Номер 13.19, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 13.19, страница 324.

Условие.

13.19 а) $\log_2(x+2) > 1 - x$;

б) $\log_2(x+4) < -1 - x$;

в) $\log_{0,5}(x-2) > x - 3$;

г) $\log_{0,5}(x+2) < x - 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Решим неравенство $ \log_2(x+2) > 1-x $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ x + 2 > 0 \implies x > -2 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-2, +\infty) $.

2. Для решения данного типа неравенств, где сравниваются логарифмическая и линейная функции, удобно использовать функционально-графический метод. Рассмотрим две функции: $ f(x) = \log_2(x+2) $ и $ g(x) = 1-x $.

Функция $ f(x) = \log_2(x+2) $ является строго возрастающей на всей своей области определения, так как основание логарифма $ 2 > 1 $.

Функция $ g(x) = 1-x $ является строго убывающей на всей числовой прямой, так как ее угловой коэффициент равен $ -1 $.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $ f(x) = g(x) $:

$ \log_2(x+2) = 1-x $

Методом подбора легко найти корень. Проверим $ x=0 $:

Левая часть: $ \log_2(0+2) = \log_2(2) = 1 $.

Правая часть: $ 1-0 = 1 $.

Так как левая часть равна правой, $ x=0 $ является единственным корнем уравнения.

3. Вернемся к неравенству $ \log_2(x+2) > 1-x $. Мы ищем такие значения $ x $, при которых значения функции $ f(x) $ больше значений функции $ g(x) $ (график $ f(x) $ лежит выше графика $ g(x) $).

Поскольку $ f(x) $ возрастает, а $ g(x) $ убывает, и они пересекаются в точке $ x=0 $, то для всех $ x $ правее точки пересечения ($ x > 0 $) будет выполняться $ f(x) > g(x) $. Для $ x $ левее точки пересечения ($ x < 0 $) будет выполняться $ f(x) < g(x) $.

Таким образом, решение неравенства есть $ x > 0 $.

Совмещая полученное решение с ОДЗ ($ x > -2 $), получаем итоговый интервал $ x \in (0, +\infty) $.

Ответ: $ (0, +\infty) $.

б)

Решим неравенство $ \log_2(x+4) < -1-x $.

1. ОДЗ: $ x+4 > 0 \implies x > -4 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-4, +\infty) $.

2. Рассмотрим функции $ f(x) = \log_2(x+4) $ и $ g(x) = -1-x $.

Функция $ f(x) $ является строго возрастающей (основание $ 2 > 1 $).

Функция $ g(x) $ является строго убывающей (угловой коэффициент $ -1 $).

Найдем их единственную точку пересечения из уравнения $ \log_2(x+4) = -1-x $.

Методом подбора, проверим $ x=-2 $:

Левая часть: $ \log_2(-2+4) = \log_2(2) = 1 $.

Правая часть: $ -1 - (-2) = -1+2 = 1 $.

Следовательно, $ x=-2 $ — единственный корень.

3. Решаем неравенство $ \log_2(x+4) < -1-x $, то есть ищем $ x $, при которых $ f(x) < g(x) $.

Так как $ f(x) $ возрастает, а $ g(x) $ убывает, и они пересекаются в $ x=-2 $, то неравенство $ f(x) < g(x) $ будет выполняться для всех $ x $ левее точки пересечения, то есть при $ x < -2 $.

Учитывая ОДЗ ($ x > -4 $), получаем итоговое решение: $ -4 < x < -2 $.

Ответ: $ (-4, -2) $.

в)

Решим неравенство $ \log_{0.5}(x-2) > x-3 $.

1. ОДЗ: $ x-2 > 0 \implies x > 2 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (2, +\infty) $.

2. Рассмотрим функции $ f(x) = \log_{0.5}(x-2) $ и $ g(x) = x-3 $.

Функция $ f(x) $ является строго убывающей, так как основание логарифма $ 0.5 \in (0, 1) $.

Функция $ g(x) $ является строго возрастающей (угловой коэффициент $ 1 $).

Найдем их единственную точку пересечения из уравнения $ \log_{0.5}(x-2) = x-3 $.

Методом подбора, проверим $ x=3 $:

Левая часть: $ \log_{0.5}(3-2) = \log_{0.5}(1) = 0 $.

Правая часть: $ 3-3 = 0 $.

Следовательно, $ x=3 $ — единственный корень.

3. Решаем неравенство $ \log_{0.5}(x-2) > x-3 $, то есть ищем $ x $, при которых $ f(x) > g(x) $.

Так как $ f(x) $ убывает, а $ g(x) $ возрастает, и они пересекаются в $ x=3 $, то неравенство $ f(x) > g(x) $ будет выполняться для всех $ x $ левее точки пересечения, то есть при $ x < 3 $.

Учитывая ОДЗ ($ x > 2 $), получаем итоговое решение: $ 2 < x < 3 $.

Ответ: $ (2, 3) $.

г)

Решим неравенство $ \log_{0.5}(x+2) < x-1 $.

1. ОДЗ: $ x+2 > 0 \implies x > -2 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-2, +\infty) $.

2. Рассмотрим функции $ f(x) = \log_{0.5}(x+2) $ и $ g(x) = x-1 $.

Функция $ f(x) $ является строго убывающей (основание $ 0.5 \in (0, 1) $).

Функция $ g(x) $ является строго возрастающей (угловой коэффициент $ 1 $).

Найдем их единственную точку пересечения из уравнения $ \log_{0.5}(x+2) = x-1 $.

Методом подбора, проверим $ x=0 $:

Левая часть: $ \log_{0.5}(0+2) = \log_{0.5}(2) = -1 $.

Правая часть: $ 0-1 = -1 $.

Следовательно, $ x=0 $ — единственный корень.

3. Решаем неравенство $ \log_{0.5}(x+2) < x-1 $, то есть ищем $ x $, при которых $ f(x) < g(x) $.

Так как $ f(x) $ убывает, а $ g(x) $ возрастает, и они пересекаются в $ x=0 $, то неравенство $ f(x) < g(x) $ будет выполняться для всех $ x $ правее точки пересечения, то есть при $ x > 0 $.

Учитывая ОДЗ ($ x > -2 $), получаем итоговое решение: $ x > 0 $.

Ответ: $ (0, +\infty) $.