Номер 12.5, страница 307 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 12.5, страница 307.

Условие.

12.5 a) $\frac{|2x - 4| + |x - 5|}{|x - 1| + |x - 1|} = 1;$

б) $\frac{|2x - 1| - |x - 5|}{|x + 1| - x - 1} = -1;$

в) $\frac{|2x - 5| + |x + 2|}{|x - 3| + |x - 3|} = -0.5;$

г) $\frac{|2x - 3| - |x + 3|}{|x - 4| - x + 4} = -1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $\frac{|2x - 4| + |x - 5|}{|x - 1| + |x + 1|} = 1$.

Знаменатель $|x - 1| + |x + 1|$ не может быть равен нулю, так как это сумма двух неотрицательных величин, которые не обращаются в ноль одновременно. Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель, так как он всегда положителен. Уравнение равносильно следующему:

$|2x - 4| + |x - 5| = |x - 1| + |x + 1|$

Для решения этого уравнения с модулями используем метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$; $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$; $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$; $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Эти точки $(-1, 1, 2, 5)$ разбивают числовую прямую на пять интервалов. Раскроем модули в каждом из них:

1. При $x < -1$: Все подмодульные выражения отрицательны.
$-(2x - 4) - (x - 5) = -(x - 1) - (x + 1)$
$4 - 2x + 5 - x = 1 - x - x - 1$
$9 - 3x = -2x$
$x = 9$. Корень не принадлежит интервалу $x < -1$.

2. При $-1 \le x < 1$:
$-(2x - 4) - (x - 5) = -(x - 1) + (x + 1)$
$9 - 3x = -x + 1 + x + 1$
$9 - 3x = 2$
$3x = 7 \Rightarrow x = 7/3 \approx 2,33$. Корень не принадлежит интервалу $[-1, 1)$.

3. При $1 \le x < 2$:
$-(2x - 4) - (x - 5) = (x - 1) + (x + 1)$
$9 - 3x = 2x$
$5x = 9 \Rightarrow x = 1,8$. Корень $1,8$ принадлежит интервалу $[1, 2)$.

4. При $2 \le x < 5$:
$(2x - 4) - (x - 5) = (x - 1) + (x + 1)$
$x + 1 = 2x$
$x = 1$. Корень не принадлежит интервалу $[2, 5)$.

5. При $x \ge 5$: Все подмодульные выражения неотрицательны.
$(2x - 4) + (x - 5) = (x - 1) + (x + 1)$
$3x - 9 = 2x$
$x = 9$. Корень $9$ принадлежит интервалу $[5, +\infty)$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $1,8; 9$.

б)

Исходное уравнение: $\frac{|2x - 1| - |x - 5|}{|x + 1| - |x - 1|} = -1$.

Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.
$|x + 1| - |x - 1| \neq 0 \Rightarrow |x + 1| \neq |x - 1|$.
Возведя обе части в квадрат, получим $(x + 1)^2 \neq (x - 1)^2 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 \neq x^2 - 2x + 1 \Rightarrow 4x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.

Умножим обе части на знаменатель (при условии $x \neq 0$):
$|2x - 1| - |x - 5| = -(|x + 1| - |x - 1|)$
$|2x - 1| - |x - 5| = |x - 1| - |x + 1|$
$|2x - 1| + |x + 1| = |x - 1| + |x - 5|$

Решаем методом интервалов. Критические точки: $x=1/2$, $x=-1$, $x=1$, $x=5$.
Точки $(-1, 1/2, 1, 5)$ разбивают числовую прямую на интервалы.

1. При $x < -1$:
$-(2x - 1) - (x + 1) = -(x - 1) - (x - 5)$
$-2x + 1 - x - 1 = -x + 1 - x + 5$
$-3x = -2x + 6 \Rightarrow x = -6$. Корень $-6$ принадлежит интервалу $x < -1$ и удовлетворяет ОДЗ.

2. При $-1 \le x < 1/2$:
$-(2x - 1) + (x + 1) = -(x - 1) - (x - 5)$
$-x + 2 = -2x + 6 \Rightarrow x = 4$. Корень не принадлежит интервалу.

3. При $1/2 \le x < 1$:
$(2x - 1) + (x + 1) = -(x - 1) - (x - 5)$
$3x = -2x + 6 \Rightarrow 5x = 6 \Rightarrow x = 1,2$. Корень не принадлежит интервалу.

