Страница 343 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите систему уравнений (14.20—14.26):

14.20 a) $\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x^2 - 4\sqrt{x} + x = y^2 + 13 + (2 - \sqrt{x})^2 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 3 \\ 3x^2 - 6\sqrt{x} + x = y^2 + 2 + (3 - \sqrt{x})^2 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 4 \\ \lg (3x + y) + 2x^2 + 7 = (y - 2)^2 + \lg (3x + y) \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y = 5 \\ \sqrt{x + 3y} + x^2 - 40 = (2y + 1)^2 + \sqrt{x + 3y} \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + y = 2 \\2x^2 - 4\sqrt{x} + x = y^2 + 13 + (2 - \sqrt{x})^2\end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2 - x$.

Рассмотрим второе уравнение. Упростим его, раскрыв скобку в правой части:

$(2 - \sqrt{x})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = 4 - 4\sqrt{x} + x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2x^2 - 4\sqrt{x} + x = y^2 + 13 + (4 - 4\sqrt{x} + x)$

$2x^2 - 4\sqrt{x} + x = y^2 + 17 - 4\sqrt{x} + x$

Сократим одинаковые слагаемые $(-4\sqrt{x} + x)$ в обеих частях уравнения:

$2x^2 = y^2 + 17$

Теперь подставим выражение $y = 2 - x$ из первого уравнения в полученное:

$2x^2 = (2 - x)^2 + 17$

$2x^2 = 4 - 4x + x^2 + 17$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$2x^2 - x^2 + 4x - 21 = 0$

$x^2 + 4x - 21 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: $x_1 = 3$, $x_2 = -7$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 0$.

Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию, так как $-7 < 0$, и является посторонним.

Следовательно, единственное решение для $x$ это $x=3$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 2 - x = 2 - 3 = -1$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(3, -1)$.

Ответ: $(3, -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + y = 3 \\3x^2 - 6\sqrt{x} + x = y^2 + 2 + (3 - \sqrt{x})^2\end{cases}$

ОДЗ: $x \ge 0$ из-за наличия $\sqrt{x}$.

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 3 - x$.

Упростим второе уравнение. Раскроем скобку:

$(3 - \sqrt{x})^2 = 9 - 6\sqrt{x} + x$.

Подставим во второе уравнение:

$3x^2 - 6\sqrt{x} + x = y^2 + 2 + 9 - 6\sqrt{x} + x$

Сократим одинаковые члены $(-6\sqrt{x} + x)$:

$3x^2 = y^2 + 11$

Подставим $y = 3 - x$ в это уравнение:

$3x^2 = (3 - x)^2 + 11$

$3x^2 = 9 - 6x + x^2 + 11$

$2x^2 + 6x - 20 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = -5$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию.

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию и является посторонним.

Итак, $x = 2$. Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 3 - x = 3 - 2 = 1$.

Решение системы: $(2, 1)$.

Ответ: $(2, 1)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + y = 4 \\\lg(3x + y) + 2x^2 + 7 = (y - 2)^2 + \lg(3x + y)\end{cases}$

ОДЗ: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $3x + y > 0$.

Из первого уравнения выразим $y = 4 - x$ и подставим в условие ОДЗ:

$3x + (4 - x) > 0 \implies 2x + 4 > 0 \implies 2x > -4 \implies x > -2$.

Во втором уравнении сократим одинаковые слагаемые $\lg(3x + y)$ в обеих частях:

$2x^2 + 7 = (y - 2)^2$

Подставим $y = 4 - x$ в полученное уравнение:

$2x^2 + 7 = ((4 - x) - 2)^2$

$2x^2 + 7 = (2 - x)^2$

$2x^2 + 7 = 4 - 4x + x^2$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.

Проверим корни по ОДЗ ($x > -2$).

Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию $(-1 > -2)$.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $(-3 < -2)$ и является посторонним.

Следовательно, $x = -1$. Найдем $y$:

$y = 4 - x = 4 - (-1) = 5$.

Решение системы: $(-1, 5)$.

