Номер 12.21, страница 314 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 12.21, страница 314.

Условие.

12.21 a) $\frac{(x-2)^4 (1 + \log_{0.5} x)}{2x - 7} \le 0;$

б) $\frac{(3x-1)^2 (x-3)}{2^x - 4} \le 0;$

В) $\frac{(x-4)^2 (2 + \log_{\frac{1}{3}} x)}{x - 1} \le 0;$

Г) $\frac{(x^2 - 11x + 10)(\lg x - 1)}{(2^x - 2)^2} \le 0.$

Решение 1.

Решение 4.

а)

Решим неравенство $\frac{(x-2)^4 (1 + \log_{0,5} x)}{2x - 7} \le 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $2x - 7 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3,5$.
ОДЗ: $x \in (0; 3,5) \cup (3,5; \infty)$.

2. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя:
$(x-2)^4 = 0 \Rightarrow x = 2$.
$1 + \log_{0,5} x = 0 \Rightarrow \log_{0,5} x = -1 \Rightarrow x = (0,5)^{-1} = 2$.
Корень $x=2$ является корнем числителя. Подставив $x=2$ в исходное неравенство, получаем $\frac{0}{-3} \le 0$, что является верным ($0 \le 0$). Следовательно, $x=2$ является решением.

Нуль знаменателя:
$2x - 7 = 0 \Rightarrow x = 3,5$.

3. Множитель $(x-2)^4$ неотрицателен при всех $x$ из ОДЗ. Так как $x=2$ уже включено в решение, для $x \ne 2$ этот множитель строго положителен и не влияет на знак дроби. Таким образом, для $x \in \text{ОДЗ} \setminus \{2\}$, неравенство равносильно следующему:

$\frac{1 + \log_{0,5} x}{2x - 7} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: $x=2$ (нуль числителя) и $x=3,5$ (нуль знаменателя). Они разбивают ОДЗ на интервалы: $(0; 2)$, $(2; 3,5)$ и $(3,5; \infty)$.

• При $x \in (0; 2)$: $1 + \log_{0,5} x > 0$ (например, при $x=1$, $1+0 > 0$), $2x-7 < 0$. Дробь $\frac{+}{-}$ отрицательна. Интервал подходит.
• При $x \in (2; 3,5)$: $1 + \log_{0,5} x < 0$ (например, при $x=3$, $\log_{0,5} 3 < -1$), $2x-7 < 0$. Дробь $\frac{-}{-}$ положительна. Интервал не подходит.
• При $x \in (3,5; \infty)$: $1 + \log_{0,5} x < 0$, $2x-7 > 0$. Дробь $\frac{-}{+}$ отрицательна. Интервал подходит.

4. Объединяя полученные результаты, получаем решение для упрощенного неравенства: $x \in (0; 2) \cup (3,5; \infty)$.
Добавляем ранее найденное решение $x=2$.

Итоговое решение: $x \in (0; 2] \cup (3,5; \infty)$.

Ответ: $(0; 2] \cup (3,5; \infty)$.

б)

Решим неравенство $\frac{(3x - 1)^2 (x - 3)}{2^x - 4} \le 0$.

1. Найдем ОДЗ:
Знаменатель не равен нулю: $2^x - 4 \ne 0 \Rightarrow 2^x \ne 2^2 \Rightarrow x \ne 2$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; \infty)$.

2. Решим неравенство методом интервалов.
Множитель $(3x-1)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $3x-1=0 \Rightarrow x=1/3$.
При $x=1/3$ числитель равен 0, а знаменатель $2^{1/3}-4 \ne 0$. Неравенство $0 \le 0$ выполняется, значит $x=1/3$ является решением.

3. Для $x \ne 1/3$ множитель $(3x-1)^2 > 0$ и не влияет на знак дроби. Неравенство равносильно следующему:

$\frac{x - 3}{2^x - 4} \le 0$

Найдем нули числителя и знаменателя:
$x-3=0 \Rightarrow x=3$.
$2^x-4=0 \Rightarrow x=2$.
Нанесем точки $2$ и $3$ на числовую ось и определим знаки на интервалах $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; \infty)$.

• При $x \in (-\infty; 2)$: $x-3 < 0$, $2^x - 4 < 0$. Дробь $\frac{-}{-}$ положительна. Интервал не подходит.
• При $x \in (2; 3)$: $x-3 < 0$, $2^x - 4 > 0$. Дробь $\frac{-}{+}$ отрицательна. Интервал подходит.
• При $x=3$: числитель равен 0, дробь равна 0. Неравенство $0 \le 0$ выполняется. Точка $x=3$ является решением.
• При $x \in (3; \infty)$: $x-3 > 0$, $2^x - 4 > 0$. Дробь $\frac{+}{+}$ положительна. Интервал не подходит.

4. Решение для упрощенного неравенства: $x \in (2; 3]$.
Объединяем с ранее найденным решением $x=1/3$.

Итоговое решение: $x \in \{1/3\} \cup (2; 3]$.

Ответ: $\{1/3\} \cup (2; 3]$.

