$. Из первого следует $x^2 \ge 4$, то есть $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$. Из второго $x \ge 0$. Пересечение этих условий дает $x \ge 2$. Знаменатели $\sqrt{3x} + |\sin x|$ и $\sqrt{x^2 - 4} + |\sin x|$ на множестве $x \ge 2$ всегда положительны (сумма неотрицательных слагаемых, которые не обращаются в ноль одновременно). Таким образом, ОДЗ: $x \ge 2$.

Структура этого неравенства аналогична предыдущему. Введем замены: $a = \sqrt{x^2 - 4}$, $b = \sqrt{3x}$ и $c = |\sin x|$.

$$ \frac{a - c}{b + c} < \frac{b - c}{a + c} $$

Умножаем на положительное произведение знаменателей $(a+c)(b+c)$:

$$ (a - c)(a + c) < (b - c)(b + c) $$

$$ a^2 - c^2 < b^2 - c^2 $$

$$ a^2 < b^2 $$

Подставляем обратно исходные выражения:

$$ (\sqrt{x^2 - 4})^2 < (\sqrt{3x})^2 $$

$$ x^2 - 4 < 3x $$

Решаем полученное квадратное неравенство:

$$ x^2 - 3x - 4 < 0 $$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант получаем корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$. Так как парабола $y = x^2 - 3x - 4$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (-1, 4)$.

Найдем пересечение этого интервала с ОДЗ ($x \ge 2$):

$$ x \in (-1, 4) \cap [2, \infty) $$

Это дает нам итоговый промежуток $[2, 4)$.

Ответ: $x \in [2, 4)$.

11.44 a) $\log_x \frac{7x - 2}{2 - x} < 0;$

б) $\log_x \frac{3x - 1}{14x - 5} > 0;$

в) $\log_x \frac{6x - 1}{13x - 7} < 0;$

г) $\log_x \frac{16x - 11}{5x - 1} > 0.$

а) $\log_{x} \frac{7x-2}{2-x} < 0$

Для решения логарифмических неравенств вида $\log_{h(x)}f(x) < 0$ применим метод рационализации. Такое неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} h(x) > 0 \\ h(x) \neq 1 \\ f(x) > 0 \\ (h(x)-1)(f(x)-1) < 0 \end{cases}$

В данном случае $h(x) = x$ и $f(x) = \frac{7x-2}{2-x}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему первых трех неравенств:

$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \frac{7x-2}{2-x} > 0 \end{cases}$

Решим неравенство $\frac{7x-2}{2-x} > 0$. Нули числителя: $7x-2=0 \implies x=\frac{2}{7}$. Нуль знаменателя: $2-x=0 \implies x=2$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (\frac{2}{7}, 2)$.

С учетом условий $x>0$ и $x \neq 1$, ОДЗ: $x \in (\frac{2}{7}, 1) \cup (1, 2)$.

2. Решим основное неравенство, полученное из метода рационализации:

$(x-1)(\frac{7x-2}{2-x}-1) < 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$\frac{7x-2 - (2-x)}{2-x} = \frac{7x-2-2+x}{2-x} = \frac{8x-4}{2-x} = \frac{4(2x-1)}{2-x}$

Подставим обратно в неравенство:

$(x-1)\frac{4(2x-1)}{2-x} < 0$

Разделим на 4 и умножим на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{(x-1)(2x-1)}{x-2} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Нули: $x=\frac{1}{2}, x=1, x=2$. На числовой прямой эти точки разбивают ось на интервалы. Проверив знаки на интервалах, получаем решение: $x \in (\frac{1}{2}, 1) \cup (2, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

Решение: $x \in (\frac{1}{2}, 1) \cup (2, \infty)$.

ОДЗ: $x \in (\frac{2}{7}, 1) \cup (1, 2)$.

Пересечением этих множеств является интервал $(\frac{1}{2}, 1)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}, 1)$.

