Номер 11.64, страница 303 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.64, страница 303.

Условие.

11.64* a) $\log_{6x} (x^2 - 17x + 60) \le 1$;

б) $\log_{6x} (x^2 - 15x + 54) \ge 1$;

в) $\log_{12x} (x^2 - 19x + 84) \le 1$;

г) $\log_{7x} (x^2 - 16x + 60) \ge 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $ \log_{6x}(x^2 - 17x + 60) \le 1 $.

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Запишем $1$ как $ \log_{6x}(6x) $. Неравенство примет вид $ \log_{6x}(x^2 - 17x + 60) \le \log_{6x}(6x) $. Используем метод рационализации для логарифмических неравенств, который гласит, что неравенство $ \log_{a(x)}f(x) \le \log_{a(x)}g(x) $ равносильно системе, включающей область допустимых значений (ОДЗ) и основное неравенство $ (a(x)-1)(f(x)-g(x)) \le 0 $.

Составим систему:

$ \begin{cases} x^2 - 17x + 60 > 0 & \text{(1)} \\ 6x > 0 & \text{(2)} \\ 6x \neq 1 & \text{(3)} \\ (6x - 1)(x^2 - 17x + 60 - 6x) \le 0 & \text{(4)} \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $ x^2 - 17x + 60 > 0 $. Найдем корни квадратного трехчлена $ x^2 - 17x + 60 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 =