Номер 14.25, страница 343 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.25, страница 343.

Условие.

14.25* a) $ \begin{cases} 2^{1 + \log_2 (x + y)} = 24 \\ 2 \log_{0,5} y - \log_{0,5} x = -1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 0,2^{1 + \log_{0,2} (y - x)} = 0,8 \\ \log_2 y - 2 \log_2 x = -1. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку аргументы логарифмов должны быть строго положительными, имеем условия: $x > 0$, $y > 0$ и $x+y > 0$. Последнее условие является следствием первых двух. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение системы: $2^{1 + \log_2(x+y)} = 24$.
Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$2^1 \cdot 2^{\log_2(x+y)} = 24$
$2(x+y) = 24$
$x+y = 12$

Теперь рассмотрим второе уравнение: $2\log_{0.5} y - \log_{0.5} x = -1$.
Применим свойства логарифмов $n\log_a b = \log_a(b^n)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:
$\log_{0.5}(y^2) - \log_{0.5}(x) = -1$
$\log_{0.5}\frac{y^2}{x} = -1$
Из определения логарифма следует:
$\frac{y^2}{x} = (0.5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$
$y^2 = 2x$

Теперь решаем систему, полученную из преобразованных уравнений:
$\begin{cases} x+y = 12 \\ y^2 = 2x \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x = 12 - y$ и подставим во второе:
$y^2 = 2(12 - y)$
$y^2 = 24 - 2y$
$y^2 + 2y - 24 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 4$ и $y_2 = -6$.

Проверим найденные значения $y$ на соответствие ОДЗ ($y>0$).
Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ. Найдем соответствующее значение $x$: $x = 12 - 4 = 8$. Это значение также удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).
Корень $y_2 = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $y$ должен быть положительным, и является посторонним.

Следовательно, единственное решение системы - пара чисел $(8; 4)$.

Ответ: $(8; 4)$

б)

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из условий существования логарифмов получаем систему неравенств: $y-x > 0$, $x > 0$, $y > 0$. Из этих условий следует, что $y > x > 0$.

Преобразуем первое уравнение системы: $0.2^{1 + \log_{0.2}(y-x)} = 0.8$.
Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$0.2^1 \cdot 0.2^{\log_{0.2}(y-x)} = 0.8$
$0.2(y-x) = 0.8$
$y-x = \frac{0.8}{0.2}$
$y-x = 4$

Преобразуем второе уравнение системы: $\log_2 y - 2\log_2 x = -1$.
Используя свойства логарифмов $n\log_a b = \log_a(b^n)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:
$\log_2 y - \log_2(x^2) = -1$
$\log_2\frac{y}{x^2} = -1$
Из определения логарифма:
$\frac{y}{x^2} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
$y = \frac{x^2}{2}$

Теперь решаем систему, состоящую из упрощенных уравнений:
$\begin{cases} y-x = 4 \\ y = \frac{x^2}{2} \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y = x+4$ и подставим во второе:
$x+4 = \frac{x^2}{2}$
$2x + 8 = x^2$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Проверим найденные значения $x$ на соответствие ОДЗ ($x>0$).
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ. Найдем соответствующее значение $y$: $y = 4+4 = 8$. Проверим полное условие ОДЗ $y > x > 0$: $8 > 4 > 0$. Условие выполняется.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $x$ должен быть положительным, и является посторонним.

Следовательно, единственное решение системы - пара чисел $(4; 8)$.

Ответ: $(4; 8)$