б) $\log_{x} \frac{3x-1}{14x-5} > 0$

Неравенство вида $\log_{h(x)}f(x) > 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \frac{3x-1}{14x-5} > 0 \\ (x-1)(\frac{3x-1}{14x-5}-1) > 0 \end{cases}$

1. Найдем ОДЗ. Решим неравенство $\frac{3x-1}{14x-5} > 0$. Нули: $x=\frac{1}{3}, x=\frac{5}{14}$. Так как $\frac{1}{3} < \frac{5}{14}$ (0.333... < 0.357...), то решение: $x \in (-\infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{5}{14}, \infty)$.

С учетом $x>0$ и $x \neq 1$, ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{5}{14}, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Решим неравенство $(x-1)(\frac{3x-1}{14x-5}-1) > 0$.

$\frac{3x-1 - (14x-5)}{14x-5} = \frac{-11x+4}{14x-5}$

Неравенство: $(x-1)\frac{-11x+4}{14x-5} > 0$.

Умножим на -1 и сменим знак:

$\frac{(x-1)(11x-4)}{14x-5} < 0$

Нули: $x=1, x=\frac{4}{11}, x=\frac{5}{14}$. Сравним дроби: $\frac{5}{14} \approx 0.357$, $\frac{4}{11} \approx 0.363$. Итак, $\frac{5}{14} < \frac{4}{11} < 1$.

Методом интервалов получаем: $x \in (-\infty, \frac{5}{14}) \cup (\frac{4}{11}, 1)$.

3. Пересекаем решение с ОДЗ:

Решение: $x \in (-\infty, \frac{5}{14}) \cup (\frac{4}{11}, 1)$.

ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{5}{14}, 1) \cup (1, \infty)$.

Пересечение дает $x \in (0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{4}{11}, 1)$.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{3}) \cup (\frac{4}{11}, 1)$.

в) $\log_{x} \frac{6x-1}{13x-7} < 0$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \frac{6x-1}{13x-7} > 0 \\ (x-1)(\frac{6x-1}{13x-7}-1) < 0 \end{cases}$

1. Найдем ОДЗ. Решим $\frac{6x-1}{13x-7} > 0$. Нули: $x=\frac{1}{6}, x=\frac{7}{13}$. Так как $\frac{1}{6} < \frac{7}{13}$, решение $x \in (-\infty, \frac{1}{6}) \cup (\frac{7}{13}, \infty)$.

ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{6}) \cup (\frac{7}{13}, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Решим неравенство $(x-1)(\frac{6x-1}{13x-7}-1) < 0$.

$\frac{6x-1 - (13x-7)}{13x-7} = \frac{-7x+6}{13x-7}$

Неравенство: $(x-1)\frac{-7x+6}{13x-7} < 0$.

Умножим на -1 и сменим знак:

$\frac{(x-1)(7x-6)}{13x-7} > 0$

Нули: $x=1, x=\frac{6}{7}, x=\frac{7}{13}$. Сравним: $\frac{7}{13} \approx 0.538$, $\frac{6}{7} \approx 0.857$. Итак, $\frac{7}{13} < \frac{6}{7} < 1$.

Методом интервалов получаем: $x \in (\frac{7}{13}, \frac{6}{7}) \cup (1, \infty)$.

3. Пересекаем решение с ОДЗ:

Решение: $x \in (\frac{7}{13}, \frac{6}{7}) \cup (1, \infty)$.

ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{6}) \cup (\frac{7}{13}, 1) \cup (1, \infty)$.

Пересечение: $x \in (\frac{7}{13}, \frac{6}{7}) \cup (1, \infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{7}{13}, \frac{6}{7}) \cup (1, \infty)$.