Ответ: $(-1, 5)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + y = 5 \\\sqrt{x + 3y} + x^2 - 40 = (2y + 1)^2 + \sqrt{x + 3y}\end{cases}$

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x + 3y \ge 0$.

Из первого уравнения выразим $x = 5 - y$. Подставим в ОДЗ:

$(5 - y) + 3y \ge 0 \implies 5 + 2y \ge 0 \implies 2y \ge -5 \implies y \ge -2.5$.

Упростим второе уравнение, сократив $\sqrt{x + 3y}$:

$x^2 - 40 = (2y + 1)^2$

Подставим $x = 5 - y$ в это уравнение:

$(5 - y)^2 - 40 = (2y + 1)^2$

$25 - 10y + y^2 - 40 = 4y^2 + 4y + 1$

$y^2 - 10y - 15 = 4y^2 + 4y + 1$

Перенесем все члены в одну сторону:

$0 = 3y^2 + 14y + 16$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$

$y_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 \pm 2}{6}$

Получаем два корня:

$y_1 = \frac{-14 + 2}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

$y_2 = \frac{-14 - 2}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} \approx -2.67$

Проверим корни по ОДЗ ($y \ge -2.5$).

Корень $y_1 = -2$ удовлетворяет условию $(-2 \ge -2.5)$.

Корень $y_2 = -8/3$ не удовлетворяет условию $(-8/3 < -2.5)$, значит, это посторонний корень.

Таким образом, единственное значение для $y$ это $y = -2$.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 5 - y = 5 - (-2) = 7$.

Решение системы: $(7, -2)$.

Ответ: $(7, -2)$.

14.21 a) $\begin{cases} \sqrt{x - y + 3} = 2 \\ \sqrt{y - x + 10} = y + 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{2x - 3y} = 1 \\ \sqrt{2y - 3x + 10} = y - 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sqrt{x + y + 4} = x - y \\ \sqrt{2x + y} = \sqrt{3x - 3y}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt{x + y + 4} = y - x \\ \sqrt{x + y} = \sqrt{2x - 3y}. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x - y + 3} = 2 \\ \sqrt{y - x + 10} = y + 1 \end{cases} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными, а также правая часть второго уравнения, равная корню, должна быть неотрицательной:
$x - y + 3 \ge 0$
$y - x + 10 \ge 0$
$y + 1 \ge 0 \implies y \ge -1$

Возведем обе части первого уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x - y + 3})^2 = 2^2$
$x - y + 3 = 4$
$x - y = 1$

Теперь рассмотрим второе уравнение. Заметим, что подкоренное выражение $y - x + 10$ можно переписать как $-(x - y) + 10$. Подставим в него найденное значение $x - y = 1$:
$\sqrt{-(1) + 10} = y + 1$
$\sqrt{9} = y + 1$
$3 = y + 1$
$y = 2$

Зная $y$, найдем $x$ из соотношения $x - y = 1$:
$x - 2 = 1$
$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(3, 2)$ условиям ОДЗ:
$x - y + 3 = 3 - 2 + 3 = 4 \ge 0$ (верно)
$y - x + 10 = 2 - 3 + 10 = 9 \ge 0$ (верно)
$y + 1 = 2 + 1 = 3 \ge 0$ (верно)
Решение подходит.

Ответ: $(3, 2)$

б) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{2x - 3y} = 1 \\ \sqrt{2y - 3x + 10} = y - 2 \end{cases} $

ОДЗ:
$2x - 3y \ge 0$
$2y - 3x + 10 \ge 0$
$y - 2 \ge 0 \implies y \ge 2$

Из первого уравнения, возведя обе части в квадрат, получаем:
$2x - 3y = 1$
Выразим $2x$: $2x = 3y + 1$.

