Номер 12.4, страница 307 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств - номер 12.4, страница 307.

Условие.

12.4 a) $|x^2 - x - 1| = x^2 + 2x + 1;$

б) $|x^2 - 2x - 2| = x^2 - 4x + 6;$

В) $|x^2 - 2x - 4| = x^2 - 4x + 4;$

Г) $|x^2 - 4x + 2| = x^2 - 6x + 10.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $|x^2 - x - 1| = x^2 + 2x + 1$

Данное уравнение имеет вид $|A| = B$. Оно равносильно совокупности двух уравнений $A = B$ и $A = -B$ при выполнении условия $B \ge 0$.

В нашем случае $B = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Условие $B \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Таким образом, решение сводится к решению двух уравнений:

1) Раскрываем модуль без изменения знака подмодульного выражения:
$x^2 - x - 1 = x^2 + 2x + 1$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$-x - 2x = 1 + 1$
$-3x = 2$
$x = -2/3$

2) Раскрываем модуль с изменением знака подмодульного выражения:
$x^2 - x - 1 = -(x^2 + 2x + 1)$
$x^2 - x - 1 = -x^2 - 2x - 1$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 + x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(2x + 1) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $2x + 1 = 0 \implies x_2 = -1/2$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем три корня.

Ответ: $-2/3; -1/2; 0$.

б) $|x^2 - 2x - 2| = x^2 - 4x + 6$

Сначала проверим условие неотрицательности правой части: $x^2 - 4x + 6 \ge 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), парабола $y = x^2 - 4x + 6$ полностью лежит выше оси абсцисс. Следовательно, выражение $x^2 - 4x + 6$ положительно при любых значениях $x$.

Условие выполнено, поэтому решаем совокупность двух уравнений:

1) $x^2 - 2x - 2 = x^2 - 4x + 6$
$-2x + 4x = 6 + 2$
$2x = 8$
$x = 4$

2) $x^2 - 2x - 2 = -(x^2 - 4x + 6)$
$x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 4x - 6$
$2x^2 - 6x + 4 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Ответ: $1; 2; 4$.

в) $|x^2 - 2x - 4| = x^2 - 4x + 4$

Правая часть уравнения представляет собой полный квадрат: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.
Условие $(x-2)^2 \ge 0$ выполняется для всех действительных $x$.

Следовательно, решаем два уравнения:

1) $x^2 - 2x - 4 = x^2 - 4x + 4$
$-2x + 4x = 4 + 4$
$2x = 8$
$x = 4$

2) $x^2 - 2x - 4 = -(x^2 - 4x + 4)$
$x^2 - 2x - 4 = -x^2 + 4x - 4$
$2x^2 - 6x = 0$
$2x(x - 3) = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Ответ: $0; 3; 4$.

г) $|x^2 - 4x + 2| = x^2 - 6x + 10$

Проверим условие неотрицательности правой части: $x^2 - 6x + 10 \ge 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.
Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, выражение $x^2 - 6x + 10$ всегда положительно.

Условие выполнено, поэтому решаем совокупность двух уравнений:

1) $x^2 - 4x + 2 = x^2 - 6x + 10$
$-4x + 6x = 10 - 2$
$2x = 8$
$x = 4$

2) $x^2 - 4x + 2 = -(x^2 - 6x + 10)$
$x^2 - 4x + 2 = -x^2 + 6x - 10$
$2x^2 - 10x + 12 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 - 5x + 6 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Ответ: $2; 3; 4$.