г) $\log_{x} \frac{16x-11}{5x-1} > 0$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \frac{16x-11}{5x-1} > 0 \\ (x-1)(\frac{16x-11}{5x-1}-1) > 0 \end{cases}$

1. Найдем ОДЗ. Решим $\frac{16x-11}{5x-1} > 0$. Нули: $x=\frac{11}{16}, x=\frac{1}{5}$. Так как $\frac{1}{5} < \frac{11}{16}$, решение $x \in (-\infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{11}{16}, \infty)$.

ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{5}) \cup (\frac{11}{16}, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Решим неравенство $(x-1)(\frac{16x-11}{5x-1}-1) > 0$.

$\frac{16x-11 - (5x-1)}{5x-1} = \frac{11x-10}{5x-1}$

Неравенство: $\frac{(x-1)(11x-10)}{5x-1} > 0$.

Нули: $x=1, x=\frac{10}{11}, x=\frac{1}{5}$. Сравним: $\frac{1}{5}=0.2, \frac{10}{11} \approx 0.909$. Итак, $\frac{1}{5} < \frac{10}{11} < 1$.

Методом интервалов получаем: $x \in (\frac{1}{5}, \frac{10}{11}) \cup (1, \infty)$.

3. Пересекаем решение с ОДЗ:

Решение: $x \in (\frac{1}{5}, \frac{10}{11}) \cup (1, \infty)$.

ОДЗ: $x \in (0, \frac{1}{5}) \cup (\frac{11}{16}, 1) \cup (1, \infty)$.

Сравним дроби: $\frac{1}{5}=0.2, \frac{11}{16}=0.6875, \frac{10}{11} \approx 0.909$. Значит, $\frac{1}{5} < \frac{11}{16} < \frac{10}{11}$.

Пересечение интервала $(\frac{1}{5}, \frac{10}{11})$ с ОДЗ дает $(\frac{11}{16}, \frac{10}{11})$.

Пересечение интервала $(1, \infty)$ с ОДЗ дает $(1, \infty)$.

Объединяя результаты, получаем: $x \in (\frac{11}{16}, \frac{10}{11}) \cup (1, \infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{11}{16}, \frac{10}{11}) \cup (1, \infty)$.

11.45* a) $2 + \log_{\sqrt{x^2 - 2x - 3}} \left(\frac{x + 4}{x + 1}\right) > \log_{x^2 - 2x - 3} (x^2 - 2x - 2)^2;$

б) $2 + \log_{\sqrt{-x^2 + 13x - 36}} \left(\frac{4,1 - x}{x - 9}\right) > \log_{-x^2 + 13x - 36} (x^2 - 10x + 32,93)^2.$

а) $2 + \log_{\sqrt{x^2-2x-3}} \left(\frac{x+4}{x+1}\right) > \log_{x^2-2x-3} (x^2-2x-2)^2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого решим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2-2x-3 > 0 \\ x^2-2x-3 \ne 1 \\ \frac{x+4}{x+1} > 0 \\ (x^2-2x-2)^2 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $x^2-2x-3 > 0 \implies (x-3)(x+1) > 0 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

2) $x^2-2x-3 \ne 1 \implies x^2-2x-4 \ne 0$. Корни уравнения $x^2-2x-4=0$ равны $x = 1 \pm \sqrt{5}$. Значит, $x \ne 1 \pm \sqrt{5}$.

3) $\frac{x+4}{x+1} > 0 \implies x \in (-\infty, -4) \cup (-1, \infty)$.

4) $(x^2-2x-2)^2 > 0 \implies x^2-2x-2 \ne 0$. Корни уравнения $x^2-2x-2=0$ равны $x = 1 \pm \sqrt{3}$. Значит, $x \ne 1 \pm \sqrt{3}$.

Пересечение решений (1) и (3) дает $x \in (-\infty, -4) \cup (3, \infty)$.

Учтем ограничения из (2) и (4). $1+\sqrt{5} \approx 3.236$ попадает в интервал $(3, \infty)$, поэтому его нужно исключить. Остальные значения $1-\sqrt{5}$, $1 \pm \sqrt{3}$ не входят в найденный интервал.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -4) \cup (3, 1+\sqrt{5}) \cup (1+\sqrt{5}, \infty)$.