Возведем в квадрат обе части второго уравнения, учитывая ОДЗ:
$2y - 3x + 10 = (y - 2)^2$
$2y - 3x + 10 = y^2 - 4y + 4$
Чтобы подставить $x$, умножим все уравнение на 2, чтобы работать с $6x$:
$4y - 6x + 20 = 2y^2 - 8y + 8$
Мы знаем, что $2x = 3y + 1$, следовательно $6x = 3(2x) = 3(3y+1) = 9y+3$.
Подставим $6x$:
$4y - (9y + 3) + 20 = 2y^2 - 8y + 8$
$4y - 9y - 3 + 20 = 2y^2 - 8y + 8$
$-5y + 17 = 2y^2 - 8y + 8$
$2y^2 - 3y - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение для $y$:
$D = (-3)^2 - 4(2)(-9) = 9 + 72 = 81$
$y = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{3 \pm 9}{4}$
$y_1 = \frac{3 + 9}{4} = 3$
$y_2 = \frac{3 - 9}{4} = -\frac{3}{2}$

Согласно ОДЗ, $y \ge 2$. Поэтому $y_2 = -3/2$ является посторонним корнем. Остается $y = 3$.
Найдем $x$ из $2x = 3y + 1$:
$2x = 3(3) + 1 = 10$
$x = 5$

Проверим решение $(5, 3)$:
$2x - 3y = 2(5) - 3(3) = 1 \ge 0$ (верно)
$2y - 3x + 10 = 2(3) - 3(5) + 10 = 6 - 15 + 10 = 1 \ge 0$ (верно)
$y - 2 = 3 - 2 = 1 \ge 0$ (верно)
Решение подходит.

Ответ: $(5, 3)$

в) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x + y + 4} = x - y \\ \sqrt{2x + y} = \sqrt{3x - 3y} \end{cases} $

ОДЗ:
$x + y + 4 \ge 0$
$x - y \ge 0$
$2x + y \ge 0$
$3x - 3y \ge 0 \implies x - y \ge 0$

Из второго уравнения, возведя обе части в квадрат, получаем:
$2x + y = 3x - 3y$
$4y = x$

Подставим $x = 4y$ в первое уравнение:
$\sqrt{4y + y + 4} = 4y - y$
$\sqrt{5y + 4} = 3y$
Для этого уравнения должно выполняться условие $3y \ge 0$, то есть $y \ge 0$. Также $5y+4 \ge 0 \implies y \ge -4/5$. Объединяя, получаем $y \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат:
$5y + 4 = (3y)^2$
$5y + 4 = 9y^2$
$9y^2 - 5y - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение для $y$:
$D = (-5)^2 - 4(9)(-4) = 25 + 144 = 169$
$y = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{18} = \frac{5 \pm 13}{18}$
$y_1 = \frac{5 + 13}{18} = 1$
$y_2 = \frac{5 - 13}{18} = -\frac{4}{9}$

Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только $y_1 = 1$.
Найдем $x$ из $x = 4y$:
$x = 4(1) = 4$

Проверим решение $(4, 1)$ на соответствие ОДЗ:
$x + y + 4 = 4 + 1 + 4 = 9 \ge 0$ (верно)
$x - y = 4 - 1 = 3 \ge 0$ (верно)
$2x + y = 2(4) + 1 = 9 \ge 0$ (верно)
Решение подходит.

Ответ: $(4, 1)$

г) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x + y + 4} = y - x \\ \sqrt{x + y} = \sqrt{2x - 3y} \end{cases} $

ОДЗ:
$x + y + 4 \ge 0$
$y - x \ge 0$
$x + y \ge 0$
$2x - 3y \ge 0$

Из второго уравнения, возведя обе части в квадрат, получаем:
$x + y = 2x - 3y$
$4y = x$

Проанализируем условия ОДЗ с учетом $x=4y$:
1. Из $x+y \ge 0$ следует $4y + y \ge 0 \implies 5y \ge 0 \implies y \ge 0$.
2. Из $2x-3y \ge 0$ следует $2(4y)-3y \ge 0 \implies 8y-3y \ge 0 \implies 5y \ge 0 \implies y \ge 0$.

Теперь подставим $x = 4y$ в первое уравнение:
$\sqrt{4y + y + 4} = y - 4y$
$\sqrt{5y + 4} = -3y$
Так как левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательна:
$-3y \ge 0 \implies y \le 0$.

