Страница 303 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

11.59 a) $0,0625 \cdot 4^x \le 64^{\frac{1}{x}};$

б) $9 \cdot 3 \le \frac{1}{9} \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{1}{x}};$

в) $0,2 \le \left(\frac{1}{25}\right)^{\frac{1}{x}} \cdot \left(\frac{1}{125}\right)^{\frac{1}{x^2}};$

г) $7 \le \left(\frac{1}{49}\right)^{\frac{2}{x}} \cdot \left(\frac{1}{343}\right)^{\frac{1}{x^2}}.$

а) $0,0625 \cdot 4^x \leq 64^{\frac{1}{x}}$
Первым шагом приведем все части неравенства к одному основанию. В данном случае удобно использовать основание 4.
$0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2}$
$64 = 4^3$, следовательно, $64^{\frac{1}{x}} = (4^3)^{\frac{1}{x}} = 4^{\frac{3}{x}}$
Подставим эти значения в исходное неравенство:
$4^{-2} \cdot 4^x \leq 4^{\frac{3}{x}}$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$4^{x-2} \leq 4^{\frac{3}{x}}$
Так как основание степени $4 > 1$, то функция $y=4^t$ является возрастающей. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей степеней, сохранив знак неравенства. Область допустимых значений (ОДЗ) для исходного неравенства определяется знаменателем показателя, то есть $x \neq 0$.
$x-2 \leq \frac{3}{x}$
Перенесем все члены в левую часть:
$x-2 - \frac{3}{x} \leq 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{x(x-2) - 3}{x} \leq 0$
$\frac{x^2 - 2x - 3}{x} \leq 0$
Найдем корни числителя: $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Таким образом, неравенство можно записать в виде:
$\frac{(x-3)(x+1)}{x} \leq 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси корни числителя ($x=3, x=-1$) и корень знаменателя ($x=0$).

Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 3$, выражение положительно.
- при $0 < x < 3$, выражение отрицательно.
- при $-1 < x < 0$, выражение положительно.
- при $x < -1$, выражение отрицательно.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty, -1]$ и $(0, 3]$. Точки $x=-1$ и $x=3$ включаются, так как неравенство нестрогое, а точка $x=0$ исключается, так как она обращает знаменатель в ноль.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup (0, 3]$.

б) $9 \cdot 3 \leq \frac{1}{9} \cdot (\frac{1}{27})^{\frac{1}{x}}$
Предположим, что в левой части стоит число $9 \cdot 3 = 27$. Приведем все части неравенства к основанию 3.
$27 = 3^3$
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$
$\frac{1}{27} = 3^{-3}$, следовательно, $(\frac{1}{27})^{\frac{1}{x}} = (3^{-3})^{\frac{1}{x}} = 3^{-\frac{3}{x}}$
Подставим в неравенство:
$3^3 \leq 3^{-2} \cdot 3^{-\frac{3}{x}}$
$3^3 \leq 3^{-2 - \frac{3}{x}}$
Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей:
$3 \leq -2 - \frac{3}{x}$
ОДЗ: $x \neq 0$.
$5 \leq -\frac{3}{x}$
$5 + \frac{3}{x} \leq 0$
$\frac{5x + 3}{x} \leq 0$
Решим методом интервалов. Корень числителя $x = -3/5$. Корень знаменателя $x = 0$.

Интервалы:
- при $x > 0$, выражение положительно.
- при $-3/5 < x < 0$, выражение отрицательно.
- при $x < -3/5$, выражение положительно.
Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю. Это $[-3/5, 0)$. Точка $x=-3/5$ включается, а $x=0$ исключается.
Ответ: $x \in [-0,6; 0)$.