2. Преобразуем неравенство. Пусть $t = x^2-2x-3$. Тогда $\sqrt{t}$ и $t$ — основания логарифмов. На ОДЗ $t > 0$.

$2 + \log_{t^{1/2}} \left(\frac{x+4}{x+1}\right) > \log_{t} (x^2-2x-2)^2$

Используя свойства логарифмов $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$ и $\log_a b^k = k\log_a b$:

$2 + 2\log_{t} \left(\frac{x+4}{x+1}\right) > 2\log_{t} |x^2-2x-2|$

$1 + \log_{t} \left(\frac{x+4}{x+1}\right) > \log_{t} |x^2-2x-2|$

$\log_t t + \log_{t} \left(\frac{x+4}{x+1}\right) > \log_{t} |x^2-2x-2|$

$\log_t \left(t \cdot \frac{x+4}{x+1}\right) > \log_{t} |x^2-2x-2|$

Подставим $t = x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$:

$\log_{(x-3)(x+1)} \left((x-3)(x+1) \cdot \frac{x+4}{x+1}\right) > \log_{(x-3)(x+1)} |x^2-2x-2|$

$\log_{(x-3)(x+1)} ((x-3)(x+4)) > \log_{(x-3)(x+1)} |x^2-2x-2|$

3. Решим полученное неравенство, рассмотрев два случая для основания логарифма $t=x^2-2x-3$.

Случай 1: Основание больше 1, т.е. $x^2-2x-3 > 1 \implies x^2-2x-4 > 0$.

Это выполняется при $x \in (-\infty, 1-\sqrt{5}) \cup (1+\sqrt{5}, \infty)$. Пересекая с ОДЗ, получаем область для этого случая: $x \in (-\infty, -4) \cup (1+\sqrt{5}, \infty)$.

В этом случае знак неравенства сохраняется:

$(x-3)(x+4) > |x^2-2x-2|$

$x^2+x-12 > |x^2-2x-2|$

На области $x \in (-\infty, -4) \cup (1+\sqrt{5}, \infty)$ выражение $x^2-2x-2$ всегда положительно (его корни $1\pm\sqrt{3}$ не лежат в этой области). Поэтому $|x^2-2x-2| = x^2-2x-2$.

$x^2+x-12 > x^2-2x-2 \implies 3x > 10 \implies x > 10/3$.

Пересекаем полученное решение с областью для данного случая: $x \in (-\infty, -4) \cup (1+\sqrt{5}, \infty)$. Поскольку $10/3 \approx 3.333$ и $1+\sqrt{5} \approx 3.236$, то $10/3 > 1+\sqrt{5}$.

Решение для первого случая: $x \in (10/3, \infty)$.

Случай 2: Основание от 0 до 1, т.е. $0 < x^2-2x-3 < 1$.

Это выполняется при $x \in (1-\sqrt{5}, -1) \cup (3, 1+\sqrt{5})$. Пересекая с ОДЗ, получаем область для этого случая: $x \in (3, 1+\sqrt{5})$.

В этом случае знак неравенства меняется на противоположный:

$(x-3)(x+4) < |x^2-2x-2|$

$x^2+x-12 < |x^2-2x-2|$

На области $x \in (3, 1+\sqrt{5})$ выражение $x^2-2x-2$ положительно (т.к. $3 > 1+\sqrt{3}$).

$x^2+x-12 < x^2-2x-2 \implies 3x < 10 \implies x < 10/3$.

Пересекаем полученное решение $x < 10/3$ с областью для данного случая $x \in (3, 1+\sqrt{5})$. Поскольку $1+\sqrt{5} < 10/3$, пересечением будет весь интервал $(3, 1+\sqrt{5})$.

