Страница 342 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

14.18 a) Объясните, какие преобразования уравнений системы приводят к системе-следствию.

б) Почему после перехода к системе-следствию необходима проверка всех решений, полученных при решении системы-следствия?

a) Объясните, какие преобразования уравнений системы приводят к системе-следствию.

Система-следствие — это система, множество решений которой содержит все решения исходной системы. Она получается из исходной системы в результате неравносильных преобразований, которые могут приводить к появлению посторонних (лишних) решений. Основные такие преобразования:

• Возведение обеих частей уравнения в чётную степень. При переходе от уравнения $f(x) = g(x)$ к уравнению $(f(x))^{2n} = (g(x))^{2n}$ (где $n \in \mathbb{N}$), мы получаем уравнение-следствие. Это происходит потому, что из $(f(x))^{2n} = (g(x))^{2n}$ следует $f(x) = g(x)$ или $f(x) = -g(x)$. Второе равенство может дать посторонние корни. Например, уравнение $\sqrt{x} = x-2$ после возведения в квадрат превращается в $x = (x-2)^2$, что равносильно $x^2 - 5x + 4 = 0$. Корни этого уравнения $x_1=1$ и $x_2=4$. Однако $x=1$ является посторонним корнем для исходного уравнения.

• Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменные. Умножение уравнения $f(x) = g(x)$ на выражение $h(x)$ приводит к уравнению-следствию $f(x)h(x) = g(x)h(x)$. Корни уравнения $h(x)=0$ могут стать посторонними решениями для новой системы.

• Освобождение от знаменателя. Переход от уравнения вида $\frac{f(x)}{g(x)} = 0$ к уравнению-следствию $f(x) = 0$ без учёта условия $g(x) \neq 0$ может добавить корни, которые обращают знаменатель в ноль и, следовательно, не входят в область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения.

• Потенцирование. При решении логарифмических уравнений, переход от $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ к $f(x) = g(x)$ является переходом к следствию, так как при этом могут быть не учтены условия ОДЗ: $f(x)>0$ и $g(x)>0$.

• Замена уравнения в системе его следствием. Если хотя бы одно уравнение системы заменяется на свое следствие, то и вся новая система является следствием исходной.

Ответ: К системе-следствию приводят неравносильные преобразования, такие как возведение обеих частей уравнения в чётную степень, умножение на выражение с переменной, избавление от знаменателя без учёта ОДЗ, потенцирование логарифмических уравнений и замена одного из уравнений системы его следствием.

б) Почему после перехода к системе-следствию необходима проверка всех решений, полученных при решении системы-следствия?

Переход к системе-следствию — это применение неравносильных преобразований, которые могут расширить множество решений. Если $M_{исх}$ — множество решений исходной системы, а $M_{след}$ — множество решений системы-следствия, то справедливо включение $M_{исх} \subseteq M_{след}$. Это означает, что каждое решение исходной системы гарантированно будет решением системы-следствия, но система-следствие может иметь дополнительные решения, которые не подходят для исходной системы. Эти решения называются посторонними корнями.

Появление посторонних корней — это плата за упрощение уравнений системы. Например, чтобы избавиться от иррациональности в уравнении $\sqrt{x+2} = x$, мы возводим обе части в квадрат. Получаем уравнение-следствие $x+2 = x^2$, или $x^2-x-2=0$. Его корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь необходимо выполнить проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение:

• Проверка для $x=2$: $\sqrt{2+2} = 2 \implies \sqrt{4} = 2 \implies 2=2$. Равенство верное, значит, $x=2$ — это корень исходного уравнения.

• Проверка для $x=-1$: $\sqrt{-1+2} = -1 \implies \sqrt{1} = -1 \implies 1=-1$. Равенство неверное, значит, $x=-1$ — это посторонний корень, появившийся из-за возведения в квадрат.

Без проверки мы бы ошибочно включили $x=-1$ в ответ. Следовательно, проверка всех решений, полученных при решении системы-следствия, является обязательным этапом решения. Она позволяет отфильтровать посторонние корни и найти точное множество решений исходной системы.

Ответ: Проверка необходима для того, чтобы отсеять посторонние корни, которые могут появиться в результате неравносильных преобразований при переходе к системе-следствию. Так как множество решений системы-следствия может быть шире множества решений исходной системы, проверка позволяет выявить только истинные решения.