в) $0,2 \leq (\frac{1}{25})^{\frac{1}{x}} \cdot (\frac{1}{125})^{\frac{1}{x^2}}$
Приведем все к основанию 5.
$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
$\frac{1}{25} = 5^{-2}$, значит $(\frac{1}{25})^{\frac{1}{x}} = (5^{-2})^{\frac{1}{x}} = 5^{-\frac{2}{x}}$
$\frac{1}{125} = 5^{-3}$, значит $(\frac{1}{125})^{\frac{1}{x^2}} = (5^{-3})^{\frac{1}{x^2}} = 5^{-\frac{3}{x^2}}$
Неравенство принимает вид:
$5^{-1} \leq 5^{-\frac{2}{x}} \cdot 5^{-\frac{3}{x^2}}$
$5^{-1} \leq 5^{-\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}$
ОДЗ: $x \neq 0$. Так как основание $5 > 1$, то:
$-1 \leq -\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}$
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:
$1 \geq \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}$
$1 - \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2} \geq 0$
Приведем к общему знаменателю $x^2$:
$\frac{x^2 - 2x - 3}{x^2} \geq 0$
Знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя.
$x^2 - 2x - 3 \geq 0$
Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

г) $7 \leq (\frac{1}{49})^{\frac{2}{x}} \cdot (\frac{1}{343})^{\frac{1}{x^2}}$
Приведем все к основанию 7.
$7 = 7^1$
$\frac{1}{49} = 7^{-2}$, значит $(\frac{1}{49})^{\frac{2}{x}} = (7^{-2})^{\frac{2}{x}} = 7^{-\frac{4}{x}}$
$\frac{1}{343} = 7^{-3}$, значит $(\frac{1}{343})^{\frac{1}{x^2}} = (7^{-3})^{\frac{1}{x^2}} = 7^{-\frac{3}{x^2}}$
Неравенство принимает вид:
$7^1 \leq 7^{-\frac{4}{x}} \cdot 7^{-\frac{3}{x^2}}$
$7^1 \leq 7^{-\frac{4}{x} - \frac{3}{x^2}}$
ОДЗ: $x \neq 0$. Так как основание $7 > 1$:
$1 \leq -\frac{4}{x} - \frac{3}{x^2}$
$1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2} \leq 0$
Приведем к общему знаменателю $x^2$:
$\frac{x^2 + 4x + 3}{x^2} \leq 0$
Знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$. Знак дроби определяется знаком числителя.
$x^2 + 4x + 3 \leq 0$
Корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
Парабола $y = x^2 + 4x + 3$ ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения на отрезке между корнями.
Решение: $x \in [-3, -1]$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $x \in [-3, -1]$.

11.60 a) $\sqrt{27} \cdot 3^{-6x^2} \ge 9^{4x};$

б) $\sqrt{32} \cdot 2^{-4x^2} \ge 8^{3x};$

в) $4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5x^2} \le \left(\frac{1}{8}\right)^{-3x};$

г) $125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{x^2} \le \left(\frac{1}{25}\right)^{-4x}.$

а) Решим неравенство $\sqrt{27} \cdot 3^{-6x^2} \geq 9^{4x}$.

Для начала приведем все члены неравенства к одному основанию, в данном случае к 3:
$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{3/2}$;
$9^{4x} = (3^2)^{4x} = 3^{8x}$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$3^{3/2} \cdot 3^{-6x^2} \geq 3^{8x}$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части, получим:
$3^{3/2 - 6x^2} \geq 3^{8x}$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$3/2 - 6x^2 \geq 8x$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство:
$-6x^2 - 8x + 3/2 \geq 0$.
Умножим обе части на -2, чтобы избавиться от дроби и сделать старший коэффициент положительным. При этом знак неравенства изменится на противоположный:
$12x^2 + 16x - 3 \leq 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $12x^2 + 16x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 256 + 144 = 400 = 20^2$.
$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - 20}{2 \cdot 12} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2}$.
$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + 20}{2 \cdot 12} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.

Графиком функции $y = 12x^2 + 16x - 3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $12x^2 + 16x - 3 \leq 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-\frac{3}{2}, \frac{1}{6}]$.

б) Решим неравенство $\sqrt{32} \cdot 2^{-4x^2} \geq 8^{3x}$.

Приведем все члены неравенства к основанию 2:
$\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{5/2}$;
$8^{3x} = (2^3)^{3x} = 2^{9x}$.