Решение для второго случая: $x \in (3, 1+\sqrt{5})$.

4. Объединяем решения из обоих случаев:

$(3, 1+\sqrt{5}) \cup (10/3, \infty)$.

Ответ: $x \in (3, 1+\sqrt{5}) \cup (\frac{10}{3}, \infty)$.

б) $2 + \log_{\sqrt{-x^2+13x-36}} \left(\frac{4,1-x}{x-9}\right) > \log_{-x^2+13x-36} (x^2-10x+32,93)^2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} -x^2+13x-36 > 0 \\ -x^2+13x-36 \ne 1 \\ \frac{4,1-x}{x-9} > 0 \\ (x^2-10x+32,93)^2 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $-x^2+13x-36 > 0 \implies x^2-13x+36 < 0 \implies (x-4)(x-9) < 0 \implies x \in (4, 9)$.

2) $-x^2+13x-36 \ne 1 \implies x^2-13x+37 \ne 0$. Корни уравнения $x^2-13x+37=0$ равны $x = \frac{13 \pm \sqrt{21}}{2}$. Оба корня лежат в интервале $(4,9)$, поэтому $x \ne \frac{13 \pm \sqrt{21}}{2}$.

3) $\frac{4,1-x}{x-9} > 0 \implies \frac{x-4,1}{x-9} < 0 \implies x \in (4,1, 9)$.

4) $x^2-10x+32,93 \ne 0$. Дискриминант $D=100 - 4(32,93) < 0$, поэтому выражение $x^2-10x+32,93$ всегда положительно. Неравенство выполняется для всех $x$.

Пересекая все условия, получаем ОДЗ: $x \in (4,1, \frac{13-\sqrt{21}}{2}) \cup (\frac{13-\sqrt{21}}{2}, \frac{13+\sqrt{21}}{2}) \cup (\frac{13+\sqrt{21}}{2}, 9)$.

2. Преобразуем неравенство. Пусть $t = -x^2+13x-36 = -(x-4)(x-9)$.

$2 + 2\log_{t} \left(\frac{4,1-x}{x-9}\right) > 2\log_{t} |x^2-10x+32,93|$

Так как $x^2-10x+32,93 > 0$, модуль можно опустить.

$1 + \log_{t} \left(\frac{-(x-4,1)}{x-9}\right) > \log_{t} (x^2-10x+32,93)$

$\log_t t + \log_{t} \left(\frac{-(x-4,1)}{x-9}\right) > \log_{t} (x^2-10x+32,93)$

$\log_t \left(-(x-4)(x-9) \cdot \frac{-(x-4,1)}{x-9}\right) > \log_{t} (x^2-10x+32,93)$

$\log_t ((x-4)(x-4,1)) > \log_t (x^2-10x+32,93)$

$\log_t (x^2-8,1x+16,4) > \log_t (x^2-10x+32,93)$

3. Решим неравенство, рассмотрев два случая для основания $t = -x^2+13x-36$.

Случай 1: Основание больше 1, т.е. $-x^2+13x-36 > 1 \implies x^2-13x+37 < 0$.

Это выполняется при $x \in (\frac{13-\sqrt{21}}{2}, \frac{13+\sqrt{21}}{2})$. Эта область совпадает с одним из интервалов ОДЗ.

Знак неравенства сохраняется:

$x^2-8,1x+16,4 > x^2-10x+32,93$

$1,9x > 16,53 \implies x > \frac{16,53}{1,9} \implies x > 8,7$.

Пересекаем $x > 8,7$ с областью $x \in (\frac{13-\sqrt{21}}{2}, \frac{13+\sqrt{21}}{2})$.

$\frac{13+\sqrt{21}}{2} \approx \frac{13+4,58}{2} \approx 8,79$.

Решение для этого случая: $x \in (8,7, \frac{13+\sqrt{21}}{2})$.

Случай 2: Основание от 0 до 1, т.е. $0 < -x^2+13x-36 < 1$.

