Страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

14.1° а) Что называют решением системы уравнений?

б) Какие системы уравнений называют равносильными?

в) Какие преобразования уравнений системы приводят к системе, равносильной исходной? Приведите примеры.

а) Решением системы уравнений с $n$ переменными называется упорядоченный набор из $n$ чисел, который при подстановке вместо этих переменных обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство. Например, для системы с двумя переменными $x$ и $y$ решением является пара чисел $(x_0, y_0)$, которая удовлетворяет каждому уравнению системы.
Ответ: Упорядоченный набор значений переменных, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

б) Две системы уравнений называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Это означает, что любое решение первой системы является решением второй, и наоборот, любое решение второй системы является решением первой. Системы, не имеющие решений, также считаются равносильными.
Ответ: Системы уравнений, имеющие одинаковые множества решений.

в) К системе, равносильной исходной, приводят следующие преобразования (их называют равносильными преобразованиями):
1. Замена любого уравнения системы на равносильное ему уравнение.
2. Перестановка уравнений в системе.
3. Выражение одной переменной из одного уравнения системы и подстановка полученного выражения в другие уравнения системы.
4. Замена одного из уравнений системы суммой или разностью этого уравнения с любым другим уравнением системы (или с уравнением, умноженным на число, не равное нулю).

Примеры:
Рассмотрим систему уравнений:$$\begin{cases}x + 2y = 5 \\3x - y = 1\end{cases}$$
Пример 1 (Использование сложения уравнений): Умножим второе уравнение на 2. Это равносильное преобразование для второго уравнения. Получим систему:$$\begin{cases}x + 2y = 5 \\6x - 2y = 2\end{cases}$$Теперь заменим первое уравнение суммой первого и второго уравнений: $(x + 2y) + (6x - 2y) = 5 + 2$, что дает $7x = 7$. Новая система, равносильная исходной:$$\begin{cases}7x = 7 \\3x - y = 1\end{cases}$$Решив эту систему, найдем $x=1$, а затем из второго уравнения $3(1) - y = 1$, откуда $y=2$. Пара $(1, 2)$ является решением обеих систем.

Пример 2 (Использование подстановки): В исходной системе выразим $y$ из второго уравнения: $y = 3x - 1$. Подставим это выражение в первое уравнение: $x + 2(3x - 1) = 5$. Получим новую систему, равносильную исходной:$$\begin{cases}x + 2(3x - 1) = 5 \\y = 3x - 1\end{cases}$$Из первого уравнения находим $x + 6x - 2 = 5$, то есть $7x = 7$, откуда $x = 1$. Подставив это значение во второе уравнение, получим $y = 3(1) - 1 = 2$. Решение $(1, 2)$ то же самое.

Ответ: Равносильными преобразованиями являются: замена уравнения на равносильное; перестановка уравнений; подстановка выражения одной переменной из одного уравнения в другое; сложение/вычитание уравнений.

14.2 Является ли пара чисел (1; 2) решением системы:

a) $\begin{cases} x - y = -1 \\ x^2 - xy = 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy + x^2 = 6 \\ 2x + y = 4? \end{cases}$

Чтобы определить, является ли пара чисел $(1; 2)$ решением системы, нужно подставить значения $x=1$ и $y=2$ в каждое уравнение системы. Если оба уравнения превратятся в верные числовые равенства, то пара является решением. В противном случае — не является.

а)

Проверим систему: $ \begin{cases} x - y = -1 \\ x^2 - xy = 1 \end{cases} $

Подставим $x=1$ и $y=2$ в первое уравнение:
$1 - 2 = -1$
$-1 = -1$
Равенство верное.

Подставим $x=1$ и $y=2$ во второе уравнение:
$1^2 - 1 \cdot 2 = 1$
$1 - 2 = 1$
$-1 = 1$
Равенство неверное.

Так как пара чисел $(1; 2)$ не удовлетворяет второму уравнению системы, она не является решением данной системы.

Ответ: нет.

б)

Проверим систему: $ \begin{cases} xy + x^2 = 6 \\ 2x + y = 4 \end{cases} $

Подставим $x=1$ и $y=2$ в первое уравнение:
$1 \cdot 2 + 1^2 = 6$
$2 + 1 = 6$
$3 = 6$
Равенство неверное.