Мы получили два противоречащих друг другу условия на $y$:
1. Из ОДЗ второго уравнения следует $y \ge 0$.
2. Из первого уравнения следует $y \le 0$.
Единственное значение $y$, удовлетворяющее обоим условиям, это $y = 0$.
Если $y = 0$, то $x = 4y = 0$.
Проверим, является ли пара $(0, 0)$ решением исходной системы. Подставим в первое уравнение:
$\sqrt{0 + 0 + 4} = 0 - 0$
$\sqrt{4} = 0$
$2 = 0$
Получили неверное равенство. Следовательно, $(0,0)$ не является решением. Других возможных решений нет.

Ответ: решений нет

14.22* a) $\begin{cases} \sqrt{y+7x} + \sqrt{y+2x} = 5 \\ \sqrt{y+2x} - \sqrt{y+x} = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{7x+y} + \sqrt{y+x} = 6 \\ \sqrt{y+x} - y + x = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sqrt{2y-x} + x + y = 3 \\ \sqrt{5y-x} + x = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt{3y-x} + x + y = 2 \\ \sqrt{8y-x} + x = 2. \end{cases}$

14.23 a) $\begin{cases} \log_3 xy = \log_3 \frac{x}{y} \\ x^2 - 3xy = y^2 - 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \log_4 xy = \log_4 \frac{x}{y} \\ x^2 - 3y = y^2 - 3x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \log_5 x^2y = \log_5 \frac{y}{x^2} \\ x^2 + xy = y^2 - 19; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \log_6 xy^3 = \log_6 \frac{x}{y} \\ 4x^2 - 1 = 2xy + y^2. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \log_3{xy} = \log_3{\frac{x}{y}} \\ x^2 - 3xy = y^2 - 1 \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $xy > 0$ и $\frac{x}{y} > 0$. Оба условия выполняются, когда $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки, то есть ($x > 0$ и $y > 0$) или ($x < 0$ и $y < 0$).

Рассмотрим первое уравнение: $\log_3{xy} = \log_3{\frac{x}{y}}$. Поскольку логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять аргументы: $xy = \frac{x}{y}$. Так как из ОДЗ следует, что $y \ne 0$, умножим обе части на $y$: $xy^2 = x$. Перенесем все в левую часть: $xy^2 - x = 0$, $x(y^2 - 1) = 0$. Из ОДЗ $x \ne 0$, следовательно, $y^2 - 1 = 0$. Отсюда $y^2 = 1$, что дает два возможных значения: $y = 1$ или $y = -1$.

Рассмотрим два случая.
Случай 1: $y = 1$. Согласно ОДЗ, если $y > 0$, то и $x > 0$. Подставим $y = 1$ во второе уравнение системы: $x^2 - 3x(1) = 1^2 - 1$ $x^2 - 3x = 0$ $x(x - 3) = 0$. Получаем $x = 0$ или $x = 3$. Значение $x = 0$ не удовлетворяет ОДЗ. Остается $x = 3$. Проверим пару $(3, 1)$. ОДЗ: $3 > 0, 1 > 0$. Удовлетворяет. Подставим в исходную систему: $\log_3(3 \cdot 1) = \log_3(\frac{3}{1}) \implies \log_3 3 = \log_3 3$ (верно). $3^2 - 3(3)(1) = 1^2 - 1 \implies 9 - 9 = 1 - 1 \implies 0 = 0$ (верно). Следовательно, $(3, 1)$ является решением.