в)

Решим неравенство $\frac{(x - 4)^2 (2 + \log_{\frac{1}{3}} x)}{x - 1} \le 0$.

1. Найдем ОДЗ:
Аргумент логарифма: $x > 0$.
Знаменатель: $x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.
ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; \infty)$.

2. Решим методом интервалов.
Множитель $(x-4)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=4$.
При $x=4$ числитель равен 0, знаменатель $4-1=3 \ne 0$. Неравенство $0 \le 0$ выполняется. Значит, $x=4$ является решением.

3. Для $x \ne 4$ множитель $(x-4)^2 > 0$ и не влияет на знак дроби. Неравенство равносильно:

$\frac{2 + \log_{\frac{1}{3}} x}{x - 1} \le 0$

Найдем нули числителя и знаменателя:
$2 + \log_{\frac{1}{3}} x = 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}} x = -2 \Rightarrow x = (\frac{1}{3})^{-2} = 9$.
$x-1=0 \Rightarrow x=1$.
Нанесем точки $1$ и $9$ на числовую ось с учетом ОДЗ $x>0$. Интервалы: $(0; 1)$, $(1; 9)$ и $(9; \infty)$.

• При $x \in (0; 1)$: $x-1 < 0$. Для числителя: т.к. $x < 9$, то $\log_{1/3} x > \log_{1/3} 9 = -2$, значит $2 + \log_{1/3} x > 0$. Дробь $\frac{+}{-}$ отрицательна. Интервал подходит.
• При $x \in (1; 9)$: $x-1 > 0$, $2 + \log_{1/3} x > 0$. Дробь $\frac{+}{+}$ положительна. Интервал не подходит.
• При $x=9$: числитель равен 0, дробь равна 0. Неравенство $0 \le 0$ выполняется. Точка $x=9$ является решением.
• При $x \in (9; \infty)$: $x-1 > 0$. Для числителя: т.к. $x > 9$, то $\log_{1/3} x < \log_{1/3} 9 = -2$, значит $2 + \log_{1/3} x < 0$. Дробь $\frac{-}{+}$ отрицательна. Интервал подходит.

4. Решение для упрощенного неравенства: $x \in (0; 1) \cup [9; \infty)$.
Объединяем с ранее найденным решением $x=4$.

Итоговое решение: $x \in (0; 1) \cup \{4\} \cup [9; \infty)$.

Ответ: $(0; 1) \cup \{4\} \cup [9; \infty)$.

г)

Решим неравенство $\frac{(x^2 - 11x + 10)(\lg x - 1)}{(2^x - 2)^2} \le 0$.

1. Найдем ОДЗ:
Аргумент логарифма: $x > 0$.
Знаменатель: $(2^x - 2)^2 \ne 0 \Rightarrow 2^x - 2 \ne 0 \Rightarrow 2^x \ne 2^1 \Rightarrow x \ne 1$.
ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; \infty)$.

2. Знаменатель $(2^x-2)^2$ является полным квадратом и строго положителен для всех $x$ из ОДЗ. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} (x^2 - 11x + 10)(\lg x - 1) \le 0 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \end{cases}$

3. Решим неравенство $(x^2 - 11x + 10)(\lg x - 1) \le 0$.
Разложим на множители квадратный трехчлен: $x^2 - 11x + 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 10$. Таким образом, $x^2 - 11x + 10 = (x-1)(x-10)$.
Неравенство принимает вид: $(x-1)(x-10)(\lg x - 1) \le 0$.

4. Найдем нули левой части:
$x-1=0 \Rightarrow x=1$.
$x-10=0 \Rightarrow x=10$.
$\lg x - 1 = 0 \Rightarrow \lg x = 1 \Rightarrow x = 10$.
Критические точки: $x=1$ (корень кратности 1) и $x=10$ (корень кратности 2, т.к. является корнем двух множителей). При переходе через точку $x=10$ знак меняться не будет.

5. Нанесем точки на числовую ось с учетом ОДЗ ($x>0$, $x \ne 1$). Интервалы: $(0; 1)$, $(1; 10)$ и $(10; \infty)$.

• При $x \in (0; 1)$: $x-1 < 0$, $x-10 < 0$, $\lg x - 1 < 0$ (т.к. $\lg x < \lg 1 = 0$). Произведение $(-)(-)(-) = (-)$. Интервал подходит.
• При $x \in (1; 10)$: $x-1 > 0$, $x-10 < 0$, $\lg x - 1 < 0$ (т.к. $\lg x < \lg 10 = 1$). Произведение $(+)(-)(-) = (+)$. Интервал не подходит.
• При $x=10$: левая часть равна 0. Неравенство $0 \le 0$ выполняется. Точка $x=10$ является решением.
• При $x \in (10; \infty)$: $x-1 > 0$, $x-10 > 0$, $\lg x - 1 > 0$. Произведение $(+)(+)(+) = (+)$. Интервал не подходит.

6. Учитывая, что $x \ne 1$, объединяем полученные решения.

Итоговое решение: $x \in (0; 1) \cup \{10\}$.

Ответ: $(0; 1) \cup \{10\}$.