Номер 14.1, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.1, страница 335.

Условие.

14.1° а) Что называют решением системы уравнений?

б) Какие системы уравнений называют равносильными?

в) Какие преобразования уравнений системы приводят к системе, равносильной исходной? Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решением системы уравнений с $n$ переменными называется упорядоченный набор из $n$ чисел, который при подстановке вместо этих переменных обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство. Например, для системы с двумя переменными $x$ и $y$ решением является пара чисел $(x_0, y_0)$, которая удовлетворяет каждому уравнению системы.
Ответ: Упорядоченный набор значений переменных, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

б) Две системы уравнений называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Это означает, что любое решение первой системы является решением второй, и наоборот, любое решение второй системы является решением первой. Системы, не имеющие решений, также считаются равносильными.
Ответ: Системы уравнений, имеющие одинаковые множества решений.

в) К системе, равносильной исходной, приводят следующие преобразования (их называют равносильными преобразованиями):
1. Замена любого уравнения системы на равносильное ему уравнение.
2. Перестановка уравнений в системе.
3. Выражение одной переменной из одного уравнения системы и подстановка полученного выражения в другие уравнения системы.
4. Замена одного из уравнений системы суммой или разностью этого уравнения с любым другим уравнением системы (или с уравнением, умноженным на число, не равное нулю).

Примеры:
Рассмотрим систему уравнений:$$\begin{cases}x + 2y = 5 \\3x - y = 1\end{cases}$$
Пример 1 (Использование сложения уравнений): Умножим второе уравнение на 2. Это равносильное преобразование для второго уравнения. Получим систему:$$\begin{cases}x + 2y = 5 \\6x - 2y = 2\end{cases}$$Теперь заменим первое уравнение суммой первого и второго уравнений: $(x + 2y) + (6x - 2y) = 5 + 2$, что дает $7x = 7$. Новая система, равносильная исходной:$$\begin{cases}7x = 7 \\3x - y = 1\end{cases}$$Решив эту систему, найдем $x=1$, а затем из второго уравнения $3(1) - y = 1$, откуда $y=2$. Пара $(1, 2)$ является решением обеих систем.

Пример 2 (Использование подстановки): В исходной системе выразим $y$ из второго уравнения: $y = 3x - 1$. Подставим это выражение в первое уравнение: $x + 2(3x - 1) = 5$. Получим новую систему, равносильную исходной:$$\begin{cases}x + 2(3x - 1) = 5 \\y = 3x - 1\end{cases}$$Из первого уравнения находим $x + 6x - 2 = 5$, то есть $7x = 7$, откуда $x = 1$. Подставив это значение во второе уравнение, получим $y = 3(1) - 1 = 2$. Решение $(1, 2)$ то же самое.

Ответ: Равносильными преобразованиями являются: замена уравнения на равносильное; перестановка уравнений; подстановка выражения одной переменной из одного уравнения в другое; сложение/вычитание уравнений.