Случай 2: $y = -1$. Согласно ОДЗ, если $y < 0$, то и $x < 0$. Подставим $y = -1$ во второе уравнение системы: $x^2 - 3x(-1) = (-1)^2 - 1$ $x^2 + 3x = 1 - 1$ $x^2 + 3x = 0$ $x(x + 3) = 0$. Получаем $x = 0$ или $x = -3$. Значение $x = 0$ не удовлетворяет ОДЗ. Остается $x = -3$. Проверим пару $(-3, -1)$. ОДЗ: $-3 < 0, -1 < 0$. Удовлетворяет. Подставим в исходную систему: $\log_3((-3)(-1)) = \log_3(\frac{-3}{-1}) \implies \log_3 3 = \log_3 3$ (верно). $(-3)^2 - 3(-3)(-1) = (-1)^2 - 1 \implies 9 - 9 = 1 - 1 \implies 0 = 0$ (верно). Следовательно, $(-3, -1)$ является решением.

Ответ: $(3, 1)$, $(-3, -1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \log_4{xy} = \log_4{\frac{x}{y}} \\ x^2 - 3y = y^2 - 3x \end{cases} $$ ОДЗ: $xy > 0$ и $\frac{x}{y} > 0$, что означает, что $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки и не равны нулю.

Из первого уравнения $\log_4{xy} = \log_4{\frac{x}{y}}$ следует, что $xy = \frac{x}{y}$. Так как $x \ne 0$, мы можем разделить на $x$, получив $y = \frac{1}{y}$, что эквивалентно $y^2 = 1$. Отсюда $y = 1$ или $y = -1$.

Рассмотрим два случая.
Случай 1: $y = 1$. Из ОДЗ следует, что $x > 0$. Подставим $y = 1$ во второе уравнение: $x^2 - 3(1) = 1^2 - 3x$ $x^2 + 3x - 4 = 0$. Решим квадратное уравнение: $(x + 4)(x - 1) = 0$. $x_1 = -4$, $x_2 = 1$. Условию $x > 0$ удовлетворяет только $x = 1$. Получаем решение $(1, 1)$.

Случай 2: $y = -1$. Из ОДЗ следует, что $x < 0$. Подставим $y = -1$ во второе уравнение: $x^2 - 3(-1) = (-1)^2 - 3x$ $x^2 + 3 = 1 - 3x$ $x^2 + 3x + 2 = 0$. Решим квадратное уравнение: $(x + 1)(x + 2) = 0$. $x_1 = -1$, $x_2 = -2$. Оба корня удовлетворяют условию $x < 0$. Получаем два решения: $(-1, -1)$ и $(-2, -1)$.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, -1)$, $(-2, -1)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \log_5{x^2y} = \log_5{\frac{y}{x^2}} \\ x^2 + xy = y^2 - 19 \end{cases} $$ ОДЗ: $x^2y > 0$ и $\frac{y}{x^2} > 0$. Поскольку $x \ne 0$, то $x^2 > 0$. Таким образом, оба неравенства сводятся к одному: $y > 0$.

Из первого уравнения $\log_5{x^2y} = \log_5{\frac{y}{x^2}}$ следует: $x^2y = \frac{y}{x^2}$. Так как по ОДЗ $y > 0$, мы можем разделить обе части на $y$: $x^2 = \frac{1}{x^2}$. $x^4 = 1$. Отсюда $x^2 = 1$, что дает $x = 1$ или $x = -1$.

Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x = 1$. Подставим $x = 1$ во второе уравнение: $1^2 + 1 \cdot y = y^2 - 19$ $y^2 - y - 20 = 0$. Решим квадратное уравнение: $(y - 5)(y + 4) = 0$. $y_1 = 5$, $y_2 = -4$. Согласно ОДЗ ($y > 0$), подходит только $y = 5$. Получаем решение $(1, 5)$.

Случай 2: $x = -1$. Подставим $x = -1$ во второе уравнение: $(-1)^2 + (-1)y = y^2 - 19$ $1 - y = y^2 - 19$ $y^2 + y - 20 = 0$. Решим квадратное уравнение: $(y + 5)(y - 4) = 0$. $y_1 = -5$, $y_2 = 4$. Согласно ОДЗ ($y > 0$), подходит только $y = 4$. Получаем решение $(-1, 4)$.

