Номер 13.34, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 13. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств - номер 13.34, страница 328.

Условие.

13.34 Сколько действительных корней имеет уравнение:

а) $2x^4 - 4x^2 + 1 = 0$;

б) $2x^4 - 8x + 1 = 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $2x^4 - 4x^2 + 1 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $y \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$2y^2 - 4y + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы для корней. Сначала вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ очевидно положителен.

Для корня $y_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ оценим его значение. Так как $1 < \sqrt{2} < 2$, то $0.5 < \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$. Следовательно, $y_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$.

Оба корня для $y$ положительны. Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Для каждого положительного значения $y$ уравнение $x^2 = y$ имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt{y}$.

1. Для $y_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ получаем два действительных корня: $x_{1,2} = \pm\sqrt{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

2. Для $y_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ получаем еще два действительных корня: $x_{3,4} = \pm\sqrt{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Все четыре корня различны. Таким образом, исходное уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: 4

---

б) $2x^4 - 8x + 1 = 0$

Для определения количества действительных корней этого уравнения исследуем функцию $f(x) = 2x^4 - 8x + 1$. Количество действительных корней уравнения равно числу точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с осью абсцисс.

Найдем производную функции, чтобы определить ее промежутки монотонности и точки экстремума:

$f'(x) = (2x^4 - 8x + 1)' = 8x^3 - 8$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$8x^3 - 8 = 0$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Таким образом, у функции есть только одна критическая точка $x=1$. Определим характер этого экстремума. Если $x < 1$, то $x^3 < 1$, и $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает. Если $x > 1$, то $x^3 > 1$, и $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает. Значит, в точке $x=1$ функция имеет минимум.

Найдем значение функции в этой точке минимума:

$f(1) = 2(1)^4 - 8(1) + 1 = 2 - 8 + 1 = -5$

Точка $(1, -5)$ является точкой глобального минимума функции.

Рассмотрим поведение функции на бесконечности:

$\lim_{x \to +\infty} (2x^4 - 8x + 1) = +\infty$

$\lim_{x \to -\infty} (2x^4 - 8x + 1) = +\infty$

Итак, функция $f(x)$ убывает на интервале $(-\infty, 1)$ от $+\infty$ до своего минимального значения $f(1) = -5$. Так как функция непрерывна и меняет знак с положительного на отрицательный, она пересекает ось абсцисс один раз на этом интервале.

Затем функция возрастает на интервале $(1, +\infty)$ от своего минимального значения $f(1) = -5$ до $+\infty$. Так как функция непрерывна и меняет знак с отрицательного на положительный, она пересекает ось абсцисс еще один раз на этом интервале.

Следовательно, график функции $y=f(x)$ пересекает ось $Ox$ ровно в двух точках, что означает, что исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: 2