Подставим выражения в неравенство:
$2^{5/2} \cdot 2^{-4x^2} \geq 2^{9x}$.

Упростим левую часть:
$2^{5/2 - 4x^2} \geq 2^{9x}$.

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$5/2 - 4x^2 \geq 9x$.

Запишем в виде стандартного квадратного неравенства:
$-4x^2 - 9x + 5/2 \geq 0$.
Умножим на -2 и изменим знак неравенства:
$8x^2 + 18x - 5 \leq 0$.

Найдем корни уравнения $8x^2 + 18x - 5 = 0$:
$D = 18^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 324 + 160 = 484 = 22^2$.
$x_1 = \frac{-18 - 22}{2 \cdot 8} = \frac{-40}{16} = -\frac{5}{2}$.
$x_2 = \frac{-18 + 22}{2 \cdot 8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

Графиком является парабола с ветвями вверх. Неравенство $8x^2 + 18x - 5 \leq 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Ответ: $x \in [-\frac{5}{2}, \frac{1}{4}]$.

в) Решим неравенство $4 \cdot (\frac{1}{2})^{5x^2} \leq (\frac{1}{8})^{-3x}$.

Приведем все к основанию 2:
$4 = 2^2$;
$(\frac{1}{2})^{5x^2} = (2^{-1})^{5x^2} = 2^{-5x^2}$;
$(\frac{1}{8})^{-3x} = (2^{-3})^{-3x} = 2^{9x}$.

Неравенство принимает вид:
$2^2 \cdot 2^{-5x^2} \leq 2^{9x}$.
$2^{2 - 5x^2} \leq 2^{9x}$.

Основание $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$2 - 5x^2 \leq 9x$.

Перенесем все в одну сторону:
$-5x^2 - 9x + 2 \leq 0$.
Умножим на -1, меняя знак неравенства:
$5x^2 + 9x - 2 \geq 0$.

Найдем корни уравнения $5x^2 + 9x - 2 = 0$:
$D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$.
$x_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ветви параболы $y = 5x^2 + 9x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство $y \geq 0$ выполняется на промежутках вне корней, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{1}{5}, +\infty)$.

г) Решим неравенство $125 \cdot (\frac{1}{5})^{x^2} \leq (\frac{1}{25})^{-4x}$.

Приведем все к основанию 5:
$125 = 5^3$;
$(\frac{1}{5})^{x^2} = (5^{-1})^{x^2} = 5^{-x^2}$;
$(\frac{1}{25})^{-4x} = (5^{-2})^{-4x} = 5^{8x}$.

Подставляем в неравенство:
$5^3 \cdot 5^{-x^2} \leq 5^{8x}$.
$5^{3 - x^2} \leq 5^{8x}$.

Основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$3 - x^2 \leq 8x$.

Переносим члены и умножаем на -1:
$-x^2 - 8x + 3 \leq 0$
$x^2 + 8x - 3 \geq 0$.

Решим уравнение $x^2 + 8x - 3 = 0$:
$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 64 + 12 = 76$.
$\sqrt{D} = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$.
$x_1 = \frac{-8 - 2\sqrt{19}}{2} = -4 - \sqrt{19}$.
$x_2 = \frac{-8 + 2\sqrt{19}}{2} = -4 + \sqrt{19}$.

Парабола $y = x^2 + 8x - 3$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $y \geq 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями, включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty, -4 - \sqrt{19}] \cup [-4 + \sqrt{19}, +\infty)$.

11.61 a) $\lg x + \lg (x + 3) \le 1$;

б) $\log_{\frac{1}{9}} (x + 8) + \log_{\frac{1}{9}} x \ge -1$;

в) $\log_2 x + \log_2 (x - 2) \le 3$;

г) $\log_{\frac{1}{3}} (x + 6) + \log_{\frac{1}{3}} x \ge -3$.

а) $lg(x) + lg(x + 3) \le 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} x > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > -3 \end{cases} \implies x > 0$.

ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

2. Используя свойство суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$, преобразуем левую часть неравенства:

$lg(x(x + 3)) \le 1$

$lg(x^2 + 3x) \le 1$

3. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 10: $1 = lg(10)$.