Ответ: $(1, 5)$, $(-1, 4)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \log_6{xy^3} = \log_6{\frac{x}{y}} \\ 4x^2 - 1 = 2xy + y^2 \end{cases} $$ ОДЗ: $xy^3 > 0$ и $\frac{x}{y} > 0$. Условие $\frac{x}{y} > 0$ означает, что $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки. Это обеспечивает и выполнение условия $xy^3 > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x$ и $y$ одного знака, не равны нулю.

Из первого уравнения $\log_6{xy^3} = \log_6{\frac{x}{y}}$ следует: $xy^3 = \frac{x}{y}$. Поскольку $x \ne 0$, делим на $x$: $y^3 = \frac{1}{y}$. Умножаем на $y$ (так как $y \ne 0$): $y^4 = 1$. Отсюда $y^2 = 1$, что дает $y = 1$ или $y = -1$.

Рассмотрим два случая.
Случай 1: $y = 1$. Из ОДЗ следует, что $x > 0$. Подставим $y = 1$ во второе уравнение: $4x^2 - 1 = 2x(1) + 1^2$ $4x^2 - 2x - 2 = 0$. Разделим на 2: $2x^2 - x - 1 = 0$. Найдем корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$. $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{1}{2}$. Условию $x > 0$ удовлетворяет только $x = 1$. Получаем решение $(1, 1)$.

Случай 2: $y = -1$. Из ОДЗ следует, что $x < 0$. Подставим $y = -1$ во второе уравнение: $4x^2 - 1 = 2x(-1) + (-1)^2$ $4x^2 + 2x - 2 = 0$. Разделим на 2: $2x^2 + x - 1 = 0$. Найдем корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$. $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -1$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только $x = -1$. Получаем решение $(-1, -1)$.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, -1)$.

14.24* a) $ \begin{cases} 3^{\log_3 (x - y)} = 1 \\ \log_3 (2x - y) + \log_3 y = 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2^{\log_2 (x - y)} = 1 \\ \log_2 (2x - y) + \log_2 y = 1; \end{cases} $

В) $ \begin{cases} 2^{1 + \log_2 (x - 2y)} = x \\ 3x^2 - 6y = 9^y; \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} 2^{x^2 + xy} = 1 \\ 2\log_2 y = \log_2 (x + 6). \end{cases} $

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3^{\log_3(x-y)} = 1 \\ \log_3(2x-y) + \log_3 y = 1 \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $$ \begin{cases} x - y > 0 \\ 2x - y > 0 \\ y > 0 \end{cases} $$ Из $x-y>0$ следует $x > y$. Так как $y>0$, то и $x>0$. Условие $2x-y > 0$ выполняется, так как $2x-y = x + (x-y)$, где оба слагаемых положительны. Таким образом, ОДЗ: $x > y$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $x - y = 1$, откуда $x = y + 1$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$: $\log_3((2x-y)y) = 1$. По определению логарифма: $(2x-y)y = 3^1$ $(2x-y)y = 3$.

Получим систему уравнений: $$ \begin{cases} x = y + 1 \\ (2x-y)y = 3 \end{cases} $$ Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе: $(2(y+1)-y)y = 3$ $(2y+2-y)y = 3$ $(y+2)y = 3$ $y^2 + 2y - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Проверим найденные значения $y$ на соответствие ОДЗ ($y > 0$). $y_1 = 1$ удовлетворяет условию $y > 0$. $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y > 0$. Следовательно, единственное возможное значение $y=1$.

Найдем соответствующее значение $x$: $x = y + 1 = 1 + 1 = 2$. Получили решение $(2; 1)$. Проверим его по ОДЗ: $x > y \implies 2 > 1$ (верно), $y > 0 \implies 1 > 0$ (верно).

Ответ: $(2; 1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2^{\log_2(x-y)} = 1 \\ \log_2(2x-y) + \log_2 y = 1 \end{cases} $$

ОДЗ: $$ \begin{cases} x - y > 0 \\ 2x - y > 0 \\ y > 0 \end{cases} $$ что эквивалентно $x > y$ и $y > 0$.

Из первого уравнения, используя тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем: $x - y = 1$, откуда $x = y + 1$.

