Номер 13.7, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.7, страница 319.

Условие.

13.7 a) $9^x - 2 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 2^x + 1 = 0;$

б) $25^x - 5 \cdot 10^x + 29 \cdot 4^{x-1} - 4 \cdot 2^x + 4 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $9^x - 2 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 2^{x+1} + 1 = 0$.

Преобразуем степени в уравнении, чтобы выразить их через $3^x$ и $2^x$.
$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$
$6^x = (3 \cdot 2)^x = 3^x \cdot 2^x$
$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$
$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$

Подставим эти выражения в уравнение:$(3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x + 2 \cdot (2^x)^2 - 2 \cdot (2 \cdot 2^x) + 1 = 0$

$(3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x + 2 \cdot (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 1 = 0$

Сгруппируем члены уравнения. Для этого представим $2 \cdot (2^x)^2$ как $(2^x)^2 + (2^x)^2$:$((3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x + (2^x)^2) + ((2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 1) = 0$

Первая скобка является полным квадратом разности:$(3^x - 2^x)^2$

Таким образом, уравнение принимает вид:$(3^x - 2^x)^2 + (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 1 = 0$

Рассмотрим вторую часть уравнения. Ее также можно преобразовать, выделив полный квадрат:$(2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 1 = ((2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 4) - 3 = (2^x - 2)^2 - 3$

Подставим это обратно в уравнение:$(3^x - 2^x)^2 + (2^x - 2)^2 - 3 = 0$$(3^x - 2^x)^2 + (2^x - 2)^2 = 3$

Данное уравнение не имеет решений, которые можно выразить через элементарные функции. Хотя можно показать, что корень существует (он находится в интервале $(1, 2)$), его нахождение требует численных методов, что выходит за рамки стандартной школьной программы. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка (например, если бы свободный член был равен 4, а не 1, уравнение бы приняло вид $(3^x - 2^x)^2 + (2^x - 2)^2 = 0$, которое не имеет решений). В исходном виде задача не имеет "хороших" корней.

Ответ: уравнение не имеет решений в элементарных функциях.

б)

Исходное уравнение: $25^x - 5 \cdot 10^x + 29 \cdot 4^{x-1} - 4 \cdot 2^x + 4 = 0$.

Преобразуем степени в уравнении, чтобы выразить их через $5^x$ и $2^x$.
$25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$
$10^x = (5 \cdot 2)^x = 5^x \cdot 2^x$
$4^{x-1} = 4^x \cdot 4^{-1} = \frac{1}{4}(2^2)^x = \frac{1}{4}(2^x)^2$

Подставим эти выражения в уравнение:$(5^x)^2 - 5 \cdot 5^x \cdot 2^x + 29 \cdot \frac{1}{4}(2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 4 = 0$$(5^x)^2 - 5 \cdot 5^x \cdot 2^x + \frac{29}{4}(2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 4 = 0$

Сгруппируем члены уравнения, выделив полные квадраты. Для этого представим член $\frac{29}{4}(2^x)^2$ в виде суммы $\frac{25}{4}(2^x)^2 + \frac{4}{4}(2^x)^2 = \frac{25}{4}(2^x)^2 + (2^x)^2$.$((5^x)^2 - 5 \cdot 5^x \cdot 2^x + \frac{25}{4}(2^x)^2) + ((2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 4) = 0$

Обе скобки являются полными квадратами:Первая скобка: $(5^x)^2 - 2 \cdot 5^x \cdot (\frac{5}{2} \cdot 2^x) + (\frac{5}{2} \cdot 2^x)^2 = (5^x - \frac{5}{2} \cdot 2^x)^2$
Вторая скобка: $(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x \cdot 2 + 2^2 = (2^x - 2)^2$

Уравнение принимает вид:$(5^x - \frac{5}{2} \cdot 2^x)^2 + (2^x - 2)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю. Получаем систему уравнений:$\begin{cases} 5^x - \frac{5}{2} \cdot 2^x = 0 \\ 2^x - 2 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим $x$:$2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли этот корень первому уравнению, подставив $x=1$:$5^1 - \frac{5}{2} \cdot 2^1 = 5 - \frac{5}{2} \cdot 2 = 5 - 5 = 0$

Так как $x=1$ является решением обоих уравнений системы, он является решением исходного уравнения.

Ответ: $x=1$.