Номер 13.18, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.18, страница 324.

Условие.

Решите неравенство (13.18—13.20):

13.18 а) $x^2 - \pi x + \frac{\pi^2}{4} \leq 3 \sin x - 3;$

б) $-x^2 + 2\pi x - \pi^2 \geq 2 \cos x + 2; \bullet$

в) $\log_2(x^2 + 4x + 5) \leq -4 - 4x - x^2;$

г) $\log_{0,6}(x^2 - 6x + 10) \geq x^2 - 6x + 9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)Рассмотрим неравенство $x^2 - \pi x + \frac{\pi^2}{4} \le 3 \sin x - 3$.Преобразуем левую часть. Она представляет собой полный квадрат: $x^2 - \pi x + \frac{\pi^2}{4} = (x - \frac{\pi}{2})^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, имеем $(x - \frac{\pi}{2})^2 \ge 0$ для любого $x$.Теперь рассмотрим правую часть: $3 \sin x - 3$. Область значений функции синуса: $-1 \le \sin x \le 1$. Следовательно, максимальное значение правой части достигается при $\sin x = 1$ и равно $3 \cdot 1 - 3 = 0$. Таким образом, $3 \sin x - 3 \le 0$ для любого $x$.Исходное неравенство можно записать как $(x - \frac{\pi}{2})^2 \le 3 \sin x - 3$.Мы получили, что левая часть неравенства всегда больше или равна нулю, а правая часть всегда меньше или равна нулю. Такое неравенство может выполняться только в том случае, когда обе части равны нулю.Это эквивалентно решению системы уравнений:$\begin{cases}(x - \frac{\pi}{2})^2 = 0 \\3 \sin x - 3 = 0\end{cases}$Из первого уравнения находим: $x - \frac{\pi}{2} = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}$.Из второго уравнения находим: $3 \sin x = 3 \implies \sin x = 1$.Проверим, является ли $x = \frac{\pi}{2}$ решением второго уравнения: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Это верное равенство.Таким образом, единственным решением исходного неравенства является $x = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.

б)Рассмотрим неравенство $-x^2 + 2\pi x - \pi^2 \ge 2 \cos x + 2$.Преобразуем левую часть, вынеся минус за скобки: $-(x^2 - 2\pi x + \pi^2) = -(x - \pi)^2$. Так как $(x - \pi)^2 \ge 0$, то левая часть $-(x - \pi)^2 \le 0$ для любого $x$.Теперь рассмотрим правую часть: $2 \cos x + 2$. Область значений функции косинуса: $-1 \le \cos x \le 1$. Следовательно, минимальное значение правой части достигается при $\cos x = -1$ и равно $2(-1) + 2 = 0$. Таким образом, $2 \cos x + 2 \ge 0$ для любого $x$.Исходное неравенство можно записать как $-(x - \pi)^2 \ge 2 \cos x + 2$.Мы получили, что левая часть неравенства всегда меньше или равна нулю, а правая часть всегда больше или равна нулю. Неравенство может выполняться только в том случае, когда обе части равны нулю.Это эквивалентно решению системы уравнений:$\begin{cases}-(x - \pi)^2 = 0 \\2 \cos x + 2 = 0\end{cases}$Из первого уравнения находим: $x - \pi = 0 \implies x = \pi$.Из второго уравнения находим: $2 \cos x = -2 \implies \cos x = -1$.Проверим, является ли $x = \pi$ решением второго уравнения: $\cos(\pi) = -1$. Это верное равенство.Таким образом, единственным решением исходного неравенства является $x = \pi$.
Ответ: $x = \pi$.

в)Рассмотрим неравенство $\log_2(x^2 + 4x + 5) \le -4 - 4x - x^2$.Преобразуем выражение в аргументе логарифма, выделив полный квадрат: $x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x+2)^2 + 1$. Поскольку $(x+2)^2 \ge 0$, то $(x+2)^2 + 1 \ge 1$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $\log_2(t)$ является возрастающей. Следовательно, левая часть неравенства $\log_2((x+2)^2 + 1) \ge \log_2(1) = 0$.Теперь преобразуем правую часть: $-4 - 4x - x^2 = -(x^2 + 4x + 4) = -(x+2)^2$. Так как $(x+2)^2 \ge 0$, то правая часть $-(x+2)^2 \le 0$.Исходное неравенство имеет вид $L(x) \le R(x)$, где $L(x) \ge 0$ и $R(x) \le 0$. Такое неравенство может выполняться только в том случае, когда обе части равны нулю.Это эквивалентно решению системы уравнений:$\begin{cases}\log_2((x+2)^2 + 1) = 0 \\-(x+2)^2 = 0\end{cases}$Из второго уравнения находим: $(x+2)^2 = 0 \implies x+2 = 0 \implies x = -2$.Проверим, является ли $x = -2$ решением первого уравнения: $\log_2((-2+2)^2 + 1) = \log_2(0+1) = \log_2(1) = 0$. Это верное равенство.Таким образом, единственным решением исходного неравенства является $x = -2$.
Ответ: $x = -2$.

г)Рассмотрим неравенство $\log_{0.6}(x^2 - 6x + 10) \ge x^2 - 6x + 9$.Преобразуем обе части неравенства. В правой части стоит полный квадрат: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$. В аргументе логарифма в левой части также выделим полный квадрат: $x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x-3)^2 + 1$.Неравенство принимает вид: $\log_{0.6}((x-3)^2 + 1) \ge (x-3)^2$.Сделаем замену $t = (x-3)^2$. Так как $t$ является квадратом действительного числа, то $t \ge 0$.Неравенство в новых переменных: $\log_{0.6}(t + 1) \ge t$.Рассмотрим левую и правую части этого неравенства.Правая часть: $t \ge 0$.Левая часть: $\log_{0.6}(t+1)$. Поскольку $t \ge 0$, то $t+1 \ge 1$. Основание логарифма $0.6$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому функция $\log_{0.6}(y)$ является убывающей. Следовательно, $\log_{0.6}(t+1) \le \log_{0.6}(1) = 0$.Итак, мы получили неравенство $\log_{0.6}(t+1) \ge t$, где левая часть $\le 0$, а правая часть $\ge 0$. Такое неравенство может выполняться только тогда, когда обе части равны нулю.$\log_{0.6}(t+1) = 0$ и $t=0$.При $t=0$ левая часть равна $\log_{0.6}(0+1) = \log_{0.6}(1) = 0$. Равенство выполняется.Значит, единственное решение для $t$ это $t=0$.Вернемся к исходной переменной: $(x-3)^2 = 0$.Отсюда $x-3=0 \implies x=3$.
Ответ: $x = 3$.