Номер 14.35, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.35, страница 348.

Условие.

14.35* a) $\begin{cases} \frac{\sqrt[4]{x+y} - \sqrt[4]{x-y}}{\sqrt{x+y} - \sqrt{x-y}} = 2 \\ \sqrt{x+y} - \sqrt{x-y} = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt[6]{(x+y)^3 (x-y)^2} = 8 \\ \sqrt{x+y} + \sqrt[3]{x-y} = 6. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt[4]{x+y} - \sqrt[4]{x-y} = 2 \\ \sqrt{x+y} - \sqrt{x-y} = 8 \end{cases} $$ Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[4]{x+y}$ и $v = \sqrt[4]{x-y}$. Так как корень четвертой степени из неотрицательного числа должен быть неотрицательным, то $u \ge 0$ и $v \ge 0$. Тогда $\sqrt{x+y} = (\sqrt[4]{x+y})^2 = u^2$ и $\sqrt{x-y} = (\sqrt[4]{x-y})^2 = v^2$. Система уравнений примет вид: $$ \begin{cases} u - v = 2 \\ u^2 - v^2 = 8 \end{cases} $$ Второе уравнение можно разложить на множители: $(u-v)(u+v) = 8$. Подставим в него значение $u-v$ из первого уравнения: $2(u+v) = 8$ $u+v = 4$ Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} u - v = 2 \\ u + v = 4 \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения: $(u-v) + (u+v) = 2+4$, что дает $2u = 6$, откуда $u=3$. Подставим значение $u$ в любое из уравнений, например, в $u+v=4$: $3+v = 4$, откуда $v=1$. Найденные значения $u=3$ и $v=1$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} \sqrt[4]{x+y} = 3 \\ \sqrt[4]{x-y} = 1 \end{cases} $$ Возведем оба уравнения в четвертую степень: $$ \begin{cases} x+y = 3^4 = 81 \\ x-y = 1^4 = 1 \end{cases} $$ Сложим полученные уравнения: $(x+y) + (x-y) = 81+1$, что дает $2x = 82$, откуда $x=41$. Подставим значение $x$ в первое уравнение: $41+y=81$, откуда $y = 81-41 = 40$.

Ответ: $(41, 40)$

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt[6]{(x+y)^3(x-y)^2} = 8 \\ \sqrt{x+y} + \sqrt[3]{x-y} = 6 \end{cases} $$ Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x+y}$ и $b = \sqrt[3]{x-y}$. Заметим, что $a \ge 0$, так как это арифметический квадратный корень. Преобразуем первое уравнение системы, используя свойства степеней: $\sqrt[6]{(x+y)^3(x-y)^2} = \sqrt[6]{(x+y)^3} \cdot \sqrt[6]{(x-y)^2} = (x+y)^{\frac{3}{6}} \cdot (x-y)^{\frac{2}{6}} = (x+y)^{\frac{1}{2}} \cdot (x-y)^{\frac{1}{3}} = \sqrt{x+y} \cdot \sqrt[3]{x-y} = a \cdot b$. Таким образом, система уравнений в новых переменных имеет вид: $$ \begin{cases} ab = 8 \\ a+b = 6 \end{cases} $$ Это система, которую можно решить по теореме Виета. Числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$. Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета или через дискриминант: $(t-2)(t-4) = 0$. Корни: $t_1=2, t_2=4$. Следовательно, у нас есть два возможных набора значений для $(a, b)$: $(2, 4)$ и $(4, 2)$. Оба варианта удовлетворяют условию $a \ge 0$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a=2, b=4$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} \sqrt{x+y} = 2 \\ \sqrt[3]{x-y} = 4 \end{cases} $$ Возводим первое уравнение в квадрат, а второе в куб: $$ \begin{cases} x+y = 2^2 = 4 \\ x-y = 4^3 = 64 \end{cases} $$ Складываем уравнения: $2x = 4+64 = 68$, откуда $x=34$. Подставляем $x=34$ в первое уравнение: $34+y=4$, откуда $y = 4-34 = -30$. Первое решение: $(34, -30)$.

Случай 2: $a=4, b=2$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} \sqrt{x+y} = 4 \\ \sqrt[3]{x-y} = 2 \end{cases} $$ Возводим первое уравнение в квадрат, а второе в куб: $$ \begin{cases} x+y = 4^2 = 16 \\ x-y = 2^3 = 8 \end{cases} $$ Складываем уравнения: $2x = 16+8 = 24$, откуда $x=12$. Подставляем $x=12$ в первое уравнение: $12+y=16$, откуда $y = 16-12 = 4$. Второе решение: $(12, 4)$.

Ответ: $(34, -30)$, $(12, 4)$