$lg(x^2 + 3x) \le lg(10)$

4. Так как основание логарифма $10 > 1$, то при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется:

$x^2 + 3x \le 10$

$x^2 + 3x - 10 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$.

Решением неравенства $x^2 + 3x - 10 \le 0$ является промежуток $[-5, 2]$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} -5 \le x \le 2 \\ x > 0 \end{cases} \implies 0 < x \le 2$.

Ответ: $(0, 2]$.

б) $\log_{\frac{1}{9}}(x + 8) + \log_{\frac{1}{9}}(x) \ge -1$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 8 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -8 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 0$.

ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

2. Преобразуем левую часть неравенства:

$\log_{\frac{1}{9}}(x(x + 8)) \ge -1$

$\log_{\frac{1}{9}}(x^2 + 8x) \ge -1$

3. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{9}$: $-1 = \log_{\frac{1}{9}}((\frac{1}{9})^{-1}) = \log_{\frac{1}{9}}(9)$.

$\log_{\frac{1}{9}}(x^2 + 8x) \ge \log_{\frac{1}{9}}(9)$

4. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{9} < 1$, то при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + 8x \le 9$

$x^2 + 8x - 9 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -9$ и $x_2 = 1$.

Решением неравенства $x^2 + 8x - 9 \le 0$ является промежуток $[-9, 1]$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} -9 \le x \le 1 \\ x > 0 \end{cases} \implies 0 < x \le 1$.

Ответ: $(0, 1]$.

в) $\log_2(x) + \log_2(x - 2) \le 3$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$.

ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.

2. Преобразуем левую часть неравенства:

$\log_2(x(x - 2)) \le 3$

$\log_2(x^2 - 2x) \le 3$

3. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2: $3 = \log_2(2^3) = \log_2(8)$.

$\log_2(x^2 - 2x) \le \log_2(8)$

4. Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 2x \le 8$

$x^2 - 2x - 8 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.

Решением неравенства $x^2 - 2x - 8 \le 0$ является промежуток $[-2, 4]$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} -2 \le x \le 4 \\ x > 2 \end{cases} \implies 2 < x \le 4$.

Ответ: $(2, 4]$.

г) $\log_{\frac{1}{3}}(x + 6) + \log_{\frac{1}{3}}(x) \ge -3$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 6 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -6 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 0$.

ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

2. Преобразуем левую часть неравенства:

$\log_{\frac{1}{3}}(x(x + 6)) \ge -3$

$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 6x) \ge -3$

3. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$: $-3 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-3}) = \log_{\frac{1}{3}}(27)$.

$\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 6x) \ge \log_{\frac{1}{3}}(27)$

4. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + 6x \le 27$

$x^2 + 6x - 27 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 27 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -9$ и $x_2 = 3$.

Решением неравенства $x^2 + 6x - 27 \le 0$ является промежуток $[-9, 3]$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} -9 \le x \le 3 \\ x > 0 \end{cases} \implies 0 < x \le 3$.

Ответ: $(0, 3]$.

11.62 а) $\frac{\sqrt{11x + 5}}{|x - 20|} \ge \frac{\sqrt{10x + 13}}{|x - 20|}$;

б) $\frac{\sqrt{10x + 17}}{|x - 1|} \ge \frac{\sqrt{8x + 11}}{|x - 1|}$;

в) $\frac{\sqrt{9x + 19}}{|x + 2|} \le \frac{\sqrt{11x + 31}}{|x + 2|}$;

г) $\frac{\sqrt{8x + 21}}{|x + 1|} \le \frac{\sqrt{10x + 41}}{|x + 1|}$.

