Номер 13.7, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 13.7, страница 319.
№13.7 (с. 319)
Условие. №13.7 (с. 319)
скриншот условия

13.7 a) $9^x - 2 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 2^x + 1 = 0;$
б) $25^x - 5 \cdot 10^x + 29 \cdot 4^{x-1} - 4 \cdot 2^x + 4 = 0.$
Решение 1. №13.7 (с. 319)


Решение 2. №13.7 (с. 319)

Решение 3. №13.7 (с. 319)

Решение 4. №13.7 (с. 319)
а)
Исходное уравнение: $9^x - 2 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 2^{x+1} + 1 = 0$.
Преобразуем степени в уравнении, чтобы выразить их через $3^x$ и $2^x$.
$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$
$6^x = (3 \cdot 2)^x = 3^x \cdot 2^x$
$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$
$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$
Подставим эти выражения в уравнение:$(3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x + 2 \cdot (2^x)^2 - 2 \cdot (2 \cdot 2^x) + 1 = 0$
$(3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x + 2 \cdot (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 1 = 0$
Сгруппируем члены уравнения. Для этого представим $2 \cdot (2^x)^2$ как $(2^x)^2 + (2^x)^2$:$((3^x)^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 2^x + (2^x)^2) + ((2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 1) = 0$
Первая скобка является полным квадратом разности:$(3^x - 2^x)^2$
Таким образом, уравнение принимает вид:$(3^x - 2^x)^2 + (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 1 = 0$
Рассмотрим вторую часть уравнения. Ее также можно преобразовать, выделив полный квадрат:$(2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 1 = ((2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 4) - 3 = (2^x - 2)^2 - 3$
Подставим это обратно в уравнение:$(3^x - 2^x)^2 + (2^x - 2)^2 - 3 = 0$$(3^x - 2^x)^2 + (2^x - 2)^2 = 3$
Данное уравнение не имеет решений, которые можно выразить через элементарные функции. Хотя можно показать, что корень существует (он находится в интервале $(1, 2)$), его нахождение требует численных методов, что выходит за рамки стандартной школьной программы. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка (например, если бы свободный член был равен 4, а не 1, уравнение бы приняло вид $(3^x - 2^x)^2 + (2^x - 2)^2 = 0$, которое не имеет решений). В исходном виде задача не имеет "хороших" корней.
Ответ: уравнение не имеет решений в элементарных функциях.
б)
Исходное уравнение: $25^x - 5 \cdot 10^x + 29 \cdot 4^{x-1} - 4 \cdot 2^x + 4 = 0$.
Преобразуем степени в уравнении, чтобы выразить их через $5^x$ и $2^x$.
$25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$
$10^x = (5 \cdot 2)^x = 5^x \cdot 2^x$
$4^{x-1} = 4^x \cdot 4^{-1} = \frac{1}{4}(2^2)^x = \frac{1}{4}(2^x)^2$
Подставим эти выражения в уравнение:$(5^x)^2 - 5 \cdot 5^x \cdot 2^x + 29 \cdot \frac{1}{4}(2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 4 = 0$$(5^x)^2 - 5 \cdot 5^x \cdot 2^x + \frac{29}{4}(2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 4 = 0$
Сгруппируем члены уравнения, выделив полные квадраты. Для этого представим член $\frac{29}{4}(2^x)^2$ в виде суммы $\frac{25}{4}(2^x)^2 + \frac{4}{4}(2^x)^2 = \frac{25}{4}(2^x)^2 + (2^x)^2$.$((5^x)^2 - 5 \cdot 5^x \cdot 2^x + \frac{25}{4}(2^x)^2) + ((2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 4) = 0$
Обе скобки являются полными квадратами:Первая скобка: $(5^x)^2 - 2 \cdot 5^x \cdot (\frac{5}{2} \cdot 2^x) + (\frac{5}{2} \cdot 2^x)^2 = (5^x - \frac{5}{2} \cdot 2^x)^2$
Вторая скобка: $(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x \cdot 2 + 2^2 = (2^x - 2)^2$
Уравнение принимает вид:$(5^x - \frac{5}{2} \cdot 2^x)^2 + (2^x - 2)^2 = 0$
Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю. Получаем систему уравнений:$\begin{cases} 5^x - \frac{5}{2} \cdot 2^x = 0 \\ 2^x - 2 = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения находим $x$:$2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$
Проверим, удовлетворяет ли этот корень первому уравнению, подставив $x=1$:$5^1 - \frac{5}{2} \cdot 2^1 = 5 - \frac{5}{2} \cdot 2 = 5 - 5 = 0$
Так как $x=1$ является решением обоих уравнений системы, он является решением исходного уравнения.
Ответ: $x=1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 13.7 расположенного на странице 319 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13.7 (с. 319), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.