4. При $1 \le x < 5$:
$(2x - 1) + (x + 1) = (x - 1) - (x - 5)$
$3x = x - 1 - x + 5$
$3x = 4 \Rightarrow x = 4/3$. Корень $4/3$ принадлежит интервалу $[1, 5)$ и удовлетворяет ОДЗ.

5. При $x \ge 5$:
$(2x - 1) + (x + 1) = (x - 1) + (x - 5)$
$3x = 2x - 6 \Rightarrow x = -6$. Корень не принадлежит интервалу.

Ответ: $-6; \frac{4}{3}$.

в)

Рассмотрим уравнение $\frac{|2x - 5| + |x + 2|}{|x - 3| + |x + 3|} = -0,5$.

Числитель дроби, $|2x - 5| + |x + 2|$, является суммой двух модулей, поэтому он всегда неотрицателен: $|2x - 5| + |x + 2| \ge 0$ для любого $x$.

Знаменатель дроби, $|x - 3| + |x + 3|$, также является суммой двух модулей. Он обращается в ноль, только если $|x - 3| = 0$ и $|x + 3| = 0$ одновременно, что невозможно. Следовательно, знаменатель всегда строго положителен: $|x - 3| + |x + 3| > 0$.

Таким образом, левая часть уравнения представляет собой отношение неотрицательного числа к положительному, что означает, что она всегда неотрицательна. Правая часть уравнения равна $-0,5$, то есть отрицательна.

Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, поэтому уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

г)

Исходное уравнение: $\frac{|2x - 3| - |x + 3|}{|x - 4| - |x + 4|} = -1$.

ОДЗ: $|x - 4| - |x + 4| \neq 0 \Rightarrow |x - 4| \neq |x + 4|$.
Возведя в квадрат: $(x - 4)^2 \neq (x + 4)^2 \Rightarrow x^2 - 8x + 16 \neq x^2 + 8x + 16 \Rightarrow 16x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.

Преобразуем уравнение (при $x \neq 0$):
$|2x - 3| - |x + 3| = -(|x - 4| - |x + 4|)$
$|2x - 3| - |x + 3| = |x + 4| - |x - 4|$
$|2x - 3| + |x - 4| = |x + 3| + |x + 4|$

Решаем методом интервалов. Критические точки: $x=3/2$, $x=4$, $x=-3$, $x=-4$.
Точки $(-4, -3, 3/2, 4)$ разбивают числовую прямую на интервалы.

1. При $x < -4$:
$-(2x - 3) - (x - 4) = -(x + 3) - (x + 4)$
$-3x + 7 = -2x - 7 \Rightarrow x = 14$. Корень не принадлежит интервалу.

2. При $-4 \le x < -3$:
$-(2x - 3) + (x - 4) = -(x + 3) - (x + 4)$
$-x - 1 = -2x - 7 \Rightarrow x = -6$. Корень не принадлежит интервалу.

3. При $-3 \le x < 3/2$:
$-(2x - 3) + (x - 4) = (x + 3) + (x + 4)$
$-x - 1 = 2x + 7 \Rightarrow 3x = -8 \Rightarrow x = -8/3$. Корень $-8/3$ (это примерно -2.67) принадлежит интервалу $[-3, 3/2)$ и удовлетворяет ОДЗ.

4. При $3/2 \le x < 4$:
$(2x - 3) + (x - 4) = (x + 3) + (x + 4)$
$3x - 7 = 2x + 7 \Rightarrow x = 14$. Корень не принадлежит интервалу.

5. При $x \ge 4$:
$(2x - 3) + (x - 4) = (x + 3) + (x + 4)$
$3x - 7 = 2x + 7 \Rightarrow x = 14$. Корень $14$ принадлежит интервалу $[4, +\infty)$ и удовлетворяет ОДЗ.

Повторная проверка пункта 3:
$-(2x - 3) - (x - 4) = (x + 3) + (x + 4)$ (ошибка в раскрытии модуля $|x-4|$ в предыдущем варианте)
$-2x+3-x+4=2x+7$
$-3x+7=2x+7$
$-5x=0 \Rightarrow x=0$. Корень $x=0$ не входит в ОДЗ.

Повторная проверка пункта 2:
$-(2x - 3) + (x - 4) = -(x + 3) + (x + 4)$ (ошибка в раскрытии модуля $|x-4|$ в предыдущем варианте)
$-2x+3+x-4 = -x-3+x+4$
$-x-1=1$
$-x=2 \Rightarrow x=-2$. Корень $x=-2$ не принадлежит интервалу $[-4,-3)$.

Таким образом, единственным верным решением является $x=14$.

Ответ: $14$.