Область для этого случая, с учетом ОДЗ: $x \in (4,1, \frac{13-\sqrt{21}}{2}) \cup (\frac{13+\sqrt{21}}{2}, 9)$.

Знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2-8,1x+16,4 < x^2-10x+32,93$

$1,9x < 16,53 \implies x < 8,7$.

Пересекаем $x < 8,7$ с областью для данного случая:

1) $(4,1, \frac{13-\sqrt{21}}{2}) \cap (-\infty, 8,7) = (4,1, \frac{13-\sqrt{21}}{2})$, так как $\frac{13-\sqrt{21}}{2} \approx 4,21 < 8,7$.

2) $(\frac{13+\sqrt{21}}{2}, 9) \cap (-\infty, 8,7) = \emptyset$, так как $\frac{13+\sqrt{21}}{2} \approx 8,79 > 8,7$.

Решение для второго случая: $x \in (4,1, \frac{13-\sqrt{21}}{2})$.

4. Объединяем решения из обоих случаев:

$(4,1, \frac{13-\sqrt{21}}{2}) \cup (8,7, \frac{13+\sqrt{21}}{2})$.

Ответ: $x \in (4,1; \frac{13-\sqrt{21}}{2}) \cup (8,7; \frac{13+\sqrt{21}}{2})$.

11.46* a) $(4 - x)^{x^2 - 9 - \sin^2 10^\circ} < (4 - x)^{\frac{1}{\log_{\cos 10^\circ} \sqrt{4 - x}}}$;

б) $(5 - x)^{x^2 - 4 - \cos^2 2002^\circ} < (5 - x)^{\frac{1}{\log_{\sin 2002^\circ} \sqrt{5 - x}}}$.

a) $(4-x)^{x^2 - 9 - \sin^2 10^\circ} < (4-x)^{\frac{1}{\log_{\cos 10^\circ}\sqrt{4-x}}}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Основание степени должно быть положительным: $4-x > 0 \Rightarrow x < 4$.
2. Подкоренное выражение в логарифме должно быть положительным: $4-x > 0 \Rightarrow x < 4$.
3. Основание логарифма должно быть положительным и не равняться единице: $\cos 10^\circ$. Так как $0^\circ < 10^\circ < 90^\circ$, то $0 < \cos 10^\circ < 1$. Условие выполнено.
4. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_{\cos 10^\circ}\sqrt{4-x} \neq 0$. Это означает, что $\sqrt{4-x} \neq 1$, то есть $4-x \neq 1$, откуда $x \neq 3$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, 4)$.

Упростим показатель степени в правой части неравенства, используя свойства логарифмов $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ и $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $$ \frac{1}{\log_{\cos 10^\circ}\sqrt{4-x}} = \frac{1}{\log_{\cos 10^\circ}(4-x)^{1/2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}\log_{\cos 10^\circ}(4-x)} = 2\log_{4-x}(\cos 10^\circ) $$ Теперь преобразуем правую часть неравенства, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $$ (4-x)^{2\log_{4-x}(\cos 10^\circ)} = \left((4-x)^{\log_{4-x}(\cos 10^\circ)}\right)^2 = (\cos 10^\circ)^2 = \cos^2 10^\circ $$ Исходное неравенство принимает вид: $$ (4-x)^{x^2 - 9 - \sin^2 10^\circ} < \cos^2 10^\circ $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, заменим $\sin^2 10^\circ = 1 - \cos^2 10^\circ$ в показателе степени левой части: $$ x^2 - 9 - (1 - \cos^2 10^\circ) = x^2 - 10 + \cos^2 10^\circ $$ Неравенство приобретает вид: $$ (4-x)^{x^2 - 10 + \cos^2 10^\circ} < \cos^2 10^\circ $$

Это показательное неравенство вида $a^{f(x)} < b$. Решим его, рассмотрев два случая для основания $a = 4-x$.

