Номер 13.22, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 13.22, страница 324.
№13.22 (с. 324)
Условие. №13.22 (с. 324)
скриншот условия

13.22* a) $ \frac{\sqrt{\sin^2 x + 5} + \sqrt{\cos^2 x + 4}}{2} = \sqrt[4]{(\sin^2 x + 5)(\cos^2 x + 4)}; $
б) $ \frac{\sqrt{\sin^2 x + \sin x + 5} + \sqrt{\sin x + 6}}{2} = \sqrt[4]{(\sin^2 x + \sin x + 5)(\sin x + 6)}; $
В) $ \sqrt{3\log_2^2 x + 5} + \sqrt{\log_2^4 x + 1} = 2\sqrt[4]{(3\log_2^2 x + 5)(\log_2^4 x + 1)}; $
Г) $ \sqrt{2 - \frac{1}{2}\lg^2 x} + \sqrt{\lg^4 x + \frac{1}{2}} = 2\sqrt[4]{\left(2 - \frac{1}{2}\lg^2 x\right)\left(\lg^4 x + \frac{1}{2}\right)}. $
Решение 1. №13.22 (с. 324)




Решение 2. №13.22 (с. 324)



Решение 3. №13.22 (с. 324)

Решение 4. №13.22 (с. 324)
Все представленные уравнения имеют общую структуру, связанную с неравенством о средних арифметическом и геометрическом. Для любых неотрицательных чисел $u$ и $v$ справедливо неравенство $\frac{u+v}{2} \ge \sqrt{uv}$, причем равенство достигается только тогда, когда $u=v$. Правая часть каждого уравнения может быть записана как $\sqrt{\sqrt{A} \cdot \sqrt{B}}$, что позволяет применить это свойство.
а) $\frac{\sqrt{\sin^2 x + 5} + \sqrt{\cos^2 x + 4}}{2} = \sqrt[4]{(\sin^2 x + 5)(\cos^2 x + 4)}$
Обозначим $a = \sqrt{\sin^2 x + 5}$ и $b = \sqrt{\cos^2 x + 4}$. Подкоренные выражения всегда положительны, так как $\sin^2 x \ge 0$ и $\cos^2 x \ge 0$, следовательно $\sin^2 x + 5 \ge 5$ и $\cos^2 x + 4 \ge 4$. Значит, $a$ и $b$ — положительные действительные числа.
Уравнение можно переписать в виде $\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$. Согласно неравенству о средних, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $a=b$.
Приравняем $a$ и $b$:
$\sqrt{\sin^2 x + 5} = \sqrt{\cos^2 x + 4}$
Возведем обе части в квадрат:
$\sin^2 x + 5 = \cos^2 x + 4$
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$\sin^2 x + 5 = (1 - \sin^2 x) + 4$
$\sin^2 x + 5 = 5 - \sin^2 x$
$2\sin^2 x = 0$
$\sin x = 0$
Отсюда $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
б) $\frac{\sqrt{\sin^2 x + \sin x + 5} + \sqrt{\sin x + 6}}{2} = \sqrt[4]{(\sin^2 x + \sin x + 5)(\sin x + 6)}$
Обозначим $a = \sqrt{\sin^2 x + \sin x + 5}$ и $b = \sqrt{\sin x + 6}$. Проверим, что подкоренные выражения неотрицательны. Для выражения $\sin^2 x + \sin x + 5$, если сделать замену $t = \sin x$, получим квадратный трехчлен $t^2+t+5$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -19 < 0$, а старший коэффициент положителен, значит, трехчлен всегда принимает положительные значения. Для выражения $\sin x + 6$, так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $5 \le \sin x + 6 \le 7$. Следовательно, $a$ и $b$ — положительные действительные числа.
Уравнение снова имеет вид $\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$, что эквивалентно $a=b$.
$\sqrt{\sin^2 x + \sin x + 5} = \sqrt{\sin x + 6}$
Возведем обе части в квадрат:
$\sin^2 x + \sin x + 5 = \sin x + 6$
$\sin^2 x = 1$
Отсюда $\sin x = 1$ или $\sin x = -1$.
