Номер 13.20, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.20, страница 324.

Условие.

13.20 a) $ \log_{0,2} (-x^2 + 6x - 8) \le -9 + 6x - x^2 $;

б) $ 3 \cos^2 x \ge 3 + |\log_5 (x^2 - 4x + 1)| $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) $\log_{0,2}(-x^2 + 6x - 8) \le -9 + 6x - x^2$

Заметим, что правая часть неравенства очень похожа на выражение под знаком логарифма. Сделаем замену переменной. Пусть $t = -x^2 + 6x - 8$.

Тогда правую часть можно представить как:

$-9 + 6x - x^2 = (-x^2 + 6x - 8) - 1 = t - 1$.

Исходное неравенство принимает вид:

$\log_{0,2} t \le t - 1$

Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, то есть $t > 0$.

Рассмотрим неравенство $\log_{0,2} t \le t - 1$. Решим его методом оценки или графически. Рассмотрим две функции: $y_1(t) = \log_{0,2} t$ и $y_2(t) = t - 1$.

Функция $y_1(t) = \log_{0,2} t$ — убывающая, так как основание логарифма $0,2 \in (0, 1)$.

Функция $y_2(t) = t - 1$ — возрастающая линейная функция.

Найдем точку их пересечения, решив уравнение $\log_{0,2} t = t - 1$. Легко заметить, что $t=1$ является корнем, так как $\log_{0,2} 1 = 0$ и $1 - 1 = 0$.

Поскольку одна функция убывает, а другая возрастает, у них может быть не более одной точки пересечения. Следовательно, $t=1$ — единственный корень.

Так как $y_1(t)$ убывает, а $y_2(t)$ возрастает, при $t > 1$ график $y_1(t)$ будет лежать ниже графика $y_2(t)$, то есть $\log_{0,2} t < t - 1$. При $0 < t < 1$ будет выполняться обратное неравенство $\log_{0,2} t > t - 1$.

Нам нужно решение для $\log_{0,2} t \le t - 1$. Это выполняется при $t \ge 1$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

$-x^2 + 6x - 8 \ge 1$

$-x^2 + 6x - 9 \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 - 6x + 9 \le 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x - 3)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(x - 3)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае, когда $(x - 3)^2 = 0$.

Отсюда получаем $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x=3$ ОДЗ логарифма: $-x^2 + 6x - 8 > 0$.

Подставляем $x=3$: $-(3)^2 + 6(3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1$.

Так как $1 > 0$, условие ОДЗ выполнено.

Таким образом, единственным решением неравенства является $x = 3$.

Ответ: $3$.

б) $3\cos^2 x \ge 3 + |\log_5(x^2 - 4x + 1)|$

Решим это неравенство методом оценки. Оценим левую и правую части неравенства.

Левая часть: $3\cos^2 x$.

Мы знаем, что для любого действительного $x$ выполняется неравенство $0 \le \cos^2 x \le 1$.

Умножив все части на 3, получим: $0 \le 3\cos^2 x \le 3$.

Таким образом, максимальное значение левой части равно 3.

Правая часть: $3 + |\log_5(x^2 - 4x + 1)|$.

Модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $|\log_5(x^2 - 4x + 1)| \ge 0$.

Прибавив 3 ко всем частям, получим: $3 + |\log_5(x^2 - 4x + 1)| \ge 3$.

Таким образом, минимальное значение правой части равно 3.

Итак, мы имеем неравенство вида (Левая часть) $\ge$ (Правая часть), где (Левая часть) $\le 3$, а (Правая часть) $\ge 3$.

Такое неравенство может выполняться только в одном случае: когда обе части равны 3. Это эквивалентно решению системы уравнений:

$\begin{cases} 3\cos^2 x = 3 \\ 3 + |\log_5(x^2 - 4x + 1)| = 3 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$3\cos^2 x = 3$

$\cos^2 x = 1$

$\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.

Это означает, что $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Решим второе уравнение:

$3 + |\log_5(x^2 - 4x + 1)| = 3$

$|\log_5(x^2 - 4x + 1)| = 0$

Модуль равен нулю, только если выражение под модулем равно нулю:

$\log_5(x^2 - 4x + 1) = 0$

По определению логарифма, его значение равно нулю, если аргумент равен 1:

$x^2 - 4x + 1 = 1$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения: $x = 0$ и $x = 4$.

Теперь нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям. Мы должны выбрать из $x=0$ и $x=4$ те, которые можно представить в виде $x = k\pi$ для некоторого целого $k$.

• При $x=0$: $0 = k\pi$. Это верно при $k=0$. Так как $k=0$ — целое число, $x=0$ является решением.
• При $x=4$: $4 = k\pi \Rightarrow k = 4/\pi$. Так как $\pi$ иррационально, $4/\pi$ не является целым числом. Следовательно, $x=4$ не является решением.

Необходимо также проверить ОДЗ логарифма для найденного решения $x=0$: $x^2 - 4x + 1 > 0$.

При $x=0$: $0^2 - 4(0) + 1 = 1 > 0$. Условие выполнено.

Единственное решение, удовлетворяющее всей системе, это $x = 0$.

Ответ: $0$.