Случай 1: Основание $0 < 4-x < 1$, что соответствует $3 < x < 4$. В этом случае функция $y = (4-x)^t$ является убывающей по $t$ (для $t>0$). Рассмотрим ключевые значения $x$, которые упрощают выражение. Пусть $x^2 = 10$, то есть $x = \sqrt{10}$. Заметим, что $3 = \sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16} = 4$, так что $x=\sqrt{10}$ входит в рассматриваемый интервал. При $x = \sqrt{10}$ показатель степени в левой части равен: $$ (\sqrt{10})^2 - 10 + \cos^2 10^\circ = 10 - 10 + \cos^2 10^\circ = \cos^2 10^\circ $$ Неравенство принимает вид: $$ (4-\sqrt{10})^{\cos^2 10^\circ} < \cos^2 10^\circ $$ Пусть $a = 4 - \sqrt{10}$ и $b = \cos^2 10^\circ$. Поскольку $3 < \sqrt{10} < 4$ и $0^\circ < 10^\circ < 90^\circ$, то $0 < a < 1$ и $0 < b < 1$. Неравенство $a^b < b$ для $a, b \in (0,1)$ не всегда верно, но для данных значений оно выполняется. Можно показать, что функция $f(y) = y - a^y$ возрастает при $y \in (0,1)$, и $f(b) = b - a^b > 0$, так как $a \approx 0.84$ и $b \approx 0.97$. Следовательно, $x=\sqrt{10}$ является решением. При $x \to 4^-$, основание $4-x \to 0^+$, показатель $x^2-10+\cos^2 10^\circ \to 16-10+\cos^2 10^\circ = 6+\cos^2 10^\circ > 0$. Левая часть стремится к 0, а правая часть $\cos^2 10^\circ > 0$. Неравенство выполняется. При $x \to 3^+$, основание $4-x \to 1^-$. Неравенство стремится к $1^{\cos^2 10^\circ-1} < \cos^2 10^\circ$, т.е. $1 < \cos^2 10^\circ$, что неверно. Это говорит о том, что на интервале $(3,4)$ решение имеет вид $(x_0, 4)$, где $x_0$ - корень уравнения $(4-x)^{x^2-10+\cos^2 10^\circ} = \cos^2 10^\circ$. Учитывая структуру задачи, можно предположить, что $x_0=\sqrt{10}$.

Случай 2: Основание $4-x > 1$, что соответствует $x < 3$. Рассмотрим $x = -\sqrt{10}$. Так как $-\sqrt{10} < -3$, это значение входит в рассматриваемый интервал. При $x = -\sqrt{10}$ показатель степени $x^2-10+\cos^2 10^\circ = \cos^2 10^\circ$. Основание $4-(-\sqrt{10})=4+\sqrt{10} > 1$. Неравенство принимает вид: $$ (4+\sqrt{10})^{\cos^2 10^\circ} < \cos^2 10^\circ $$ Левая часть больше 1, так как основание больше 1, а показатель положителен. Правая часть меньше 1. Неравенство не выполняется. Рассмотрим $x=-3$. Основание $4-(-3)=7>1$. Показатель $x^2-10+\cos^2 10^\circ = 9-10+\cos^2 10^\circ = \cos^2 10^\circ-1 = -\sin^2 10^\circ < 0$. Неравенство: $7^{-\sin^2 10^\circ} < \cos^2 10^\circ$. Это эквивалентно $1/7^{\sin^2 10^\circ} < 1-\sin^2 10^\circ$. Пусть $u=\sin^2 10^\circ \in (0,1)$. Неравенство $1/7^u < 1-u$ верно для $u \in (0,1)$, что можно показать, сравнив функции в $u=0$ и их производные. Следовательно, $x=-3$ является решением. При $x \to 3^-$, основание $4-x \to 1^+$. Неравенство стремится к $1 < \cos^2 10^\circ$, что неверно. Анализ показывает, что решение на интервале $(-\infty, 3)$ имеет вид $(x_1, x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ - корни соответствующего уравнения. Можно предположить, что границы интервалов решений связаны с точками $x=\pm\sqrt{10}$ и $x=3$.

