Номер 13.4, страница 317 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 13.4, страница 317.

Условие.

13.4 a) $(\sqrt{x^2 - 81} + 2)\log_3 |x| + \frac{9}{x}(\sqrt{81 - x^2} + 1) > 4;$

б) $(\sqrt{x^2 - 16} + 1)\log_3 (x^2 - 7) - \frac{x}{2}(\sqrt{16 - x^2} + 3) < 0;$

в) $\sqrt{x^2 - 7x + 10} > \lg (\sqrt{7x - x^2 - 10} + 2);$

г) $\sqrt{x^2 + 7x + 10} < \lg (-5x + \sqrt{-x^2 - 5x - 6}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим неравенство $(\sqrt{x^2-81}+2)\log_3|x| + \frac{9}{x}(\sqrt{81-x^2}+1) > 4$.
Найдем область определения (ОДЗ) неравенства. Для этого необходимо, чтобы все выражения были определены:
$ \begin{cases} x^2 - 81 \ge 0 \\ 81 - x^2 \ge 0 \\ |x| > 0 \\ x \neq 0 \end{cases} $
Из первого неравенства системы $x^2 \ge 81$. Из второго $x^2 \le 81$. Единственная возможность, при которой оба неравенства выполняются одновременно, это $x^2 = 81$.
Отсюда $x = 9$ или $x = -9$.
Оба значения удовлетворяют условиям $|x| > 0$ и $x \neq 0$. Таким образом, ОДЗ состоит из двух точек: $x=9$ и $x=-9$.
Проверим каждую точку, подставив ее в исходное неравенство.
1. При $x=9$:
$(\sqrt{9^2 - 81} + 2)\log_3|9| + \frac{9}{9}(\sqrt{81 - 9^2} + 1) > 4$
$(\sqrt{0} + 2)\log_3 9 + 1(\sqrt{0} + 1) > 4$
$2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 > 4$
$5 > 4$ (верно).
Следовательно, $x=9$ является решением.
2. При $x=-9$:
$(\sqrt{(-9)^2 - 81} + 2)\log_3|-9| + \frac{9}{-9}(\sqrt{81 - (-9)^2} + 1) > 4$
$(\sqrt{0} + 2)\log_3 9 - 1(\sqrt{0} + 1) > 4$
$2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 > 4$
$3 > 4$ (неверно).
Следовательно, $x=-9$ не является решением.
Ответ: $x=9$.

б) Решим неравенство $(\sqrt{x^2-16}+1)\log_3(x^2-7) - \frac{x}{2}(\sqrt{16-x^2}+3) < 0$.
Найдем область определения (ОДЗ) неравенства:
$ \begin{cases} x^2 - 16 \ge 0 \\ 16 - x^2 \ge 0 \\ x^2 - 7 > 0 \end{cases} $
Из первого и второго неравенств системы следует, что $x^2 - 16 = 0$, откуда $x^2 = 16$, то есть $x = \pm 4$.
Проверим, удовлетворяют ли эти значения третьему условию $x^2 - 7 > 0$:
Для $x=4$: $4^2 - 7 = 16 - 7 = 9 > 0$ (верно).
Для $x=-4$: $(-4)^2 - 7 = 16 - 7 = 9 > 0$ (верно).
Таким образом, ОДЗ состоит из двух точек: $x=4$ и $x=-4$.
Проверим каждую точку, подставив ее в исходное неравенство.
1. При $x=4$:
$(\sqrt{4^2 - 16} + 1)\log_3(4^2 - 7) - \frac{4}{2}(\sqrt{16 - 4^2} + 3) < 0$
$(\sqrt{0} + 1)\log_3(16 - 7) - 2(\sqrt{0} + 3) < 0$
$1 \cdot \log_3(9) - 2 \cdot 3 < 0$
$1 \cdot 2 - 6 < 0$
$-4 < 0$ (верно).
Следовательно, $x=4$ является решением.
2. При $x=-4$:
$(\sqrt{(-4)^2 - 16} + 1)\log_3((-4)^2 - 7) - \frac{-4}{2}(\sqrt{16 - (-4)^2} + 3) < 0$
$(\sqrt{0} + 1)\log_3(16 - 7) + 2(\sqrt{0} + 3) < 0$
$1 \cdot \log_3(9) + 2 \cdot 3 < 0$
$1 \cdot 2 + 6 < 0$
$8 < 0$ (неверно).
Следовательно, $x=-4$ не является решением.
Ответ: $x=4$.

