Номер 13.20, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 13.20, страница 324.
№13.20 (с. 324)
Условие. №13.20 (с. 324)
скриншот условия

13.20 a) $ \log_{0,2} (-x^2 + 6x - 8) \le -9 + 6x - x^2 $;
б) $ 3 \cos^2 x \ge 3 + |\log_5 (x^2 - 4x + 1)| $.
Решение 1. №13.20 (с. 324)


Решение 2. №13.20 (с. 324)

Решение 4. №13.20 (с. 324)
a) $\log_{0,2}(-x^2 + 6x - 8) \le -9 + 6x - x^2$
Заметим, что правая часть неравенства очень похожа на выражение под знаком логарифма. Сделаем замену переменной. Пусть $t = -x^2 + 6x - 8$.
Тогда правую часть можно представить как:
$-9 + 6x - x^2 = (-x^2 + 6x - 8) - 1 = t - 1$.
Исходное неравенство принимает вид:
$\log_{0,2} t \le t - 1$
Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, то есть $t > 0$.
Рассмотрим неравенство $\log_{0,2} t \le t - 1$. Решим его методом оценки или графически. Рассмотрим две функции: $y_1(t) = \log_{0,2} t$ и $y_2(t) = t - 1$.
Функция $y_1(t) = \log_{0,2} t$ — убывающая, так как основание логарифма $0,2 \in (0, 1)$.
Функция $y_2(t) = t - 1$ — возрастающая линейная функция.
Найдем точку их пересечения, решив уравнение $\log_{0,2} t = t - 1$. Легко заметить, что $t=1$ является корнем, так как $\log_{0,2} 1 = 0$ и $1 - 1 = 0$.
Поскольку одна функция убывает, а другая возрастает, у них может быть не более одной точки пересечения. Следовательно, $t=1$ — единственный корень.
Так как $y_1(t)$ убывает, а $y_2(t)$ возрастает, при $t > 1$ график $y_1(t)$ будет лежать ниже графика $y_2(t)$, то есть $\log_{0,2} t < t - 1$. При $0 < t < 1$ будет выполняться обратное неравенство $\log_{0,2} t > t - 1$.
Нам нужно решение для $\log_{0,2} t \le t - 1$. Это выполняется при $t \ge 1$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
$-x^2 + 6x - 8 \ge 1$
$-x^2 + 6x - 9 \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x^2 - 6x + 9 \le 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(x - 3)^2 \le 0$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(x - 3)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае, когда $(x - 3)^2 = 0$.
Отсюда получаем $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$.
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x=3$ ОДЗ логарифма: $-x^2 + 6x - 8 > 0$.
Подставляем $x=3$: $-(3)^2 + 6(3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1$.
Так как $1 > 0$, условие ОДЗ выполнено.
Таким образом, единственным решением неравенства является $x = 3$.
Ответ: $3$.
б) $3\cos^2 x \ge 3 + |\log_5(x^2 - 4x + 1)|$
Решим это неравенство методом оценки. Оценим левую и правую части неравенства.
Левая часть: $3\cos^2 x$.
Мы знаем, что для любого действительного $x$ выполняется неравенство $0 \le \cos^2 x \le 1$.
Умножив все части на 3, получим: $0 \le 3\cos^2 x \le 3$.
Таким образом, максимальное значение левой части равно 3.
Правая часть: $3 + |\log_5(x^2 - 4x + 1)|$.
Модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $|\log_5(x^2 - 4x + 1)| \ge 0$.
Прибавив 3 ко всем частям, получим: $3 + |\log_5(x^2 - 4x + 1)| \ge 3$.
Таким образом, минимальное значение правой части равно 3.
Итак, мы имеем неравенство вида (Левая часть) $\ge$ (Правая часть), где (Левая часть) $\le 3$, а (Правая часть) $\ge 3$.
Такое неравенство может выполняться только в одном случае: когда обе части равны 3. Это эквивалентно решению системы уравнений:
$\begin{cases} 3\cos^2 x = 3 \\ 3 + |\log_5(x^2 - 4x + 1)| = 3 \end{cases}$
Решим первое уравнение:
$3\cos^2 x = 3$
$\cos^2 x = 1$
$\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.
Это означает, что $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Решим второе уравнение:
$3 + |\log_5(x^2 - 4x + 1)| = 3$
$|\log_5(x^2 - 4x + 1)| = 0$
Модуль равен нулю, только если выражение под модулем равно нулю:
$\log_5(x^2 - 4x + 1) = 0$
По определению логарифма, его значение равно нулю, если аргумент равен 1:
$x^2 - 4x + 1 = 1$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения: $x = 0$ и $x = 4$.
Теперь нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям. Мы должны выбрать из $x=0$ и $x=4$ те, которые можно представить в виде $x = k\pi$ для некоторого целого $k$.
- При $x=0$: $0 = k\pi$. Это верно при $k=0$. Так как $k=0$ — целое число, $x=0$ является решением.
- При $x=4$: $4 = k\pi \Rightarrow k = 4/\pi$. Так как $\pi$ иррационально, $4/\pi$ не является целым числом. Следовательно, $x=4$ не является решением.
Необходимо также проверить ОДЗ логарифма для найденного решения $x=0$: $x^2 - 4x + 1 > 0$.
При $x=0$: $0^2 - 4(0) + 1 = 1 > 0$. Условие выполнено.
Единственное решение, удовлетворяющее всей системе, это $x = 0$.
Ответ: $0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 13.20 расположенного на странице 324 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13.20 (с. 324), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.