14.19 Является ли вторая система следствием первой системы:

а) $\begin{cases} x^2 + 2y + \lg x = 5 + \lg x \\ x + y = 1 \end{cases}$ и $\begin{cases} x^2 + 2y = 5 \\ x + y = 1 \end{cases};$

б) $\begin{cases} \sqrt{x+1} = y - x \\ 2xy - y^2 = 55 \end{cases}$ и $\begin{cases} x+1 = y^2 - 2xy + x^2 \\ 2xy - y^2 = 55 \end{cases};$

в) $\begin{cases} \frac{\sqrt{x}}{y} + \frac{\sqrt{y}}{x} = \frac{35}{36} \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = y - x \end{cases}$ и $\begin{cases} x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = \frac{35}{36} xy \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = y - x \end{cases};$

г) $\begin{cases} \log_2 (x + 2y) = \log_2 (2x + y) \\ x^2 - y - 2 = 0 \end{cases}$ и $\begin{cases} x + 2y = 2x + y \\ x^2 - y - 2 = 0 \end{cases};$

д)* $\begin{cases} \log_7 (x + y) + \log_7 (x - y) = 1 \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{7}{12} \end{cases}$ и $\begin{cases} \log_7 ((x + y)(x - y)) = 1 \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{7}{12} \end{cases}?$

а) Сравним две системы:
Первая система: $ \begin{cases} x^2 + 2y + \lg x = 5 + \lg x \\ x + y = 1 \end{cases} $
Вторая система: $ \begin{cases} x^2 + 2y = 5 \\ x + y = 1 \end{cases} $
Вторая система получается из первой путем преобразования первого уравнения. Если в уравнении $x^2 + 2y + \lg x = 5 + \lg x$ вычесть из обеих частей $ \lg x $, то получится уравнение $ x^2 + 2y = 5 $. Второе уравнение в системах идентично.
Такое преобразование является верным для любой пары $ (x, y) $, которая является решением первой системы. Однако, первая система имеет область допустимых значений (ОДЗ), связанную с наличием логарифма: $ x > 0 $. Вторая система таких ограничений не имеет.
Пусть $ (x_0, y_0) $ — любое решение первой системы. Это означает, что $ x_0^2 + 2y_0 + \lg x_0 = 5 + \lg x_0 $, $ x_0 + y_0 = 1 $ и $ x_0 > 0 $. Из первого равенства следует, что $ x_0^2 + 2y_0 = 5 $. Таким образом, пара $ (x_0, y_0) $ удовлетворяет и второму уравнению $ x_0 + y_0 = 1 $. Следовательно, любое решение первой системы является решением второй.
Это означает, что вторая система является следствием первой. При этом преобразование не является равносильным, так как ОДЗ второй системы шире, и она может иметь дополнительные решения. Например, решением второй системы является пара $ (-1, 2) $, которая не входит в ОДЗ первой системы.
Ответ: Да, является.

б) Сравним две системы:
Первая система: $ \begin{cases} \sqrt{x + 1} = y - x \\ 2xy - y^2 = 55 \end{cases} $
Вторая система: $ \begin{cases} x + 1 = y^2 - 2xy + x^2 \\ 2xy - y^2 = 55 \end{cases} $
Первое уравнение второй системы получается путем возведения в квадрат обеих частей первого уравнения первой системы: $ (\sqrt{x + 1})^2 = (y - x)^2 $, что дает $ x + 1 = y^2 - 2xy + x^2 $. Второе уравнение в системах совпадает.
Возведение в квадрат является преобразованием-следствием. То есть, если $ A = B $, то $ A^2 = B^2 $, но обратное не всегда верно (из $ A^2 = B^2 $ следует $ A=B $ или $ A=-B $).
Первая система имеет ОДЗ: $ x + 1 \ge 0 $ (подкоренное выражение) и $ y - x \ge 0 $ (правая часть, равная значению арифметического корня, не может быть отрицательной). То есть $ x \ge -1 $ и $ y \ge x $.
Любое решение $ (x_0, y_0) $ первой системы удовлетворяет уравнению $ \sqrt{x_0 + 1} = y_0 - x_0 $. Возведя это верное равенство в квадрат, мы получим верное равенство $ x_0 + 1 = (y_0 - x_0)^2 $, что является первым уравнением второй системы. Второе уравнение также будет выполнено. Следовательно, любое решение первой системы является решением второй.
Таким образом, вторая система является следствием первой. Преобразование не равносильно, так как у второй системы могут быть решения, для которых $ y - x < 0 $. Например, пара $ (8, 5) $ является решением второй системы, но для нее $ y-x = 5-8 = -3 < 0 $, поэтому она не является решением первой.
Ответ: Да, является.

