Номер 13.13, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.13, страница 323.

Условие.

Решите уравнение (13.13–13.17):

13.13 а) $\lg (x^2 + 1) + 1 = \cos \pi x$;

б) $\lg(1 + |x - 2|) + 2 = |1 + \cos \pi x|$;

в) $3 - \lg (x^2 - 10x + 26) = \sqrt{x^2 - 10x + 34}$;

г) $2 - \lg (1 + |x - 6|) = \sqrt{x^2 - 12x + 40}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $lg(x^2 + 1) + 1 = \cos \pi x$

Для решения данного уравнения оценим области значений его левой и правой частей.

Рассмотрим левую часть уравнения: $f(x) = lg(x^2 + 1) + 1$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно: $x^2 \ge 0$.
Следовательно, $x^2 + 1 \ge 1$.
Функция десятичного логарифма $y = lg(t)$ является возрастающей, поэтому $lg(x^2 + 1) \ge lg(1) = 0$.
Таким образом, для левой части уравнения имеем: $lg(x^2 + 1) + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Наименьшее значение левой части равно 1 и достигается при $x^2=0$, то есть при $x=0$.

Рассмотрим правую часть уравнения: $g(x) = \cos \pi x$.
Область значений функции косинуса — отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, $\cos \pi x \le 1$.
Наибольшее значение правой части равно 1.

Равенство $lg(x^2 + 1) + 1 = \cos \pi x$ возможно только в том случае, когда обе части уравнения одновременно равны 1. Это эквивалентно системе уравнений:
$\begin{cases} lg(x^2 + 1) + 1 = 1 \\ \cos \pi x = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$lg(x^2 + 1) = 0$
$x^2 + 1 = 10^0$
$x^2 + 1 = 1$
$x^2 = 0$
$x = 0$

Подставим найденное значение $x=0$ во второе уравнение системы, чтобы проверить, является ли оно решением:
$\cos(\pi \cdot 0) = \cos(0) = 1$.
Равенство выполняется. Следовательно, $x=0$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $x=0$.

б) $lg(1 + |x - 2|) + 2 = |1 + \cos \pi x|$

Оценим области значений левой и правой частей уравнения.

Левая часть: $f(x) = lg(1 + |x - 2|) + 2$.
Модуль $|x - 2|$ всегда неотрицателен: $|x - 2| \ge 0$.
Следовательно, $1 + |x - 2| \ge 1$.
Так как функция логарифма возрастающая, $lg(1 + |x - 2|) \ge lg(1) = 0$.
Таким образом, $lg(1 + |x - 2|) + 2 \ge 0 + 2 = 2$.
Наименьшее значение левой части равно 2 и достигается при $|x - 2|=0$, то есть при $x=2$.

Правая часть: $g(x) = |1 + \cos \pi x|$.
Мы знаем, что $-1 \le \cos \pi x \le 1$.
Прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим: $0 \le 1 + \cos \pi x \le 2$.
Так как выражение $1 + \cos \pi x$ неотрицательно, его модуль равен самому выражению: $|1 + \cos \pi x| = 1 + \cos \pi x$.
Следовательно, $0 \le |1 + \cos \pi x| \le 2$.
Наибольшее значение правой части равно 2.

Равенство возможно только тогда, когда обе части уравнения равны 2. Получаем систему:
$\begin{cases} lg(1 + |x - 2|) + 2 = 2 \\ |1 + \cos \pi x| = 2 \end{cases}$

Решим первое уравнение:
$lg(1 + |x - 2|) = 0$
$1 + |x - 2| = 10^0$
$1 + |x - 2| = 1$
$|x - 2| = 0$
$x = 2$

Проверим найденное значение $x=2$ во втором уравнении:
$|1 + \cos(\pi \cdot 2)| = |1 + \cos(2\pi)| = |1 + 1| = |2| = 2$.
Равенство выполняется, значит, $x=2$ — единственное решение.

Ответ: $x=2$.

в) $3 - lg(x^2 - 10x + 26) = \sqrt{x^2 - 10x + 34}$

Преобразуем выражения в уравнении, выделив полные квадраты:
$x^2 - 10x + 26 = (x^2 - 10x + 25) + 1 = (x - 5)^2 + 1$.
$x^2 - 10x + 34 = (x^2 - 10x + 25) + 9 = (x - 5)^2 + 9$.
Сделаем замену $y = (x - 5)^2$. Так как $y$ — это квадрат выражения, то $y \ge 0$.
Уравнение принимает вид: $3 - lg(y + 1) = \sqrt{y + 9}$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения от переменной $y \ge 0$.
Левая часть: $f(y) = 3 - lg(y + 1)$. При возрастании $y$, выражение $y+1$ возрастает, $lg(y+1)$ возрастает, а $3-lg(y+1)$ убывает. Значит, $f(y)$ — убывающая функция. Ее наибольшее значение достигается при $y=0$: $f(0) = 3 - lg(1) = 3$. Таким образом, $f(y) \le 3$.

Правая часть: $g(y) = \sqrt{y + 9}$. При возрастании $y$, выражение $y+9$ возрастает, и $\sqrt{y+9}$ тоже возрастает. Значит, $g(y)$ — возрастающая функция. Ее наименьшее значение достигается при $y=0$: $g(0) = \sqrt{0+9} = 3$. Таким образом, $g(y) \ge 3$.

Равенство $f(y) = g(y)$ возможно только если $f(y) = g(y) = 3$. Это достигается только при $y = 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:
$(x - 5)^2 = 0$
$x - 5 = 0$
$x = 5$

Ответ: $x=5$.

г) $2 - lg(1 + |x - 6|) = \sqrt{x^2 - 12x + 40}$

Преобразуем выражение под корнем, выделив полный квадрат:
$x^2 - 12x + 40 = (x^2 - 12x + 36) + 4 = (x - 6)^2 + 4$.
Сделаем замену $y = |x - 6|$. Тогда $y \ge 0$ и $y^2 = (x - 6)^2$.
Уравнение принимает вид: $2 - lg(1 + y) = \sqrt{y^2 + 4}$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях как функции от $y \ge 0$.
Левая часть: $f(y) = 2 - lg(1 + y)$. Это убывающая функция (по аналогии с пунктом в)). Ее максимальное значение достигается при $y=0$: $f(0) = 2 - lg(1) = 2$. Следовательно, $f(y) \le 2$.

Правая часть: $g(y) = \sqrt{y^2 + 4}$. Это возрастающая функция для $y \ge 0$. Ее минимальное значение достигается при $y=0$: $g(0) = \sqrt{0^2+4} = \sqrt{4} = 2$. Следовательно, $g(y) \ge 2$.

Равенство $f(y) = g(y)$ возможно только если $f(y) = g(y) = 2$, что имеет место только при $y = 0$.

Сделаем обратную замену:
$|x - 6| = 0$
$x - 6 = 0$
$x = 6$

Ответ: $x=6$.