а) Дано неравенство $\frac{\sqrt{11x + 5}}{|x - 20|} \ge \frac{\sqrt{10x + 13}}{|x - 20|}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательны, а знаменатель не должен равняться нулю:
$\begin{cases} 11x + 5 \ge 0 \\ 10x + 13 \ge 0 \\ x - 20 \ne 0 \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} 11x \ge -5 \\ 10x \ge -13 \\ x \ne 20 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5/11 \\ x \ge -1.3 \\ x \ne 20 \end{cases}$
Поскольку $-5/11 \approx -0.45$, что больше, чем $-1.3$, более сильным условием является $x \ge -5/11$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-5/11, 20) \cup (20, +\infty)$.
На ОДЗ знаменатель $|x - 20|$ строго положителен, поэтому можно умножить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства:
$\sqrt{11x + 5} \ge \sqrt{10x + 13}$
Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:
$11x + 5 \ge 10x + 13$
$11x - 10x \ge 13 - 5$
$x \ge 8$
Теперь найдем пересечение полученного решения $x \ge 8$ с ОДЗ $x \in [-5/11, 20) \cup (20, +\infty)$.
Пересечением является множество $[8, 20) \cup (20, +\infty)$.
Ответ: $x \in [8, 20) \cup (20, +\infty)$.

б) Дано неравенство $\frac{\sqrt{10x + 17}}{|x - 1|} \ge \frac{\sqrt{8x + 11}}{|x - 1|}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 10x + 17 \ge 0 \\ 8x + 11 \ge 0 \\ x - 1 \ne 0 \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} 10x \ge -17 \\ 8x \ge -11 \\ x \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1.7 \\ x \ge -11/8 \\ x \ne 1 \end{cases}$
Поскольку $-11/8 = -1.375$, что больше, чем $-1.7$, более сильным условием является $x \ge -11/8$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-11/8, 1) \cup (1, +\infty)$.
Умножим обе части неравенства на положительный знаменатель $|x - 1|$:
$\sqrt{10x + 17} \ge \sqrt{8x + 11}$
Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$10x + 17 \ge 8x + 11$
$2x \ge -6$
$x \ge -3$
Найдем пересечение решения $x \ge -3$ с ОДЗ $x \in [-11/8, 1) \cup (1, +\infty)$.
Так как $-11/8 > -3$, то пересечением является само ОДЗ.
Ответ: $x \in [-11/8, 1) \cup (1, +\infty)$.

в) Дано неравенство $\frac{\sqrt{9x + 19}}{|x + 2|} \le \frac{\sqrt{11x + 31}}{|x + 2|}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 9x + 19 \ge 0 \\ 11x + 31 \ge 0 \\ x + 2 \ne 0 \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} 9x \ge -19 \\ 11x \ge -31 \\ x \ne -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -19/9 \\ x \ge -31/11 \\ x \ne -2 \end{cases}$
Поскольку $-19/9 \approx -2.11$ и $-31/11 \approx -2.82$, более сильным условием является $x \ge -19/9$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-19/9, -2) \cup (-2, +\infty)$.
Умножим обе части неравенства на положительный знаменатель $|x + 2|$:
$\sqrt{9x + 19} \le \sqrt{11x + 31}$
Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$9x + 19 \le 11x + 31$
$-12 \le 2x$
$x \ge -6$
Найдем пересечение решения $x \ge -6$ с ОДЗ $x \in [-19/9, -2) \cup (-2, +\infty)$.
Так как $-19/9 > -6$, то пересечением является само ОДЗ.
Ответ: $x \in [-19/9, -2) \cup (-2, +\infty)$.

г) Дано неравенство $\frac{\sqrt{8x + 21}}{|x + 1|} \le \frac{\sqrt{10x + 41}}{|x + 1|}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 8x + 21 \ge 0 \\ 10x + 41 \ge 0 \\ x + 1 \ne 0 \end{cases}$
Решаем систему:
$\begin{cases} 8x \ge -21 \\ 10x \ge -41 \\ x \ne -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -21/8 \\ x \ge -4.1 \\ x \ne -1 \end{cases}$
Поскольку $-21/8 = -2.625$, что больше, чем $-4.1$, более сильным условием является $x \ge -21/8$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-21/8, -1) \cup (-1, +\infty)$.
Умножим обе части неравенства на положительный знаменатель $|x + 1|$:
$\sqrt{8x + 21} \le \sqrt{10x + 41}$
Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$8x + 21 \le 10x + 41$
$-20 \le 2x$
$x \ge -10$
Найдем пересечение решения $x \ge -10$ с ОДЗ $x \in [-21/8, -1) \cup (-1, +\infty)$.
Так как $-21/8 > -10$, то пересечением является само ОДЗ.
Ответ: $x \in [-21/8, -1) \cup (-1, +\infty)$.