в) Сравним две системы:
Первая система: $ \begin{cases} \frac{\sqrt{x}}{y} + \frac{\sqrt{y}}{x} = \frac{35}{36} \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = y - x \end{cases} $
Вторая система: $ \begin{cases} x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = \frac{35}{36}xy \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = y - x \end{cases} $
Первое уравнение второй системы получается умножением обеих частей первого уравнения первой системы на $ xy $: $ xy \left( \frac{\sqrt{x}}{y} + \frac{\sqrt{y}}{x} \right) = xy \cdot \frac{35}{36} $, что приводит к $ x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = \frac{35}{36}xy $. Вторые уравнения систем одинаковы.
ОДЗ первой системы требует, чтобы $ x > 0 $ и $ y > 0 $ из-за наличия переменных в знаменателе и под корнем. Для таких $ x $ и $ y $ множитель $ xy $ не равен нулю, и умножение на него является равносильным преобразованием.
ОДЗ второй системы: $ x \ge 0, y \ge 0 $. Эта область шире, чем у первой системы, так как допускает $ x=0 $ или $ y=0 $.
Пусть $ (x_0, y_0) $ — решение первой системы. Тогда для него выполняются оба равенства, а также условия $ x_0 > 0 $ и $ y_0 > 0 $. Умножив первое равенство на $ x_0y_0 \ne 0 $, получим верное равенство, которое является первым уравнением второй системы. Второе уравнение также выполняется. Значит, любое решение первой системы является и решением второй.
Вторая система является следствием первой. Преобразование не равносильно, так как вторая система имеет решение $ (0,0) $, которое не входит в ОДЗ первой системы.
Ответ: Да, является.

г) Сравним две системы:
Первая система: $ \begin{cases} \log_2(x + 2y) = \log_2(2x + y) \\ x^2 - y - 2 = 0 \end{cases} $
Вторая система: $ \begin{cases} x + 2y = 2x + y \\ x^2 - y - 2 = 0 \end{cases} $
Первое уравнение второй системы получается из первого уравнения первой системы путем потенцирования (избавления от логарифмов). Если $ \log_2 A = \log_2 B $, то из этого следует $ A = B $.
ОДЗ первой системы требует, чтобы аргументы логарифмов были положительны: $ x + 2y > 0 $ и $ 2x + y > 0 $. Вторая система таких ограничений не накладывает.
Любое решение $ (x_0, y_0) $ первой системы удовлетворяет равенству $ \log_2(x_0 + 2y_0) = \log_2(2x_0 + y_0) $. В силу монотонности логарифмической функции из этого следует, что $ x_0 + 2y_0 = 2x_0 + y_0 $. Второе уравнение выполняется, так как оно идентично. Следовательно, любое решение первой системы является решением второй.
Вторая система является следствием первой. Преобразование не равносильно. Решая вторую систему, получаем решения $ (2, 2) $ и $ (-1, -1) $. Пара $ (-1, -1) $ не удовлетворяет ОДЗ первой системы ($ -1 + 2(-1) = -3 < 0 $), поэтому является посторонним решением, появившимся в результате расширения ОДЗ.
Ответ: Да, является.

д)* Сравним две системы:
Первая система: $ \begin{cases} \log_7(x + y) + \log_7(x - y) = 1 \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{7}{12} \end{cases} $
Вторая система: $ \begin{cases} \log_7((x + y)(x - y)) = 1 \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{7}{12} \end{cases} $
Первое уравнение второй системы получено из первого уравнения первой по свойству логарифмов: $ \log_a M + \log_a N = \log_a(MN) $. Вторые уравнения идентичны.
Однако ОДЗ этих уравнений различны. Для $ \log_7(x + y) + \log_7(x - y) $ требуется одновременное выполнение условий $ x+y > 0 $ и $ x-y > 0 $. Для $ \log_7((x + y)(x - y)) $ требуется только, чтобы произведение $ (x+y)(x-y) $ было положительным, что возможно в двух случаях: 1) $ x+y > 0 $ и $ x-y > 0 $; 2) $ x+y < 0 $ и $ x-y < 0 $.
ОДЗ первой системы является подмножеством ОДЗ второй системы. Любое решение $ (x_0, y_0) $ первой системы удовлетворяет условиям $ x_0+y_0 > 0 $ и $ x_0-y_0 > 0 $, поэтому для него преобразование $ \log_7(x_0+y_0) + \log_7(x_0-y_0) = \log_7((x_0+y_0)(x_0-y_0)) $ будет верным. Таким образом, любое решение первой системы будет решением и второй.
Вторая система является следствием первой. Преобразование не является равносильным, так как вторая система может иметь решения, удовлетворяющие условиям $ x+y < 0 $ и $ x-y < 0 $, которые не входят в ОДЗ первой. Например, решением второй системы является пара $ (-4, -3) $, которая не является решением первой.
Ответ: Да, является.