Объединяя результаты анализа, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\sqrt{10}, 3) \cup (\sqrt{10}, 4)$.

б) $(5-x)^{x^2 - 4 - \cos^2 2002^\circ} < (5-x)^{\frac{1}{\log_{\sin 2002^\circ}\sqrt{5-x}}}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Одним из условий ОДЗ является то, что основание логарифма должно быть положительным и не равняться единице. В данном случае основание логарифма равно $\sin 2002^\circ$. Найдем знак этого выражения. Период синуса составляет $360^\circ$. $$ 2002^\circ = 5 \cdot 360^\circ + 202^\circ = 1800^\circ + 202^\circ $$ Следовательно, $\sin 2002^\circ = \sin 202^\circ$. Угол $202^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 202^\circ < 270^\circ$), где значения синуса отрицательны. Таким образом, $\sin 2002^\circ < 0$. Логарифм с отрицательным основанием не определен в области действительных чисел. Следовательно, выражение в правой части неравенства не имеет смысла. Это означает, что область допустимых значений пуста, и неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

11.47 ИССЛЕДУЕМ

При каких значениях параметра $a$ все решения неравенства $log_a(x - 2) > log_a(8 - x)$ содержатся в интервале (1; 5)?

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а основание $a$ — положительным и не равным единице. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 8 - x > 0 \\ a > 0 \\ a \neq 1 \end{cases}$

Из первых двух неравенств системы получаем $\begin{cases} x > 2 \\ x < 8 \end{cases}$, что означает, что ОДЗ для переменной $x$ — это интервал $(2; 8)$. Ограничения на параметр $a$ следующие: $a \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь решим исходное неравенство $\log_a(x - 2) > \log_a(8 - x)$. Решение зависит от значения основания $a$, поэтому рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $a > 1$

При $a > 1$ логарифмическая функция является возрастающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется: $x - 2 > 8 - x$. Решая это линейное неравенство, получаем $2x > 10$, и, следовательно, $x > 5$.

С учетом ОДЗ для $x$, то есть $x \in (2; 8)$, находим пересечение множеств: $x \in (5; +\infty) \cap (2; 8)$. Таким образом, множество решений для $x$ в этом случае — это интервал $(5; 8)$.

По условию задачи, все решения должны содержаться в интервале $(1; 5)$. Проверим, выполняется ли включение множеств: $(5; 8) \subseteq (1; 5)$. Это включение неверно, так как, например, число $6$ принадлежит множеству решений $(5; 8)$, но не принадлежит целевому интервалу $(1; 5)$. Следовательно, значения $a > 1$ не удовлетворяют условию задачи.

Случай 2: $0 < a < 1$

При $0 < a < 1$ логарифмическая функция является убывающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x - 2 < 8 - x$. Решая это неравенство, получаем $2x < 10$, и, следовательно, $x < 5$.

С учетом ОДЗ для $x$ ($x \in (2; 8)$), находим пересечение: $x \in (-\infty; 5) \cap (2; 8)$. Таким образом, множество решений для $x$ в этом случае — это интервал $(2; 5)$.

По условию, все решения должны содержаться в интервале $(1; 5)$. Проверим включение множеств: $(2; 5) \subseteq (1; 5)$. Это включение верно, так как любой элемент из интервала $(2; 5)$ также принадлежит и интервалу $(1; 5)$.

Следовательно, все значения параметра $a$ из интервала $(0; 1)$ удовлетворяют условию задачи.

Объединив результаты, полученные в обоих случаях, мы заключаем, что условию задачи удовлетворяют только значения $a$ из второго случая.

Ответ: $a \in (0; 1)$.