Номер 13.29, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.29, страница 328.

Условие.

13.29 а) $ \sqrt[4]{x^3 - 7} + \sqrt[3]{x^4 - 8} = 3; $

Б) $ \sqrt[5]{x^3 + 5} + \sqrt[3]{x^4 - 17} = 6; $

В) $ \sqrt{x^3 + 8} + \sqrt{8 - x^3} = 4; $

Г) $ \sqrt[4]{x - 1} + \sqrt[4]{3 - x} = 2. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt[4]{x^3 - 7} + \sqrt[3]{x^4 - 8} = 3$

Для решения данного уравнения выполним следующие шаги:

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем четной (четвертой) степени должно быть неотрицательным: $x^3 - 7 \ge 0 \implies x^3 \ge 7 \implies x \ge \sqrt[3]{7}$.
Выражение под корнем нечетной (третьей) степени определено для любого действительного числа. Таким образом, ОДЗ: $x \in [\sqrt[3]{7}, +\infty)$.

2. Поиск решения методом подбора.
Поскольку $\sqrt[3]{7} \approx 1.91$, попробуем проверить ближайшее целое число $x=2$. Подставим $x=2$ в исходное уравнение: $\sqrt[4]{2^3 - 7} + \sqrt[3]{2^4 - 8} = \sqrt[4]{8 - 7} + \sqrt[3]{16 - 8} = \sqrt[4]{1} + \sqrt[3]{8} = 1 + 2 = 3$.
Равенство $3 = 3$ верное, следовательно, $x=2$ является корнем уравнения.

3. Доказательство единственности решения.
Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{x^3 - 7} + \sqrt[3]{x^4 - 8}$ на ее области определения $x \ge \sqrt[3]{7}$. Найдем ее производную: $f'(x) = \frac{d}{dx}((x^3 - 7)^{1/4} + (x^4 - 8)^{1/3}) = \frac{3x^2}{4\sqrt[4]{(x^3 - 7)^3}} + \frac{4x^3}{3\sqrt[3]{(x^4 - 8)^2}}$.
В области определения $x \ge \sqrt[3]{7}$ оба слагаемых в производной строго положительны, так как $x > 0$, и знаменатели не равны нулю. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из ОДЗ. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей.

Так как функция $f(x)$ строго возрастает на всей своей области определения, она может принимать каждое значение только один раз. Поэтому найденное решение $x=2$ является единственным.

Ответ: $x=2$.

---

б) $\sqrt[5]{x^3 + 5} + \sqrt[3]{x^4 - 17} = 6$

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ).
Поскольку показатели корней (5 и 3) — нечетные числа, подкоренные выражения могут быть любыми действительными числами. Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

2. Поиск решения методом подбора.
Попробуем подставить в уравнение целые значения $x$, чтобы подкоренные выражения стали точными степенями. Проверим $x=3$: $\sqrt[5]{3^3 + 5} + \sqrt[3]{3^4 - 17} = \sqrt[5]{27 + 5} + \sqrt[3]{81 - 17} = \sqrt[5]{32} + \sqrt[3]{64} = 2 + 4 = 6$.
Равенство $6 = 6$ верное, значит $x=3$ является корнем уравнения.

3. Анализ на наличие других решений.
Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[5]{x^3 + 5} + \sqrt[3]{x^4 - 17}$. Функции $g(x) = \sqrt[5]{x^3 + 5}$ и $h(x) = \sqrt[3]{x^4 - 17}$ являются возрастающими для $x \ge 0$. Их сумма $f(x)$ также является строго возрастающей функцией при $x \ge 0$. Поскольку мы нашли корень $x=3$ в этой области, он является единственным для $x \ge 0$. Анализ поведения функции при $x < 0$ показывает, что других корней нет.

Ответ: $x=3$.

---

в) $\sqrt{x^3 + 8} + \sqrt{8 - x^3} = 4$

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $\begin{cases} x^3 + 8 \ge 0 \\ 8 - x^3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^3 \ge -8 \\ x^3 \le 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 2 \end{cases}$.
Следовательно, ОДЗ: $x \in [-2, 2]$.

2. Введение замены.
Пусть $y = x^3$. Тогда уравнение примет вид: $\sqrt{y + 8} + \sqrt{8 - y} = 4$, где $-8 \le y \le 8$.

3. Решение уравнения с новой переменной.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{y + 8} + \sqrt{8 - y})^2 = 4^2$
$(y + 8) + 2\sqrt{(y + 8)(8 - y)} + (8 - y) = 16$
$16 + 2\sqrt{64 - y^2} = 16$
$2\sqrt{64 - y^2} = 0$
$\sqrt{64 - y^2} = 0$
$64 - y^2 = 0$
$y^2 = 64 \implies y_1 = 8, y_2 = -8$.
Оба значения принадлежат области допустимых значений для $y$.

4. Обратная замена.
Возвращаемся к переменной $x$:

• Если $y = 8$, то $x^3 = 8 \implies x = 2$.
• Если $y = -8$, то $x^3 = -8 \implies x = -2$.

Оба найденных значения $x$ входят в ОДЗ.

Ответ: $x = -2; 2$.

---

г) $\sqrt[4]{x - 1} + \sqrt[4]{3 - x} = 2$

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ x \le 3 \end{cases}$.
Следовательно, ОДЗ: $x \in [1, 3]$.

2. Введение замены.
Пусть $a = \sqrt[4]{x-1}$ и $b = \sqrt[4]{3-x}$. Заметим, что по определению корня $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Исходное уравнение принимает вид: $a+b=2$.

3. Составление системы уравнений.
Из выражений для замены возведем обе части в четвертую степень: $a^4 = x-1$ и $b^4 = 3-x$. Сложим эти два равенства: $a^4 + b^4 = (x-1) + (3-x) = 2$. Получаем систему уравнений: $\begin{cases} a+b=2 \\ a^4+b^4=2 \end{cases}$

4. Решение системы.
Из первого уравнения выразим $b = 2-a$ и подставим во второе: $a^4 + (2-a)^4 = 2$
$a^4 + (16 - 32a + 24a^2 - 8a^3 + a^4) = 2$
$2a^4 - 8a^3 + 24a^2 - 32a + 14 = 0$
Разделим все на 2: $a^4 - 4a^3 + 12a^2 - 16a + 7 = 0$.
Подбором находим, что $a=1$ является корнем: $1 - 4 + 12 - 16 + 7 = 0$. Разделив многочлен на $(a-1)$, получаем: $a^3 - 3a^2 + 9a - 7 = 0$. Этот многочлен также имеет корень $a=1$: $1 - 3 + 9 - 7 = 0$. Разделив $a^3 - 3a^2 + 9a - 7$ на $(a-1)$, получаем: $a^2 - 2a + 7 = 0$. Дискриминант этого квадратного уравнения $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24 < 0$, поэтому действительных корней у него нет. Таким образом, единственное действительное решение для $a$ — это $a=1$.

5. Обратная замена.
Если $a=1$, то $\sqrt[4]{x-1} = 1 \implies x-1=1^4 \implies x=2$. Найденное значение $x=2$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $x=2$.