Из второго уравнения, используя свойство логарифмов: $\log_2((2x-y)y) = 1$ $(2x-y)y = 2^1$ $(2x-y)y = 2$.

Подставим $x = y+1$ во второе уравнение: $(2(y+1)-y)y = 2$ $(y+2)y = 2$ $y^2 + 2y - 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$. $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$. Получаем два корня: $y_1 = -1 + \sqrt{3}$ и $y_2 = -1 - \sqrt{3}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($y>0$). $y_1 = \sqrt{3}-1 \approx 1.732 - 1 = 0.732 > 0$. Этот корень подходит. $y_2 = -1 - \sqrt{3} < 0$. Этот корень не подходит.

Найдем соответствующее значение $x$: $x = y + 1 = (\sqrt{3}-1) + 1 = \sqrt{3}$. Получили решение $(\sqrt{3}; \sqrt{3}-1)$. Проверим его по ОДЗ: $x > y \implies \sqrt{3} > \sqrt{3}-1$ (верно), $y > 0 \implies \sqrt{3}-1 > 0$ (верно).

Ответ: $(\sqrt{3}; \sqrt{3}-1)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2^{1 + \log_2(x-2y)} = x \\ 3x^2 - 6y = 9^y \end{cases} $$ (Примечание: в исходном изображении второе уравнение, $3x^2 - 6y = 9^y$, приводит к трансцендентному уравнению без простого аналитического решения. Вероятно, в условии опечатка, и имелось в виду $3x^2 - 6y = 9y$. Решение приведено для этого исправленного варианта).

Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} 2^{1 + \log_2(x-2y)} = x \\ 3x^2 - 6y = 9y \end{cases} $$

ОДЗ: $x-2y > 0 \implies x > 2y$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойства степени и логарифма: $2^1 \cdot 2^{\log_2(x-2y)} = x$ $2(x-2y) = x$ $2x - 4y = x$ $x = 4y$.

Подставим $x=4y$ в условие ОДЗ: $4y > 2y \implies 2y > 0 \implies y > 0$.

Преобразуем второе уравнение: $3x^2 - 6y = 9y$ $3x^2 = 15y$ $x^2 = 5y$.

Получим систему: $$ \begin{cases} x = 4y \\ x^2 = 5y \end{cases} $$ Подставим $x=4y$ во второе уравнение: $(4y)^2 = 5y$ $16y^2 = 5y$ $16y^2 - 5y = 0$ $y(16y-5) = 0$.

Отсюда $y=0$ или $16y-5=0 \implies y = 5/16$.

Проверим значения $y$ на соответствие ОДЗ ($y > 0$). $y=0$ не удовлетворяет условию $y > 0$. $y=5/16$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Найдем соответствующее значение $x$: $x = 4y = 4 \cdot \frac{5}{16} = \frac{5}{4}$. Решение: $(5/4; 5/16)$.

Ответ: $(5/4; 5/16)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2^{x^2+xy} = 1 \\ 2\log_2 y = \log_2(x+6) \end{cases} $$

ОДЗ: $$ \begin{cases} y > 0 \\ x+6 > 0 \implies x > -6 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение. Так как $1 = 2^0$: $2^{x^2+xy} = 2^0$ $x^2+xy = 0$ $x(x+y) = 0$. Отсюда следует, что либо $x=0$, либо $x+y=0 \implies y=-x$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство степени логарифма: $\log_2(y^2) = \log_2(x+6)$. Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы: $y^2 = x+6$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x=0$. Подставим в уравнение $y^2 = x+6$: $y^2 = 0+6 \implies y^2=6 \implies y = \pm\sqrt{6}$. Проверим по ОДЗ ($y>0, x>-6$): Для $(0; \sqrt{6})$: $y = \sqrt{6} > 0$ (верно), $x = 0 > -6$ (верно). Это решение подходит. Для $(0; -\sqrt{6})$: $y = -\sqrt{6} < 0$. Это решение не подходит.

