Номер 12.14, страница 311 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 12.14, страница 311.

Условие.

12.14 а) $\frac{|x - 1|}{x - 1} + \frac{|x - 2|}{x - 2} \ge 0;$

б) $\frac{|x - 5|}{x - 5} + \frac{|x - 6|}{x - 6} \ge 2;$

в) $\frac{|x - 5| - |x - 3|}{|x - 2| + x - 2} \ge 0;$

г) $\frac{|x - 7| - |x - 3|}{x - 8 - |x - 8|} \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\frac{|x-1|}{x-1} + \frac{|x-2|}{x-2} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x-1 \ne 0$ и $x-2 \ne 0$, то есть $x \ne 1$ и $x \ne 2$.

Заметим, что выражение $\frac{|a|}{a}$ является функцией знака $\text{sgn}(a)$, которая равна $1$ при $a > 0$ и $-1$ при $a < 0$. Разобьем числовую ось на интервалы точками, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x=1$ и $x=2$.

1. При $x < 1$, имеем $x-1 < 0$ и $x-2 < 0$. Левая часть неравенства принимает вид: $\frac{-(x-1)}{x-1} + \frac{-(x-2)}{x-2} = -1 + (-1) = -2$. Неравенство $-2 \ge 0$ неверно, решений на этом интервале нет.

2. При $1 < x < 2$, имеем $x-1 > 0$ и $x-2 < 0$. Левая часть неравенства принимает вид: $\frac{x-1}{x-1} + \frac{-(x-2)}{x-2} = 1 + (-1) = 0$. Неравенство $0 \ge 0$ верно. Следовательно, весь интервал $(1, 2)$ является решением.

3. При $x > 2$, имеем $x-1 > 0$ и $x-2 > 0$. Левая часть неравенства принимает вид: $\frac{x-1}{x-1} + \frac{x-2}{x-2} = 1 + 1 = 2$. Неравенство $2 \ge 0$ верно. Следовательно, весь интервал $(2, \infty)$ является решением.

Объединяя полученные результаты, получаем решение неравенства: $x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{|x-5|}{x-5} + \frac{|x-6|}{x-6} \ge 2$.

ОДЗ: $x \ne 5$ и $x \ne 6$.

Рассмотрим значения левой части на интервалах, на которые числовую ось делят точки $x=5$ и $x=6$.

1. При $x < 5$, имеем $x-5 < 0$ и $x-6 < 0$. Левая часть равна $-1 + (-1) = -2$. Неравенство $-2 \ge 2$ неверно.

2. При $5 < x < 6$, имеем $x-5 > 0$ и $x-6 < 0$. Левая часть равна $1 + (-1) = 0$. Неравенство $0 \ge 2$ неверно.

3. При $x > 6$, имеем $x-5 > 0$ и $x-6 > 0$. Левая часть равна $1 + 1 = 2$. Неравенство $2 \ge 2$ верно. Следовательно, интервал $(6, \infty)$ является решением.

Ответ: $x \in (6, \infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{|x-5| - |x-3|}{|x-2| + x-2} \ge 0$.

Найдем ОДЗ. Знаменатель $|x-2| + x-2$ не должен равняться нулю.
Если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$, знаменатель равен $-(x-2) + (x-2) = 0$.
Если $x-2 = 0$, то есть $x = 2$, знаменатель равен $0 + 0 = 0$.
Если $x-2 > 0$, то есть $x > 2$, знаменатель равен $(x-2) + (x-2) = 2(x-2)$, что больше нуля.
Таким образом, ОДЗ неравенства: $x > 2$.

На области допустимых значений знаменатель $2(x-2)$ положителен. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно следующему:

$|x-5| - |x-3| \ge 0$, что эквивалентно $|x-5| \ge |x-3|$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$(x-5)^2 \ge (x-3)^2$

$x^2 - 10x + 25 \ge x^2 - 6x + 9$

$25 - 9 \ge 10x - 6x$

$16 \ge 4x$

$4 \ge x$, или $x \le 4$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ, то есть $x > 2$. Пересекая решения $x \le 4$ и $x > 2$, получаем $2 < x \le 4$.

Ответ: $x \in (2, 4]$.

г) Решим неравенство $\frac{|x-7| - |x-3|}{x-8-|x-8|} \ge 0$.

Найдем ОДЗ. Знаменатель $x-8-|x-8|$ не должен равняться нулю.
Если $x-8 \ge 0$, то есть $x \ge 8$, знаменатель равен $x-8 - (x-8) = 0$.
Если $x-8 < 0$, то есть $x < 8$, знаменатель равен $x-8 - (-(x-8)) = x-8+x-8 = 2x-16=2(x-8)$, что меньше нуля.
Таким образом, ОДЗ неравенства: $x < 8$.

На области допустимых значений знаменатель $2(x-8)$ отрицателен. Для того чтобы дробь была неотрицательной (больше или равна нулю), необходимо, чтобы числитель был неположительным (меньше или равен нулю). Неравенство равносильно следующему:

$|x-7| - |x-3| \le 0$, что эквивалентно $|x-7| \le |x-3|$.

Это неравенство можно интерпретировать геометрически: расстояние от точки $x$ на числовой прямой до точки 7 не больше, чем расстояние от $x$ до точки 3. Середина отрезка $[3, 7]$ — это точка $\frac{3+7}{2} = 5$. Все точки, которые находятся ближе к 7, чем к 3 (или на равном расстоянии), лежат правее этой середины, то есть $x \ge 5$.

Учитывая ОДЗ ($x < 8$), получаем итоговое решение, которое является пересечением условий $x \ge 5$ и $x < 8$.

Ответ: $x \in [5, 8)$.