Номер 13.15, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 13.15, страница 323.

Условие.

13.15 a) $2 \cos^2 (x \sin \pi x) = 2 + \log_2 (x^2 - 4x + 5);$

б) $3 \sin^2 \left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin \frac{\pi x}{2}\right) = 3 + \log_3 (x^2 - 6x + 10).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Решим уравнение $2\cos^2(x\sin(\pi x)) = 2 + \log_2(x^2 - 4x + 5)$.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки, проанализировав область значений левой и правой частей.

Рассмотрим левую часть (ЛЧ): $f(x) = 2\cos^2(x\sin(\pi x))$. Мы знаем, что для любого действительного аргумента $\alpha$, значение функции косинус в квадрате находится в пределах $0 \le \cos^2(\alpha) \le 1$. Умножив на 2, получаем, что область значений левой части уравнения есть отрезок $[0, 2]$. Таким образом, $ЛЧ \le 2$.

Рассмотрим правую часть (ПЧ): $g(x) = 2 + \log_2(x^2 - 4x + 5)$. Проанализируем выражение, стоящее под знаком логарифма: $h(x) = x^2 - 4x + 5$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Её наименьшее значение достигается в вершине. Выделим полный квадрат, чтобы найти вершину: $x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x-2)^2 + 1$. Так как $(x-2)^2 \ge 0$, то наименьшее значение этого выражения равно $1$ и достигается при $x=2$. Поскольку основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и, следовательно, $\log_2(x^2 - 4x + 5) \ge \log_2(1) = 0$. Отсюда следует, что правая часть уравнения всегда не меньше 2: $ПЧ \ge 2$.

Исходное равенство $ЛЧ = ПЧ$ может выполняться только в том случае, когда обе части одновременно равны $2$. Это равносильно выполнению системы из двух условий:
1) $2\cos^2(x\sin(\pi x)) = 2$
2) $2 + \log_2(x^2 - 4x + 5) = 2$

Начнем с решения второго, более простого уравнения: $2 + \log_2(x^2 - 4x + 5) = 2$. Отсюда $\log_2(x^2 - 4x + 5) = 0$. По определению логарифма, $x^2 - 4x + 5 = 2^0 = 1$. Переносим 1 влево: $x^2 - 4x + 4 = 0$, что является полным квадратом: $(x-2)^2 = 0$. Единственным решением этого уравнения является $x=2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $x=2$ первому уравнению. Подставим $x=2$ в левую часть исходного уравнения: $2\cos^2(2\sin(\pi \cdot 2)) = 2\cos^2(2\sin(2\pi))$. Так как $\sin(2\pi) = 0$, получаем: $2\cos^2(2 \cdot 0) = 2\cos^2(0)$. Поскольку $\cos(0) = 1$, то $2 \cdot 1^2 = 2$. Равенство $2=2$ верно. Таким образом, $x=2$ является решением.

Ответ: $2$

б) Решим уравнение $3\sin^2(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin(\frac{\pi x}{2})) = 3 + \log_3(x^2 - 6x + 10)$.

Как и в предыдущем задании, применим метод оценки для левой и правой частей уравнения.

Левая часть (ЛЧ): $f(x) = 3\sin^2(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin(\frac{\pi x}{2}))$. Область значений функции синус в квадрате: $0 \le \sin^2(\alpha) \le 1$ для любого действительного $\alpha$. Следовательно, умножив на 3, получаем, что $0 \le 3\sin^2(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin(\frac{\pi x}{2})) \le 3$. Таким образом, левая часть уравнения не превышает 3: $ЛЧ \le 3$.

Правая часть (ПЧ): $g(x) = 3 + \log_3(x^2 - 6x + 10)$. Исследуем выражение в аргументе логарифма: $h(x) = x^2 - 6x + 10$. Выделим полный квадрат: $x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x-3)^2 + 1$. Наименьшее значение этого выражения равно $1$ и достигается при $x=3$. Поскольку основание логарифма $3 > 1$, функция $y=\log_3(t)$ является возрастающей, и $\log_3(x^2 - 6x + 10) \ge \log_3(1) = 0$. Следовательно, правая часть уравнения всегда не меньше 3: $ПЧ \ge 3$.

Равенство $ЛЧ = ПЧ$ возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $3$. Это равносильно выполнению системы из двух условий:
1) $3\sin^2(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin(\frac{\pi x}{2})) = 3$
2) $3 + \log_3(x^2 - 6x + 10) = 3$

Решим второе уравнение: $3 + \log_3(x^2 - 6x + 10) = 3$. Отсюда $\log_3(x^2 - 6x + 10) = 0$. По определению логарифма, $x^2 - 6x + 10 = 3^0 = 1$. Переносим 1 влево: $x^2 - 6x + 9 = 0$, что является полным квадратом: $(x-3)^2 = 0$. Единственным решением этого уравнения является $x=3$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x=3$ первому уравнению. Подставим $x=3$ в левую часть исходного уравнения: $3\sin^2(\frac{\pi \cdot 3}{2} \cdot \sin(\frac{\pi \cdot 3}{2})) = 3\sin^2(\frac{3\pi}{2} \cdot \sin(\frac{3\pi}{2}))$. Так как $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, получаем: $3\sin^2(\frac{3\pi}{2} \cdot (-1)) = 3\sin^2(-\frac{3\pi}{2})$. Используя свойство $\sin^2(-\alpha) = \sin^2(\alpha)$, имеем $3\sin^2(\frac{3\pi}{2})$. Поскольку $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, то $3 \cdot (-1)^2 = 3$. Равенство $3=3$ верно.

Ответ: $3$