Это можно объединить в одно решение: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
в) $\sqrt{3\log_2^2 x + 5} + \sqrt{\log_2^4 x + 1} = 2\sqrt[4]{(3\log_2^2 x + 5)(\log_2^4 x + 1)}$
Разделим обе части на 2: $\frac{\sqrt{3\log_2^2 x + 5} + \sqrt{\log_2^4 x + 1}}{2} = \sqrt[4]{(3\log_2^2 x + 5)(\log_2^4 x + 1)}$.
Обозначим $a = \sqrt{3\log_2^2 x + 5}$ и $b = \sqrt{\log_2^4 x + 1}$. Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x > 0$. Выражения $3\log_2^2 x + 5$ и $\log_2^4 x + 1$ всегда положительны, так как $\log_2^2 x \ge 0$ и $\log_2^4 x \ge 0$.
Уравнение имеет вид $\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$, что эквивалентно $a=b$.
$\sqrt{3\log_2^2 x + 5} = \sqrt{\log_2^4 x + 1}$
$3\log_2^2 x + 5 = \log_2^4 x + 1$
Сделаем замену $y = \log_2^2 x$. Так как квадрат числа не может быть отрицательным, $y \ge 0$.
$3y + 5 = y^2 + 1$
$y^2 - 3y - 4 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $y_1=4$ и $y_2=-1$. Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только $y=4$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\log_2^2 x = 4$
$\log_2 x = 2$ или $\log_2 x = -2$.
Из $\log_2 x = 2$ получаем $x = 2^2 = 4$.
Из $\log_2 x = -2$ получаем $x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $x=4; x=\frac{1}{4}$.
г) $\sqrt{2 - \frac{1}{2}\lg^2 x} + \sqrt{\lg^4 x + \frac{1}{2}} = 2\sqrt[4]{(2 - \frac{1}{2}\lg^2 x)(\lg^4 x + \frac{1}{2})}$
Разделим обе части на 2: $\frac{\sqrt{2 - \frac{1}{2}\lg^2 x} + \sqrt{\lg^4 x + \frac{1}{2}}}{2} = \sqrt[4]{(2 - \frac{1}{2}\lg^2 x)(\lg^4 x + \frac{1}{2})}$.
Обозначим $a = \sqrt{2 - \frac{1}{2}\lg^2 x}$ и $b = \sqrt{\lg^4 x + \frac{1}{2}}$. Найдем ОДЗ. Во-первых, $x > 0$. Во-вторых, подкоренные выражения должны быть неотрицательны. $\lg^4 x + \frac{1}{2}$ всегда положительно. Для первого корня: $2 - \frac{1}{2}\lg^2 x \ge 0 \implies 4 \ge \lg^2 x \implies |\lg x| \le 2 \implies -2 \le \lg x \le 2$.
Уравнение сводится к $a=b$.
$\sqrt{2 - \frac{1}{2}\lg^2 x} = \sqrt{\lg^4 x + \frac{1}{2}}$
$2 - \frac{1}{2}\lg^2 x = \lg^4 x + \frac{1}{2}$
Сделаем замену $y = \lg^2 x$. Из ОДЗ следует, что $0 \le y \le 4$.
$2 - \frac{1}{2}y = y^2 + \frac{1}{2}$
Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:
$4 - y = 2y^2 + 1$
$2y^2 + y - 3 = 0$
Находим корни квадратного уравнения: $y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4}$.
$y_1 = \frac{-1+5}{4} = 1$ и $y_2 = \frac{-1-5}{4} = -\frac{3}{2}$.
Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только $y=1$. Этот корень также удовлетворяет условию $0 \le y \le 4$.
Возвращаемся к замене:
$\lg^2 x = 1$
$\lg x = 1$ или $\lg x = -1$.
Из $\lg x = 1$ получаем $x = 10^1 = 10$.
Из $\lg x = -1$ получаем $x = 10^{-1} = 0,1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($-2 \le \lg x \le 2$).
Ответ: $x=10; x=0,1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 13.22 расположенного на странице 324 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13.22 (с. 324), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.