11.63* a) $\sqrt{4\lg x - 24} \ge 9 - \lg x;$

Б) $\sqrt{9\lg x - 3} \le 1 - 4\lg x;$

В) $\sqrt{4\lg x - 16} \ge 7 - \lg x;$

Г) $\sqrt{12\lg x - 8} \le 1 - 3\lg x.$

а) $\sqrt{4\lg x - 24} \geq 9 - \lg x$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.
Во-вторых, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$4\lg x - 24 \geq 0$
$4\lg x \geq 24$
$\lg x \geq 6$
Так как основание логарифма 10 > 1, то $x \geq 10^6$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \geq 10^6$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. С учетом ОДЗ, имеем $t \geq 6$.
Исходное неравенство принимает вид: $\sqrt{4t - 24} \geq 9 - t$.

3. Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(t)} \geq g(t)$ равносильно совокупности двух систем.
Первая система (когда правая часть отрицательна): $\begin{cases} 9 - t < 0 \\ 4t - 24 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} t > 9 \\ t \geq 6 \end{cases} \implies t > 9$.
Вторая система (когда правая часть неотрицательна): $\begin{cases} 9 - t \geq 0 \\ 4t - 24 \geq (9 - t)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} t \leq 9 \\ 4t - 24 \geq 81 - 18t + t^2 \end{cases}$
Решим второе неравенство системы: $t^2 - 22t + 105 \leq 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 22t + 105 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 7$, $t_2 = 15$.
Решением неравенства $t^2 - 22t + 105 \leq 0$ является промежуток $t \in [7, 15]$.
Вернемся к системе: $\begin{cases} t \leq 9 \\ t \in [7, 15] \end{cases} \implies t \in [7, 9]$.

4. Объединим решения обеих систем: $(t > 9) \cup (t \in [7, 9])$.
Получаем $t \geq 7$.

5. Сопоставим полученное решение с ОДЗ для переменной $t$ ($t \geq 6$).
Пересечение множеств $t \geq 7$ и $t \geq 6$ дает $t \geq 7$.

6. Выполним обратную замену:
$\lg x \geq 7$
$x \geq 10^7$.

Ответ: $x \in [10^7, +\infty)$.

б) $\sqrt{9\lg x - 3} \leq 1 - 4\lg x$

1. Найдем ОДЗ.
$x > 0$
$9\lg x - 3 \geq 0 \implies 9\lg x \geq 3 \implies \lg x \geq \frac{1}{3}$.
Следовательно, ОДЗ: $x \geq 10^{1/3}$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. С учетом ОДЗ, $t \geq \frac{1}{3}$.
Неравенство принимает вид: $\sqrt{9t - 3} \leq 1 - 4t$.

3. Левая часть неравенства, $\sqrt{9t - 3}$, по определению арифметического корня, всегда неотрицательна (или равна нулю).
Для того чтобы неравенство имело решения, правая часть также должна быть неотрицательной:
$1 - 4t \geq 0 \implies 1 \geq 4t \implies t \leq \frac{1}{4}$.

4. Таким образом, для переменной $t$ мы имеем систему из двух противоречивых условий:
$\begin{cases} t \geq \frac{1}{3} & \text{(из ОДЗ)} \\ t \leq \frac{1}{4} & \text{(из условия неотрицательности правой части)} \end{cases}$
Поскольку $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$, данная система не имеет решений. Следовательно, и исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

в) $\sqrt{4\lg x - 16} \geq 7 - \lg x$

1. Найдем ОДЗ.
$x > 0$
$4\lg x - 16 \geq 0 \implies 4\lg x \geq 16 \implies \lg x \geq 4$.
ОДЗ: $x \geq 10^4$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. С учетом ОДЗ, $t \geq 4$.
Неравенство принимает вид: $\sqrt{4t - 16} \geq 7 - t$.

