Номер 12.7, страница 307 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств - номер 12.7, страница 307.

Условие.

12.7 a) $|9-3^x|+|x-6|=3^x-x+9;$

б) $|27-3^x|+|x-5|=3^x-x+14.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) Решим уравнение $|9 - 3^x| + |x - 6| = 3^x - x + 9$.
Данное уравнение содержит два выражения под знаком модуля. Решим его методом интервалов, раскрывая модули на разных промежутках.
Найдем нули подмодульных выражений:
1) $9 - 3^x = 0 \implies 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.
2) $x - 6 = 0 \implies x = 6$.
Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 2]$, $(2, 6]$ и $(6, +\infty)$. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1: $x \in (-\infty, 2]$
На этом интервале $3^x \le 3^2 = 9$, поэтому $9 - 3^x \ge 0$, и $|9 - 3^x| = 9 - 3^x$.
Также $x \le 2$, поэтому $x - 6 \le -4 < 0$, и $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$.
Уравнение принимает вид:
$(9 - 3^x) + (6 - x) = 3^x - x + 9$
$15 - 3^x - x = 3^x - x + 9$
$15 - 3^x = 3^x + 9$
$6 = 2 \cdot 3^x$
$3^x = 3$
$x = 1$.
Так как $1 \in (-\infty, 2]$, корень $x=1$ является решением.

Случай 2: $x \in (2, 6]$
На этом интервале $x > 2 \implies 3^x > 9$, поэтому $9 - 3^x < 0$, и $|9 - 3^x| = -(9 - 3^x) = 3^x - 9$.
Также $x \le 6$, поэтому $x - 6 \le 0$, и $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$.
Уравнение принимает вид:
$(3^x - 9) + (6 - x) = 3^x - x + 9$
$3^x - x - 3 = 3^x - x + 9$
$-3 = 9$.
Это неверное равенство, следовательно, на данном интервале решений нет.

Случай 3: $x \in (6, +\infty)$
На этом интервале $x > 6 > 2 \implies 3^x > 9$, поэтому $9 - 3^x < 0$, и $|9 - 3^x| = -(9 - 3^x) = 3^x - 9$.
Также $x > 6$, поэтому $x - 6 > 0$, и $|x - 6| = x - 6$.
Уравнение принимает вид:
$(3^x - 9) + (x - 6) = 3^x - x + 9$
$3^x + x - 15 = 3^x - x + 9$
$x - 15 = -x + 9$
$2x = 24$
$x = 12$.
Так как $12 \in (6, +\infty)$, корень $x=12$ является решением.

Объединяя решения из всех случаев, получаем два корня.
Ответ: $1; 12$.

б) Решим уравнение $|27 - 3^x| + |x - 5| = 3^x - x + 14$.
Используем метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль.
1) $27 - 3^x = 0 \implies 3^x = 27 \implies 3^x = 3^3 \implies x = 3$.
2) $x - 5 = 0 \implies x = 5$.
Точки $x=3$ и $x=5$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty, 3]$, $(3, 5]$ и $(5, +\infty)$.

Случай 1: $x \in (-\infty, 3]$
На этом промежутке $3^x \le 3^3 = 27$, следовательно $27 - 3^x \ge 0$, и $|27 - 3^x| = 27 - 3^x$.
Также $x \le 3$, следовательно $x - 5 \le -2 < 0$, и $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.
Подставляем в уравнение:
$(27 - 3^x) + (5 - x) = 3^x - x + 14$
$32 - 3^x - x = 3^x - x + 14$
$32 - 3^x = 3^x + 14$
$18 = 2 \cdot 3^x$
$3^x = 9$
$x = 2$.
Корень $x=2$ принадлежит рассматриваемому промежутку $(-\infty, 3]$, значит, является решением.

Случай 2: $x \in (3, 5]$
На этом промежутке $x > 3 \implies 3^x > 27$, следовательно $27 - 3^x < 0$, и $|27 - 3^x| = -(27 - 3^x) = 3^x - 27$.
Также $x \le 5$, следовательно $x - 5 \le 0$, и $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.
Подставляем в уравнение:
$(3^x - 27) + (5 - x) = 3^x - x + 14$
$3^x - x - 22 = 3^x - x + 14$
$-22 = 14$.
Получено неверное равенство, значит, на этом промежутке решений нет.

Случай 3: $x \in (5, +\infty)$
На этом промежутке $x > 5 > 3 \implies 3^x > 27$, следовательно $27 - 3^x < 0$, и $|27 - 3^x| = -(27 - 3^x) = 3^x - 27$.
Также $x > 5$, следовательно $x - 5 > 0$, и $|x - 5| = x - 5$.
Подставляем в уравнение:
$(3^x - 27) + (x - 5) = 3^x - x + 14$
$3^x + x - 32 = 3^x - x + 14$
$x - 32 = -x + 14$
$2x = 46$
$x = 23$.
Корень $x=23$ принадлежит рассматриваемому промежутку $(5, +\infty)$, значит, является решением.

Объединяя найденные решения, получаем два корня.
Ответ: $2; 23$.