Номер 11.64, страница 303 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

11.64* a) $\log_{6x} (x^2 - 17x + 60) \le 1$;

б) $\log_{6x} (x^2 - 15x + 54) \ge 1$;

в) $\log_{12x} (x^2 - 19x + 84) \le 1$;

г) $\log_{7x} (x^2 - 16x + 60) \ge 1$.

Для решения логарифмических неравенств с переменным основанием удобнее всего использовать метод рационализации. Согласно этому методу, неравенство вида $\log_{a(x)} f(x) \le 1$ равносильно системе, учитывающей ОДЗ и знак разности $(a(x)-1)(f(x)-a(x)) \le 0$.

Общая схема для всех пунктов ($\log_A B \le 1$):

• $A > 0, A \neq 1$ (Основание)
• $B > 0$ (Аргумент)
• $(A - 1)(B - A) \le 0$ (Знак неравенства сохраняется или меняется в зависимости от основания)

а) $\log_{6x} (x^2 - 17x + 60) \le 1$

Система ограничений и рационализация:

1. $6x > 0 \Rightarrow x > 0$
2. $6x \neq 1 \Rightarrow x \neq 1/6$
3. $x^2 - 17x + 60 > 0 \Rightarrow (x-5)(x-12) > 0 \Rightarrow x \in (0; 5) \cup (12; +\infty)$
4. $(6x - 1)(x^2 - 17x + 60 - 6x) \le 0 \Rightarrow (6x - 1)(x^2 - 23x + 60) \le 0$

Решим последнее: корни $x^2 - 23x + 60 = 0$ это $x=20$ и $x=3$.
Метод интервалов для $(6x - 1)(x-3)(x-20) \le 0$ дает $x \in (-\infty; 1/6] \cup [3; 20]$.

С учетом ОДЗ ($x>0, x \neq 1/6, x < 5$ или $x > 12$):
Ответ: $(0; 1/6) \cup [3; 5) \cup [20; +\infty)$

б) $\log_{6x} (x^2 - 15x + 54) \ge 1$

Аналогично пункту (а), но знак рационализации меняется на $\ge$:

1. ОДЗ: $x > 0, x \neq 1/6$, $(x-6)(x-9) > 0 \Rightarrow x \in (0; 6) \cup (9; +\infty)$
2. $(6x - 1)(x^2 - 15x + 54 - 6x) \ge 0 \Rightarrow (6x - 1)(x^2 - 21x + 54) \ge 0$

Корни квадратичной функции: $18$ и $3$.
Метод интервалов для $(6x - 1)(x-3)(x-18) \ge 0$: $x \in [1/6; 3] \cup [18; +\infty)$.

С учетом ОДЗ:
Ответ: $(1/6; 3] \cup [18; +\infty)$

в) $\log_{12x} (x^2 - 19x + 84) \le 1$

1. ОДЗ: $x > 0, x \neq 1/12$, $(x-7)(x-12) > 0 \Rightarrow x \in (0; 7) \cup (12; +\infty)$
2. $(12x - 1)(x^2 - 19x + 84 - 12x) \le 0 \Rightarrow (12x - 1)(x^2 - 31x + 84) \le 0$

Корни: $x=28$ и $x=3$.
Метод интервалов: $x \in (-\infty; 1/12] \cup [3; 28]$.

Пересекаем с ОДЗ:
Ответ: $(0; 1/12) \cup [3; 7) \cup [28; +\infty)$

г) $\log_{7x} (x^2 - 16x + 60) \ge 1$

1. ОДЗ: $x > 0, x \neq 1/7$, $(x-6)(x-10) > 0 \Rightarrow x \in (0; 6) \cup (10; +\infty)$
2. $(7x - 1)(x^2 - 16x + 60 - 7x) \ge 0 \Rightarrow (7x - 1)(x^2 - 23x + 60) \ge 0$

Корни: $x=20$ и $x=3$.
Метод интервалов: $x \in [1/7; 3] \cup [20; +\infty)$.

С учетом ОДЗ:
Ответ: $(1/7; 3] \cup [20; +\infty)$