3. Решим иррациональное неравенство, рассмотрев два случая.
Случай 1: $7 - t < 0 \implies t > 7$. В этом случае левая часть (неотрицательная) всегда больше правой (отрицательной). Условие $t>7$ удовлетворяет ОДЗ ($t \geq 4$), поэтому $t>7$ является частью решения.
Случай 2: $7 - t \geq 0 \implies t \leq 7$. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, можно возвести в квадрат:
$\begin{cases} t \leq 7 \\ 4t - 16 \geq (7 - t)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} t \leq 7 \\ 4t - 16 \geq 49 - 14t + t^2 \end{cases}$
Решим второе неравенство: $t^2 - 18t + 65 \leq 0$.
Корни уравнения $t^2 - 18t + 65 = 0$ равны $t_1 = 5$, $t_2 = 13$.
Решение квадратного неравенства: $t \in [5, 13]$.
С учетом условия $t \leq 7$, получаем для этого случая: $t \in [5, 7]$.

4. Объединим решения обоих случаев: $(t > 7) \cup (t \in [5, 7])$.
Это дает общее решение для $t$: $t \geq 5$.

5. Учтем ОДЗ для $t$ ($t \geq 4$).
Пересечение $t \geq 5$ и $t \geq 4$ дает $t \geq 5$.

6. Выполним обратную замену:
$\lg x \geq 5$
$x \geq 10^5$.

Ответ: $x \in [10^5, +\infty)$.

г) $\sqrt{12\lg x - 8} \leq 1 - 3\lg x$

1. Найдем ОДЗ.
$x > 0$
$12\lg x - 8 \geq 0 \implies 12\lg x \geq 8 \implies \lg x \geq \frac{8}{12} \implies \lg x \geq \frac{2}{3}$.
ОДЗ: $x \geq 10^{2/3}$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда из ОДЗ следует, что $t \geq \frac{2}{3}$.
Неравенство принимает вид: $\sqrt{12t - 8} \leq 1 - 3t$.

3. Левая часть неравенства неотрицательна. Следовательно, для существования решений правая часть также должна быть неотрицательной:
$1 - 3t \geq 0 \implies 1 \geq 3t \implies t \leq \frac{1}{3}$.

4. Мы получили систему из двух условий для переменной $t$:
$\begin{cases} t \geq \frac{2}{3} & \text{(из ОДЗ)} \\ t \leq \frac{1}{3} & \text{(из свойства неравенства)} \end{cases}$
Так как $\frac{2}{3} > \frac{1}{3}$, не существует такого значения $t$, которое удовлетворяло бы обоим условиям одновременно. Система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

11.64* a) $\log_{6x} (x^2 - 17x + 60) \le 1$;

б) $\log_{6x} (x^2 - 15x + 54) \ge 1$;

в) $\log_{12x} (x^2 - 19x + 84) \le 1$;

г) $\log_{7x} (x^2 - 16x + 60) \ge 1$.

а) Решим неравенство $ \log_{6x}(x^2 - 17x + 60) \le 1 $.

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Запишем $1$ как $ \log_{6x}(6x) $. Неравенство примет вид $ \log_{6x}(x^2 - 17x + 60) \le \log_{6x}(6x) $. Используем метод рационализации для логарифмических неравенств, который гласит, что неравенство $ \log_{a(x)}f(x) \le \log_{a(x)}g(x) $ равносильно системе, включающей область допустимых значений (ОДЗ) и основное неравенство $ (a(x)-1)(f(x)-g(x)) \le 0 $.

Составим систему:

$ \begin{cases} x^2 - 17x + 60 > 0 & \text{(1)} \\ 6x > 0 & \text{(2)} \\ 6x \neq 1 & \text{(3)} \\ (6x - 1)(x^2 - 17x + 60 - 6x) \le 0 & \text{(4)} \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $ x^2 - 17x + 60 > 0 $. Найдем корни квадратного трехчлена $ x^2 - 17x + 60 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 =