Поскольку уже первое уравнение не обращается в верное равенство, можно заключить, что пара чисел $(1; 2)$ не является решением системы. Для полноты проверки подставим значения и во второе уравнение.

Подставим $x=1$ и $y=2$ во второе уравнение:
$2 \cdot 1 + 2 = 4$
$2 + 2 = 4$
$4 = 4$
Равенство верное.

Хотя второе уравнение обратилось в верное равенство, пара чисел является решением системы только в том случае, если она удовлетворяет всем уравнениям системы. Так как первое равенство неверно, данная пара чисел не является решением.

Ответ: нет.

14.3 Среди трёх пар чисел (1; 1), (1; 5) и (5; 1) найдите решения системы:

a) $$ \begin{cases} \sqrt{2-x} + \sqrt{2-y} = x+y \\ \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + x-y = 0; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} \sqrt{x^2+y^2-1} = 5 \\ xy+x+y = 11. \end{cases} $$

а) Проверим, какие из предложенных пар чисел $(1; 1), (1; 5), (5; 1)$ являются решением системы:

$ \begin{cases} \sqrt{2-x} + \sqrt{2-y} = x+y \\ \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + x - y = 0 \end{cases} $

Для решения необходимо, чтобы значения переменных удовлетворяли области допустимых значений (ОДЗ), которая определяется неотрицательностью подкоренных выражений:

$2-x \ge 0 \implies x \le 2$

$2-y \ge 0 \implies y \le 2$

$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

$y-1 \ge 0 \implies y \ge 1$

Объединив эти условия, получаем ОДЗ: $1 \le x \le 2$ и $1 \le y \le 2$.

Теперь проверим каждую из предложенных пар:

• Пара $(1; 5)$: Значение $y=5$ не удовлетворяет условию $y \le 2$, следовательно, эта пара не может быть решением.

• Пара $(5; 1)$: Значение $x=5$ не удовлетворяет условию $x \le 2$, следовательно, эта пара не может быть решением.

• Пара $(1; 1)$: Значения $x=1$ и $y=1$ удовлетворяют ОДЗ. Проверим, выполняются ли уравнения системы:

Первое уравнение: $\sqrt{2-1} + \sqrt{2-1} = 1+1 \implies \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2 \implies 1+1=2 \implies 2=2$. Верно.

Второе уравнение: $\sqrt{1-1} + \sqrt{1-1} + 1 - 1 = 0 \implies \sqrt{0} + \sqrt{0} + 0 = 0 \implies 0=0$. Верно.

Так как оба уравнения выполняются, пара $(1; 1)$ является решением системы.

Ответ: $(1; 1)$.

б) Проверим, какие из предложенных пар чисел $(1; 1), (1; 5), (5; 1)$ являются решением системы:

$ \begin{cases} \sqrt{x^2+y^2-1} = 5 \\ xy+x+y = 11 \end{cases} $

Для этого подставим значения каждой пары в уравнения системы.

• Пара $(1; 1)$: $x=1, y=1$.
Проверка первого уравнения: $\sqrt{1^2+1^2-1} = \sqrt{1+1-1} = \sqrt{1} = 1$.
Результат должен быть равен 5, а мы получили 1. Поскольку $1 \neq 5$, первое уравнение не выполняется, и пара не является решением.

• Пара $(1; 5)$: $x=1, y=5$.
Проверка первого уравнения: $\sqrt{1^2+5^2-1} = \sqrt{1+25-1} = \sqrt{25} = 5$. Верно.
Проверка второго уравнения: $1 \cdot 5 + 1 + 5 = 5+1+5 = 11$. Верно.
Оба уравнения выполняются, следовательно, пара $(1; 5)$ является решением.

• Пара $(5; 1)$: $x=5, y=1$.
Проверка первого уравнения: $\sqrt{5^2+1^2-1} = \sqrt{25+1-1} = \sqrt{25} = 5$. Верно.
Проверка второго уравнения: $5 \cdot 1 + 5 + 1 = 5+5+1 = 11$. Верно.
Оба уравнения выполняются, следовательно, пара $(5; 1)$ является решением.

Ответ: $(1; 5)$ и $(5; 1)$.