Номер 14.31, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.31, страница 347.

Условие.

14.31 a) $\begin{cases} \frac{15}{\sqrt{x+8}} + \frac{2}{\sqrt{5y+1}} = \frac{10}{3} \\ \frac{10}{\sqrt{x+8}} + \frac{6}{\sqrt{5y+1}} = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{12}{\sqrt{x-1}} + \frac{10}{\sqrt{4y+1}} = 5 \\ \frac{4}{\sqrt{x-1}} + \frac{10}{\sqrt{4y+1}} = 3. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{15}{\sqrt{x+8}} + \frac{2}{\sqrt{5y+1}} = \frac{10}{3} \\ \frac{10}{\sqrt{x+8}} + \frac{6}{\sqrt{5y+1}} = 3 \end{cases}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть положительными, так как они находятся в знаменателе:

$x+8 > 0 \implies x > -8$

$5y+1 > 0 \implies y > -1/5$

Для решения системы введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{\sqrt{x+8}}$ и $v = \frac{1}{\sqrt{5y+1}}$. Так как значения квадратных корней неотрицательны и они в знаменателе, то $u > 0$ и $v > 0$.

После замены система примет вид:

$\begin{cases} 15u + 2v = \frac{10}{3} \\ 10u + 6v = 3 \end{cases}$

Решим полученную систему линейных уравнений. Умножим первое уравнение на -3, чтобы использовать метод сложения:

$-3 \cdot (15u + 2v) = -3 \cdot \frac{10}{3} \implies -45u - 6v = -10$

Теперь сложим это уравнение со вторым уравнением системы:

$(-45u - 6v) + (10u + 6v) = -10 + 3$

$-35u = -7$

$u = \frac{-7}{-35} = \frac{1}{5}$

Подставим значение $u$ во второе уравнение ($10u + 6v = 3$):

$10 \cdot (\frac{1}{5}) + 6v = 3$

$2 + 6v = 3$

$6v = 1$

$v = \frac{1}{6}$

Выполним обратную замену.Для $u = \frac{1}{5}$:

$\frac{1}{\sqrt{x+8}} = \frac{1}{5} \implies \sqrt{x+8} = 5$

Возведем обе части в квадрат:

$x+8 = 25 \implies x = 17$

Для $v = \frac{1}{6}$:

$\frac{1}{\sqrt{5y+1}} = \frac{1}{6} \implies \sqrt{5y+1} = 6$

Возведем обе части в квадрат:

$5y+1 = 36 \implies 5y = 35 \implies y = 7$

Проверим найденные значения по ОДЗ: $x=17 > -8$ и $y=7 > -1/5$. Оба условия выполняются.

Ответ: $(17; 7)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{12}{\sqrt{x-1}} + \frac{10}{\sqrt{4y+1}} = 5 \\ \frac{4}{\sqrt{x-1}} + \frac{10}{\sqrt{4y+1}} = 3 \end{cases}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$x-1 > 0 \implies x > 1$

$4y+1 > 0 \implies y > -1/4$

Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{\sqrt{x-1}}$ и $v = \frac{1}{\sqrt{4y+1}}$. При этом $u > 0$ и $v > 0$.

Система примет вид:

$\begin{cases} 12u + 10v = 5 \\ 4u + 10v = 3 \end{cases}$

Решим систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(12u + 10v) - (4u + 10v) = 5 - 3$

$8u = 2$

$u = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Подставим найденное значение $u$ во второе уравнение ($4u + 10v = 3$):

$4 \cdot (\frac{1}{4}) + 10v = 3$

$1 + 10v = 3$

$10v = 2$

$v = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Выполним обратную замену.Для $u = \frac{1}{4}$:

$\frac{1}{\sqrt{x-1}} = \frac{1}{4} \implies \sqrt{x-1} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$x-1 = 16 \implies x = 17$

Для $v = \frac{1}{5}$:

$\frac{1}{\sqrt{4y+1}} = \frac{1}{5} \implies \sqrt{4y+1} = 5$

Возведем обе части в квадрат:

$4y+1 = 25 \implies 4y = 24 \implies y = 6$

Проверим найденные значения по ОДЗ: $x=17 > 1$ и $y=6 > -1/4$. Оба условия выполняются.

Ответ: $(17; 6)$.