Случай 2: $y=-x$. Подставим в уравнение $y^2 = x+6$: $(-x)^2 = x+6$ $x^2 - x - 6 = 0$. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1=3$ и $x_2=-2$. Найдем соответствующие значения $y$: Если $x_1=3$, то $y_1=-3$. Если $x_2=-2$, то $y_2=-(-2)=2$. Проверим по ОДЗ ($y>0, x>-6$): Для $(3; -3)$: $y = -3 < 0$. Это решение не подходит. Для $(-2; 2)$: $y = 2 > 0$ (верно), $x = -2 > -6$ (верно). Это решение подходит.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два решения системы.

Ответ: $(-2; 2), (0; \sqrt{6})$.

14.25* a) $ \begin{cases} 2^{1 + \log_2 (x + y)} = 24 \\ 2 \log_{0,5} y - \log_{0,5} x = -1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 0,2^{1 + \log_{0,2} (y - x)} = 0,8 \\ \log_2 y - 2 \log_2 x = -1. \end{cases} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку аргументы логарифмов должны быть строго положительными, имеем условия: $x > 0$, $y > 0$ и $x+y > 0$. Последнее условие является следствием первых двух. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение системы: $2^{1 + \log_2(x+y)} = 24$.
Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$2^1 \cdot 2^{\log_2(x+y)} = 24$
$2(x+y) = 24$
$x+y = 12$

Теперь рассмотрим второе уравнение: $2\log_{0.5} y - \log_{0.5} x = -1$.
Применим свойства логарифмов $n\log_a b = \log_a(b^n)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:
$\log_{0.5}(y^2) - \log_{0.5}(x) = -1$
$\log_{0.5}\frac{y^2}{x} = -1$
Из определения логарифма следует:
$\frac{y^2}{x} = (0.5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$
$y^2 = 2x$

Теперь решаем систему, полученную из преобразованных уравнений:
$\begin{cases} x+y = 12 \\ y^2 = 2x \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x = 12 - y$ и подставим во второе:
$y^2 = 2(12 - y)$
$y^2 = 24 - 2y$
$y^2 + 2y - 24 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 4$ и $y_2 = -6$.

Проверим найденные значения $y$ на соответствие ОДЗ ($y>0$).
Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ. Найдем соответствующее значение $x$: $x = 12 - 4 = 8$. Это значение также удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).
Корень $y_2 = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $y$ должен быть положительным, и является посторонним.

Следовательно, единственное решение системы - пара чисел $(8; 4)$.

Ответ: $(8; 4)$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из условий существования логарифмов получаем систему неравенств: $y-x > 0$, $x > 0$, $y > 0$. Из этих условий следует, что $y > x > 0$.

Преобразуем первое уравнение системы: $0.2^{1 + \log_{0.2}(y-x)} = 0.8$.
Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$0.2^1 \cdot 0.2^{\log_{0.2}(y-x)} = 0.8$
$0.2(y-x) = 0.8$
$y-x = \frac{0.8}{0.2}$
$y-x = 4$

Преобразуем второе уравнение системы: $\log_2 y - 2\log_2 x = -1$.
Используя свойства логарифмов $n\log_a b = \log_a(b^n)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:
$\log_2 y - \log_2(x^2) = -1$
$\log_2\frac{y}{x^2} = -1$
Из определения логарифма:
$\frac{y}{x^2} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
$y = \frac{x^2}{2}$

Теперь решаем систему, состоящую из упрощенных уравнений:
$\begin{cases} y-x = 4 \\ y = \frac{x^2}{2} \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y = x+4$ и подставим во второе:
$x+4 = \frac{x^2}{2}$
$2x + 8 = x^2$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Проверим найденные значения $x$ на соответствие ОДЗ ($x>0$).
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ. Найдем соответствующее значение $y$: $y = 4+4 = 8$. Проверим полное условие ОДЗ $y > x > 0$: $8 > 4 > 0$. Условие выполняется.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $x$ должен быть положительным, и является посторонним.

Следовательно, единственное решение системы - пара чисел $(4; 8)$.

Ответ: $(4; 8)$