в) Решим неравенство $\sqrt{x^2-7x+10} > \lg(\sqrt{7x-x^2-10}+2)$.
Найдем область определения (ОДЗ) неравенства:
$ \begin{cases} x^2 - 7x + 10 \ge 0 \\ 7x - x^2 - 10 \ge 0 \\ \sqrt{7x-x^2-10}+2 > 0 \end{cases} $
Второе неравенство можно переписать как $-(x^2 - 7x + 10) \ge 0$, что равносильно $x^2 - 7x + 10 \le 0$.
Таким образом, из первого и второго неравенств следует, что $x^2 - 7x + 10$ может быть только равно нулю.
$x^2 - 7x + 10 = 0$.
Решим квадратное уравнение: $(x-2)(x-5)=0$, откуда $x_1=2, x_2=5$.
При этих значениях $x$ подкоренное выражение $7x-x^2-10$ равно 0, и третье условие ОДЗ $\sqrt{0}+2 > 0$ выполняется.
Итак, ОДЗ состоит из двух точек: $x=2$ и $x=5$.
Подставим эти значения в исходное неравенство. Так как для обеих точек $x^2 - 7x + 10 = 0$, проверка будет одинаковой:
$\sqrt{0} > \lg(\sqrt{0} + 2)$
$0 > \lg(2)$
Поскольку основание десятичного логарифма $10 > 1$, а $2 > 1$, то $\lg(2) > \lg(1) = 0$.
Неравенство $0 > \lg(2)$ является неверным, так как $\lg(2)$ — положительное число.
Следовательно, ни $x=2$, ни $x=5$ не являются решениями.
Ответ: решений нет.

г) Решим неравенство $\sqrt{x^2+7x+10} < \lg(-5x+\sqrt{-x^2-5x-6})$.
Найдем область определения (ОДЗ) неравенства. Для этого решим систему:
$ \begin{cases} x^2 + 7x + 10 \ge 0 \\ -x^2 - 5x - 6 \ge 0 \\ -5x + \sqrt{-x^2 - 5x - 6} > 0 \end{cases} $
1. $x^2 + 7x + 10 \ge 0 \implies (x+5)(x+2) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -5] \cup [-2, \infty)$.
2. $-x^2 - 5x - 6 \ge 0 \implies x^2 + 5x + 6 \le 0 \implies (x+3)(x+2) \le 0 \implies x \in [-3, -2]$.
Пересечение множеств решений первых двух неравенств $(-\infty, -5] \cup [-2, \infty)$ и $[-3, -2]$ дает единственное значение $x=-2$.
3. Проверим, выполняется ли третье условие для $x=-2$:
$-5(-2) + \sqrt{-(-2)^2 - 5(-2) - 6} > 0$
$10 + \sqrt{-4 + 10 - 6} > 0$
$10 + \sqrt{0} > 0$
$10 > 0$ (верно).
Таким образом, ОДЗ состоит из единственной точки $x=-2$.
Подставим это значение в исходное неравенство, чтобы проверить, является ли оно решением.
$\sqrt{(-2)^2 + 7(-2) + 10} < \lg(-5(-2) + \sqrt{-(-2)^2 - 5(-2) - 6})$
$\sqrt{4 - 14 + 10} < \lg(10 + \sqrt{-4 + 10 - 6})$
$\sqrt{0} < \lg(10 + \sqrt{0})$
$0 < \lg(10)$
$0 < 1$ (верно).
Следовательно, $x=-2$ является решением.
Ответ: $x=-2$.